Linia lui Newton

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 21 octombrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Linia lui Newton este o linie care leagă punctele medii ale diagonalelor unui patrulater.

Teorema

Dacă într-un patrulater două perechi de laturi opuse nu sunt paralele, atunci cele două puncte medii ale diagonalelor sale se află pe o dreaptă care trece prin punctul de mijloc al segmentului care leagă punctele de intersecție ale acestor laturi opuse. Această linie dreaptă se numește linia dreaptă a lui Newton (prezentată ca o linie groasă în figură).

Formulare echivalentă:

Dacă o dreaptă care nu trece prin vârfurile unui triunghi își intersectează laturile în puncte , atunci punctele de mijloc ale segmentelor sunt coliniare . $ABC$ $BC,CA,AB$ $A_{1},B_{1},C_{1}$ $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$

Comentarii

Teorema poate fi dedusă din teorema lui Menelaus .
În a doua formulare, se poate observa că liniile sunt egale. Ele formează o configurație numită patrulater complet . Linia pe care se află punctele medii ale acestor segmente se numește linia Newton a patrulaterului. $AB,BC,CA,A_{1}B_{1}$

Dacă patru linii ating un cerc, atunci centrul acestui cerc se află pe aceeași linie Newton. Această afirmație se numește teorema lui Newton .

Proprietăți

Linia lui Newton este perpendiculară pe dreapta lui Auber .
Pe linia lui Newton se află și punctul de intersecție a două linii mediane care leagă punctele medii ale laturilor opuse ale unui patrulater convex ( prima și a doua linie mediană a patrulaterului ).
Teorema Annei , numită după matematicianul francez Pierre Léon Anne ( fr. Pierre-Léon Anne , 1806–1850), afirmă că în oricepatrulater non-paralelogram, dreapta lui Newton este locul punctelorcare au proprietatea: $ABCD$ $O$ $S(\triunghi AOB)+S(\triunghi COD)=S(\triunghi BOC)+S(\triunghi DOA)$ ,

unde înseamnă aria orientată [1] .

S(\triunghi AOB)

\triunghi AOB

Nota 1. Dacă punctul se află în interiorul patrulaterului , atunci, de exemplu, va însemna pur și simplu aria triunghiului. $O$ $ABCD$ $S(\triunghi AOB)$
Observația 2. După teorema lui Newton, linia Newton a patrulaterului circumscris trece prin centrul P al cercului său înscris. Pentru centrul P al cercului înscris al patrulaterului , teorema Annei este evidentă, deoarece în patrulaterul circumscris sumele laturilor opuse sunt egale, iar înălțimile celor patru triunghiuri din teorema Annei cu un vârf comun P , în care patrulaterul este egal. este împărțit la punctul P , sunt aceleași și egale cu raza cercului înscris al patrulaterului.

Formula

Dacă formulele dreptelor unui patrulater în coordonate carteziene au forma

a_{i}x+b_{i}y=c_{i},\quad i={\overline {1,4}}\,,

atunci linia Newton care îi corespunde este dată de ecuație

\det(D)\,x+\det(E)\,y={\frac {\det(F)}{2)),

unde sunt matrice de mărime în care $D=(d_{ij}),\,E=(e_{ij}),\,F=(f_{ij})$ $4\times 4,$

d_{i1}=e_{i1}=f_{i1}=a_{i}^{2},\quad d_{i2}=e_{i2}=f_{i2}=b_{i}^{ 2},\quad d_{i3}=e_{i3}=f_{i3}=a_{i}b_{i},

d_{i4}=a_{i}c_{i},\quad e_{i4}=b_{i}c_{i},\quad f_{i4}=c_{i}^{2},\ quad i={\overline {1,4}}.

Linia Newton-Gauss

Linia Newton-Gauss este o linie care leagă punctele medii ale celor trei diagonale ale unui patrulater complet .

Punctele de mijloc ale celor două diagonale ale unui patrulater convex , care nu are mai mult de două laturi paralele, sunt diferite și, prin urmare, definesc o dreaptă (linia lui Newton ). Dacă laturile unui astfel de patrulater sunt continuate pentru a forma un patrulater complet , diagonalele patrulaterului rămân diagonalele întregului patrulater, iar linia Newton a patrulaterului se numește linia Newton-Gauss a patrulaterului complet.

Vezi și

Note

↑ Culegere de articole. Educația matematică. A treia serie. Problema 11 . — Litri, 2015-12-02. - S. 65-66. — 177 p. — ISBN 9785457931350 .

Literatură

Ponarin Ya. P. Geometrie elementară. În 2 volume - M . : MTSNMO , 2004. - S. 74. - ISBN 5-94057-170-0 .