Setați diferența

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 25 martie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Diferența a două mulțimi este o operație teoretică, al cărei rezultat este o mulțime care include toate elementele primei mulțimi care nu sunt incluse în a doua mulțime. De obicei, diferența dintre mulțimi și se notează ca , dar uneori puteți vedea notația și . $A$ $B$ $A\setminus B$ $AB$ $A\sim B$

Fie și două mulțimi specificate în definiție, atunci diferența lor este definită (în limbajul teoretic al mulțimilor): $A$ $B$

A\setminus B=\{x\in A\mid x\nu \in B\}.

Această mulțime este adesea numită complementul unei mulțimi la o mulțime . (doar atunci când setul B aparține în întregime setului A) $B$ $A$

De obicei, se presupune că sunt luate în considerare submulțimi ale aceleiași mulțimi, care, în acest caz, se numește univers , să zicem, . Apoi putem lua în considerare, împreună cu fiecare mulțime , complementul său relativ , care este adesea notat prin omiterea icoanei universului: $X$ $A\subset X$ $X\setminus A$ $\setminus A$ ; în acelaşi timp se spune că este (pur şi simplu) complementul unei mulţimi (fără a preciza la ce se completează mulţimea dată). $\setminus A$

Având în vedere această remarcă, rezultă că , adică complementul unei mulțimi la o mulțime este intersecția mulțimii și complementul mulțimii . $A\setminus B=A\cap (\setminus B)$ $B$ $A$ $A$ $B$

Se folosește și notația operatorului de forma , sau (dacă se omite mulțimea universală ) , . $A^{\complement }$ $\complement _{X}A$ $\complement A$ $\overline A$ $A'$

Operația de diferență de mulțimi nu este, prin definiție, simetrică față de mulțimile incluse în ea. O versiune simetrică a diferenței teoretice de mulțimi a două mulțimi este descrisă de conceptul de diferență simetrică .

Exemple

Lasă . Apoi $A=\{1,\;2,\;3,\;4\},\;B=\{3,\;4,\;5,\;6,\;7\}$ $A\setminus B=\{1,\;2\},\;B\setminus A=\{5,\;6,\;7\}.$
Fie mulțimea tuturor numerelor reale , fie mulțimea numerelor raționale și mulțimea numerelor întregi . Apoi - mulțimea tuturor numerelor iraționale și - fracțional . $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z}$

Proprietăți

Fie mulțimi arbitrare. $A,\;B,\;C,\;D$

Scăderea unei mulțimi din sine are ca rezultat mulțimea goală :

A\setminus A=\varnothing .

Proprietățile mulțimii goale în raport cu diferența:

\varnothing \setminus A=\varnothing ;

A\setminus \varnothing =A.

Diferența a două seturi este conținută în minuend:

A\setminus B\subset A.

$A\cup (B\setminus A)=A\cup B$ . Din această formulă rezultă că operația de diferență nu este inversa operației de sumă (adică unirea).
$A\setminus B=A\setminus (A\cap B).$
Diferența nu se intersectează cu subtraend:

A\cap (B\setminus A)=\varnothing .

Diferența de mulțime este egală cu mulțimea goală dacă și numai dacă minuend este conținut în subtraend:

A\setminus B=\varnothing\Leftrightarrow A\subset B.

Legile lui De Morgan în algebra mulțimilor sunt formulate după cum urmează:

A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C);

A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C).

$(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C);$
$A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C);$
$A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\setminus C;$
$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A);$
$(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus A$ daca . $C\cap A=\varnothing$
Dacă și atunci $A\subset B$ $C\subset D$ $(A\setminus D)\subset (B\setminus C);$
Dacă , atunci pentru orice . Această relație are analogul ei în aritmetică : dacă , atunci pentru orice . $A\subset B$ $C$ $(C\setminus B)\subset (C\setminus A)$ $a\leqslant b$ $c$ $(cb)\leqslant (ca)$

Implementări pe computer

În pachetul Mathematica , operația este implementată folosind funcția Complement . În pachetul MATLAB , este implementat și folosind funcția setdiff.

În limbajul de programare Pascal (precum și în extensia sa obiect Object Pascal ), operația de diferență setată este reprezentată de operatorul „−”, ambii operanzi și al căror rezultat sunt valori de tip set.

În limbajul de programare Python, operația este implementată folosind metoda diff pe un obiect de tip set.

Set Complement

Definiție

Dacă din context rezultă că toate mulțimile luate în considerare sunt submulțimi ale unui univers fix , atunci operația de adăugare este definită: $X$

A^{\complement }=X\setminus A\equiv \{x\in X\mid x\nu \in A\}.

Proprietăți

Operația complement este o operație booleană unară . $2^{X}$
Legi complementare: [1]

$A\cup A^{\complement }=X;$
$A\cap A^{\complement }=\varnothing .$

În special, dacă ambele și sunt nevide , atunci este o partiție .

A

A^{\complement }

\{A,\;A^{\complement }\}

X

$X^{\complement }=\varnothing ;$
$\varnothing ^{\complement }=X;$
$(A\subset B)\Leftrightarrow (B^{\complement }\subset A^{\complement }).$

Operația de complement este o involuție :

(A^{\complement })^{\complement }=A.

Legile lui De Morgan :

$(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement };$
$(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.$

Stabiliți legile diferențelor:

$A\setminus B=A\cap B^{\complement };$
$(A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B.$

Codificare

grafem	Nume	Unicode	HTML	LaTeX
∁	COMPLETA	U+2201	∁	\complement

Vezi și

Operații pe platouri

Literatură

Lavrov I. A. , Maksimova L. L. Probleme în teoria mulțimilor, logica matematică și teoria algoritmilor. - M. : Fizmatlit, 2004. - 256 p.
Kuratovsky K. , Mostovsky A. Teoria mulţimilor/Per. din engleza. M. I. Pe scurt, ed. A. D. Taimanova. -M .: Mir, 1970. - S. 16, 20-22.

Note

↑ Ilyin V.A. , Sadovnichiy V.A. , Sendov Bl. H. . Capitolul 2. Numere reale // Analiza matematică / Ed. A. N. Tihonova . - Ed. a 3-a. , revizuit si suplimentare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 66. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .

Derivate ale literei latine C, c
Scrisori	Çç Ç̌ç̌ Ç£ Ćć Ĉĉ Ċċ Čč Č̓č̓ č̣̓ Ƈƈ Ȼȼ Ḉḉ ɕ ʗ ʗ̃ ʗ̬ 𝼏 ᴄ Ꜿꜿ Ꞓꞓ Ꞔꞔ 𝼝 Ↄↄ / C̀c̀ C̆c̆ C̨̆c̨̆ c̑ ç̑ C̓c̓ C̈c̈ C̄c̄ C̃c̃ Čič C̱c̱ C̣c̣ C̦c̦ Č̣č̣ Č̈č̈ c̋c̋ c̟ ʨ
Simboluri	₵ ₡ ¢ ℂ 𝔠 © 🄯 ¶•⸿ ∁ 𝄡 𝇐 ℃ ₠ ₢ 𝄊 Ⓒⓒ ⒞