Statistica Fermi-Dirac

Statistica Fermi-Dirac - statistică cuantică aplicată sistemelor de fermioni identici (particule cu spin semiîntreg , respectând principiul Pauli : o stare cuantică nu poate fi ocupată de mai mult de o particulă). Determină probabilitatea cu care un anumit nivel de energie al unui sistem în echilibru termodinamic este ocupat de un fermion .

În statisticile Fermi-Dirac, numărul mediu de particule cu energie este $n_{i}$ $\varepsilon_i$

n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon _{i}-\mu {kT}}\right)+1}}

unde este multiplicitatea degenerării (numărul de stări ale unei particule cu energie ), este potențialul chimic (la temperatura zero este egal cu energia Fermi ), este constanta Boltzmann , este temperatura absolută . $g_i$ $\varepsilon_i$ $\mu$ $E_F$ $k$ $T$

Într-un gaz Fermi ideal la temperaturi scăzute . În acest caz, dacă , funcția numărului (fracției) de ocupare a nivelului de către particule se numește funcție Fermi : $\mu=E_F$ $g_i=1$

F(\varepsilon,T)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon -E_{F}}{kT}}\right)+1)).

Această statistică a fost propusă în 1926 de către fizicianul italian Enrico Fermi și, în același timp, de către fizicianul englez Paul Dirac , care i-a aflat semnificația mecanică cuantică. În 1927 , Arnold Sommerfeld a aplicat statisticile electronilor dintr-un metal .

Proprietățile statisticii Fermi-Dirac

Funcția Fermi-Dirac are următoarele proprietăți:

adimensional;
ia valori reale în intervalul de la 0 la 1;
scade cu energia, scăzând brusc lângă energia egală cu potențialul chimic;
la zero absolut , arată ca o treaptă cu un salt de la 1 la 0 la , iar pe măsură ce temperatura crește, saltul este înlocuit cu o scădere din ce în ce mai lină; $\varepsilon =\mu$
la întotdeauna indiferent de temperatură. $\varepsilon =\mu$ $F=1/2$

Semnificație matematică și fizică

Funcția Fermi-Dirac stabilește numerele de ocupație ( factorul de ocupare în engleză ) ale stărilor cuantice. Deși este adesea numită „distribuție”, din punctul de vedere al aparatului teoriei probabilităților, nu este nici o funcție de distribuție, nici o densitate de distribuție . În ceea ce privește această funcție, să zicem, problema normalizării nu poate fi pusă . $F(\varepsilon,T)$

Oferind informații despre procentul de stări completate, funcția nu spune nimic despre prezența acestor stări. Pentru sistemele cu energii discrete, setul valorilor lor posibile este dat de listă etc. , iar pentru sistemele cu un spectru continuu de energii, stările sunt caracterizate printr-o „ densitate de stări ” (J -1 sau J - 1 m -3 ). Funcţie $F(\varepsilon,T)$ $\varepsilon_{1}$ $\varepsilon _{2}$ $\rho (\varepsilon )$

f(\varepsilon)=\left(\int \rho (\varepsilon)F(\varepsilon)d\varepsilon \right)^{-1}\rho (\varepsilon)F(\varepsilon)

este densitatea de distribuție a energiei (J -1 ) a particulelor și este normalizată. Pentru concizie, argumentul este omis. În cazurile cele mai tradiţionale $T$ $\rho (\varepsilon )\sim {\sqrt {\varepsilon }}$

Limită clasică (maxwelliană)

La temperaturi ridicate și/sau concentrații scăzute de particule, statisticile Fermi-Dirac (precum și statisticile Bose-Einstein ) se transformă în statisticile Maxwell-Boltzmann . Și anume, în aceste condiții

F(\varepsilon )=\exp \left({\frac {E_{F}-\varepsilon {kT}}\right)

După înlocuirea densității stărilor și integrarea de la 0 la , expresia pentru ia forma $\rho (\varepsilon )$ $\varepsilon$ $+\infty$ $f$

f(\varepsilon )={\frac {2\pi {\sqrt {\varepsilon )}}{\sqrt {(\pi kT)^{3))))\exp \left(-{\frac {\varepsilon }{kT}}\dreapta)

Aceasta este densitatea distribuției Maxwell (în termeni de energii).

Distribuția Maxwell (care funcționează bine în special pentru gaze) descrie particulele clasice „diferențiate”. Cu alte cuvinte, configurațiile „particulă în starea 1 și particulă în starea 2” și „particulă în starea 1 și particulă în starea 2” sunt considerate diferite. $A$ $B$ $B$ $A$

Aplicarea statisticii Fermi-Dirac

Caracteristicile domeniului de aplicare

Statisticile Fermi-Dirac, precum și statisticile Bose-Einstein, sunt utilizate în cazurile în care este necesar să se țină seama de efectele cuantice și de „nedistingerea” particulelor. În paradigma distincției, s-a dovedit că distribuția particulelor în stările de energie duce la rezultate non-fizice pentru entropie , care este cunoscută sub numele de paradoxul Gibbs . Această problemă a dispărut când a devenit clar faptul că toate particulele nu se pot distinge.

Statistica Fermi-Dirac se aplică fermionilor (particulele supuse principiului Pauli), iar statistica Bose- Einstein bozonilor . Efectele cuantice apar atunci când concentrația de particule (unde este numărul de particule, este volumul, este concentrația cuantică). Cuantica este concentrația la care distanța dintre particule este proporțională cu lungimea de undă de Broglie , adică funcțiile de undă ale particulelor sunt în contact, dar nu se suprapun. Concentrația cuantică depinde de temperatură. $N/V\geqslant n_q$ $N$ $V$ $n_q$

Exemple specifice

Statistica Fermi-Dirac este adesea folosită pentru a descrie comportamentul unui ansamblu de electroni în solide; multe prevederi ale teoriei semiconductorilor și electronicii în general se bazează pe aceasta. De exemplu, concentrația de electroni ( găuri ) în banda de conducție ( banda de valență ) a unui semiconductor la echilibru este calculată ca

n=\int \limits _{E_{c}}^{+\infty}\rho (\varepsilon)F(\varepsilon)\,d\varepsilon,\quad p=\int \limits _{- \infty }^{E_{v}}\rho (\varepsilon )(1-F(\varepsilon ))\,d\varepsilon

unde ( ) este energia din partea inferioară a benzii de conducere ( partea de sus a benzii de valență ). Formula pentru curentul de tunel între două regiuni separate printr-o barieră de potențial cuantic are forma generală $E_{c}$ $E_{v}$

j={\mbox{const}}\cdot \int \Theta (\varepsilon)\left[F_{L}(\varepsilon)-F_{R}(\varepsilon)\right]\,d\varepsilon

unde este coeficientul de transparență al barierei și , sunt funcțiile Fermi-Dirac în regiunile din stânga și din dreapta barierei. $\Theta$ $F_{L}$ $F_{R}$

Derivarea distribuției Fermi-Dirac

Luați în considerare starea unei particule într-un sistem format din mai multe particule. Fie ca energia unei astfel de particule să fie . De exemplu, dacă sistemul nostru este un fel de gaz cuantic într-o „cutie”, atunci o astfel de stare poate fi descrisă printr-o funcție de undă parțială. Se știe că pentru marele ansamblu canonic , funcția de distribuție are forma $\varepsilon$

Z=\sum_s e^{-(E(s)-\mu N(s))/kT},

unde este energia stării , este numărul de particule din stare , este potențialul chimic , este indicele care trece prin toate microstările posibile ale sistemului. $E(e)$ $s$ $N(e)$ $s$ $\mu$ $s$

În acest context, sistemul are stări fixe. Dacă orice stare este ocupată de particule, atunci energia sistemului este . Dacă starea este liberă, energia are valoarea 0 . Vom considera stările de echilibru ale unei singure particule ca un rezervor . După ce sistemul și rezervorul ocupă același spațiu fizic, începe să aibă loc schimbul de particule între cele două stări (de fapt, acesta este fenomenul pe care îl studiem). Din aceasta devine clar de ce se utilizează funcția de distribuție descrisă mai sus, care, prin potențialul chimic, ia în considerare fluxul de particule dintre sistem și rezervor. $n$ $n\cdot\varepsilon$

Pentru fermioni , fiecare stare poate fi fie ocupată de o singură particulă, fie liberă. Prin urmare, sistemul nostru are două seturi: stări ocupate (desigur, de o particulă) și stări neocupate, notate cu și respectiv. Se poate observa că , , și , . Prin urmare, funcția de distribuție ia forma: $s_{1}$ $s_{2}$ $E(s_1)=\varepsilon$ $N(s_1)=1$ $E(s_2)=0$ $N(s_2)=0$

Z=\sum_{i=1}^2 e^{-(E(s_i)-\mu N(s_i))/kT}=e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1.

Pentru marele ansamblu canonic, probabilitatea ca sistemul să fie într-o microstare este calculată prin formula $s_\alfa$

P(s_\alpha)=\frac{e^{-(E(s_\alpha)-\mu N(s_\alpha))/kT}}{Z}.

Prezența unei stări ocupate de o particulă înseamnă că sistemul se află într-o microstare , a cărei probabilitate este $s_{1}$

\bar{n}=P(s_1)=\frac{e^{-(E(s_1)-\mu N(s_1))/kT}}{Z}=\frac{e^{-(\varepsilon- \mu)/kT}}{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1}=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}.

$\hambar}$ se numește distribuția Fermi-Dirac . Pentru o temperatură fixă , există probabilitatea ca starea energetică să fie ocupată de un fermion. $T$ $\bar{n}(\varepsilon)$ $\varepsilon$

Luăm în considerare că nivelul de energie are degenerare . Acum puteți face o modificare simplă: $\varepsilon$ $g_\varepsilon$

\bar{n}=g_\varepsilon\cdot\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}.

Aici este fracția așteptată de particule în toate stările cu energie . ${\bar {n}}={\bar {n}}(\varepsilon )$ $\varepsilon$

Rafinarea efectului temperaturii

Pentru sistemele care au o temperatură sub temperatura Fermi și uneori (nu tocmai corect) pentru temperaturi mai ridicate, se folosește aproximarea . Dar, în cazul general, potențialul chimic depinde de temperatură, iar într-o serie de probleme trebuie luată în considerare această dependență. Funcția este reprezentată cu orice precizie printr -o serie de puteri în puteri pare ale relației : $T$ $T_{F}=E_{F}/k$ $\mu\aproximativ E_F$ $\mu$ $T/T_{F}<1$

\mu =E_{F}\sum _{n=0,1,2\dots }{\left[(-1)^{n}{\frac {\pi ^{2n}}{2^ {2n}(2n+1)}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2n}\right]}=E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{80} }\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{4}+\ldots \right]

Vezi și

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Mare norvegian Rusă mare Britannica (online)

Starile termodinamice ale materiei

Stări de fază

Starea de agregare Echilibrul de faze Regula fazei diagramă de fază Ecuația de stare
Solid	cristale Monocristal policristal Cristalit
Mezofază	Corpuri amorfe stare sticloasa cristal lichid Nematic Smectic colesteric Faza coloana Mezogen Membrană
Lichid	Fluid ideal Stare metastabilă lichid supraîncălzit lichid suprarăcit lichid întins Coltdown fluid supercritic
Gaz	Gaz ideal gaz real Aburi Abur saturat abur supraîncălzit abur suprasaturat
Plasma	electromagnetic Plasmă cuarc-gluon Glazma
Temperatura scazuta	condens bose Condens ferionic gaz cuantic gaz bose gaz Fermi gaz degenerat lichid cuantic bose lichid Fermi lichid solid superfluid Fenomene Superfluiditate Supraconductivitate
Alte	chestiune ciudată moleculă fotonică condens de sticla colorata

Tranziții de fază

Primul fel

Al doilea fel

în fenomene electrice	feroelectrice Antiferoelectric
în fenomenele magnetice	feromagneți Paramagneți Antiferomagneți

cuantic

punct lambda

Sisteme disperse

Geluri
- Aerogel
Soluții
sisteme coloide
- aspru
- Coloidal liber dispersat
Sol
Spray
- Fum
- Praf
- Ceaţă
- aburi
Suspensie
Emulsie

Vezi si