Val de Broglie

O undă de Broglie este o undă de probabilitate (sau o undă de amplitudine de probabilitate [1] ) care determină densitatea de probabilitate a detectării unui obiect într-un interval dat al spațiului de configurare . În conformitate cu terminologia acceptată, se spune că undele de Broglie sunt asociate cu orice particule și reflectă natura ondulatorie a acestora .

Ideea undelor asociate nu numai cu cuante de lumină, ci și cu particule masive, a fost propusă de Louis de Broglie în 1923-1924 [2] și se numește ipoteza lui de Broglie. Deși interpretarea modulului pătrat al amplitudinii undei ca densitate de probabilitate în spațiul de configurație îi aparține lui Max Born [3] , prin tradiție și ca recunoaștere a meritelor fizicianului francez, se vorbesc despre undele de Broglie .

Ideea undelor de Broglie este utilă pentru concluzii aproximative despre scara de manifestare a proprietăților de unde ale particulelor, dar nu reflectă întreaga realitate fizică și, prin urmare, nu stă la baza aparatului matematic al mecanicii cuantice. În locul undelor de Broglie, acest rol este jucat de funcția de undă în mecanica cuantică și de operatorii de câmp în teoria cuantică a câmpului .

Dualitate undă-particulă a fotonilor și particulelor masive

Fizica atomilor , a moleculelor și a grupurilor lor, în special a cristalelor, precum și a nucleelor atomice și a particulelor elementare, este studiată în mecanica cuantică. Efectele cuantice sunt semnificative dacă valoarea caracteristică a acțiunii (produsul energiei caracteristice înmulțit cu timpul caracteristic sau cu impulsul caracteristic pe distanța caracteristică ) devine comparabilă cu ( constanta lui Planck ). Dacă particulele se mișcă cu viteze mult mai mici decât viteza luminii în vid , atunci se aplică mecanica cuantică non-relativistă; la viteze apropiate de mecanica cuantică relativistă. $\hbar$ $c$ $c$

În centrul mecanicii cuantice se află ideile lui Planck despre natura discretă a schimbării energiei atomilor , cele ale lui Einstein despre fotoni , datele despre cuantizarea anumitor mărimi fizice (de exemplu, impuls și energie) care caracterizează starea particulelor. a microlumii în anumite condiţii. În același timp, s-a stabilit ferm că lumina prezintă proprietățile nu numai ale unui flux de particule, ci și ale unei unde, adică are dualitate val-particulă .

De Broglie a prezentat ideea că natura ondulatorie a propagării, stabilită pentru fotoni, are un caracter universal. Ar trebui să apară pentru orice particule cu impuls . Toate particulele cu un impuls finit , au proprietăți de undă, în special, sunt supuse interferenței și difracției [4] . $p$ $p$

Natura undelor de Broglie

Undele De Broglie au o natură specifică care nu are analogie între undele studiate în fizica clasică : pătratul amplitudinii undei de Broglie într-un punct dat este o măsură a probabilității ca o particulă să fie găsită în acel punct. Modelele de difracție care sunt observate în experimente sunt o manifestare a unui model statistic , conform căruia particulele cad în anumite locuri din receptori - unde intensitatea undei de Broglie este cea mai mare. Particulele nu se găsesc în acele locuri în care, conform interpretării statistice , pătratul modulului amplitudinii „undei de probabilitate” dispare.

Formulele lui De Broglie

Formula de Broglie stabilește dependența lungimii de undă asociată cu o particulă de materie în mișcare de impulsul particulei și energia totală de frecvența , sub forma unor relații relativistic invariante: $\lambda$ $p$ $E$ $\nu$

\lambda ={\frac {h}{p)),

E=h\nu ,

unde este constanta lui Planck . $h$

Un alt fel de formule de Broglie:

{\mathbf {p}}={\frac {h}{2\pi }}{\mathbf {k}}=\hbar {\mathbf {k}},

E=\hbar \omega ,

unde este vectorul de undă, al cărui modul este numărul de undă, care este numărul de lungimi de undă care se încadrează în unități de lungime, este frecvența ciclică, este vectorul unitar în direcția de propagare a undei, J s. ${\mathbf {k}}={\frac {2\pi }{\lambda }}{\mathbf {n}}$ $k={\frac {2\pi }{\lambda ))$ $2\pi$ $\omega =2\pi \nu$ $\mathbf {n}$ $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}\approx 1{,}05\cdot 10^{-34}$

Energia totală include energia cinetică și energia de repaus , în funcție de care $E=E_{K}+m_{0}c^{2}$ $E_{K}$ $E_{0}=m_{0}c^{2}$

$\lambda ={\frac {h}{p}}=hc[E_{K}(E_{K}+2m_{0}c^{2})]^{-1/2},$

unde hc = 1240 eV×nm, iar valorile sunt 0 pentru foton și alte particule fără masă, 511 keV pentru electron și 938 MeV pentru proton. $m_{0}c^{2}$ $m_{e}c^{2}=$ $m_{p}c^{2}=$

Limită nerelativista

Pentru particulele cu energii pre-relativiste care se deplasează cu o viteză ( viteza luminii ), formula este valabilă pentru impuls (unde este masa particulei), pentru că energia cinetică este formula . Apoi lungimea de undă de Broglie $v\ll c$ $p=mv$ $m$ $W=E-mc^{2)$ $W=mv^{2}/2$

\lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}={\frac {h}{\sqrt {2mW}}}.

În special, pentru un electron accelerat într-un câmp electric cu o diferență de potențial de volți $\Delta \varphi$

\lambda ={\frac {12{,}25}{\sqrt {\Delta \varphi })}\;\mathrm {\AA} .

Limită ultrarelativistă

Pentru particulele din cazul ultrarelativistic, când viteza lor este apropiată de viteza luminii, , lungimea de undă este [5] . $v\rightarrow c,E\gg mc^{2)$ $\lambda ={\frac {hc}{E)}$

Formule De Broglie pentru patru vectori

În forma cu patru dimensiuni, formulele de Broglie conectează energia-impuls cu patru vectori cu vectorul de undă cu patru dimensiuni și au forma [6] : $p^{\mu )$

p^{\mu }={\begin{pmatrix}p_{0}\\p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix)}={\begin{pmatrix } }E/c\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}=\hbar {\begin{pmatrix}\omega /c\\k_{x}\\ k_ {y}\\k_{z}\end{pmatrix}}.

Energia și impulsul oricărui obiect material sunt legate prin relația:

{\frac {E^{2}}{c^{2}}}=m^{2}c^{2}+p_{x}^{2}+p_{y}^{2} +p_{z}^{2}.

Frecvența și vectorul de undă sunt legate printr-o relație similară [6] :

{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}+k_{ x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2},

unde este numărul de undă Compton, inversul lungimii de undă Compton reduse ${\frac {mc}{\hbar ))$ ${\frac {\lambda _{C}}{2\pi }}.$

Faza și viteza de grup a undelor de Broglie

Viteza de fază a undelor de Broglie ale unei particule libere

v_{f}={\frac {\omega {k)}={\frac {E}{p)}={\frac {mc^{2}}{mv))={\frac { c^{2}}{v}}\simeq {\frac {c^{2}}{h}}m\lambda ={\frac {c^{2}p^{2}}{2Wh}}\ lambda.

Ultimele relații sunt aproximarea nerelativista. Dependența vitezei de fază a undelor de Broglie de lungimea de undă indică faptul că aceste unde experimentează dispersie . Viteza de fază a undei de Broglie, deși mai mare decât viteza luminii, este una dintre cantitățile fundamental incapabile de a transporta informații (este un obiect pur matematic). $v_{f}$

Viteza de grup a undei de Broglie este egală cu viteza particulei : $u$ $v$

u={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {dE}{dp}}=v

Ilustrație

Pentru o particulă de masă care se află în cadrul de referință inerțial al planului pseudo-euclidian al spațiului 4 Minkowski , care se deplasează cu o viteză în raport cu cadrul condiționat imobil de -a lungul direcției pozitive a axei , formula pentru mecanica cuantică amplitudinea probabilității de a-l detecta în orice loc din spațiu este aceeași peste tot. Cu toate acestea, faza este o funcție de timp: $m$ $x',ct'$ $V$ $x,ct$ $X$

ae^{(-i\omega _{0})t'}

, [7]

unde: ; ${\displaystyle \omega _{0}={\frac {E_{0}}{\hbar }}={\frac {mc^{2}}{\hbar }}={\frac {2\pi \cdot c}{\lambda _{C))))$

Iată: este frecvența schimbării de fază; $\omega_0$

E_{0}

este energia unei particule în repaus;

\hbar ={\frac {h}{2\pi }}

este constanta Planck redusă:

c

este viteza luminii;

\lambda _{C}={\frac {h}{mc)}

este lungimea de undă Compton a unei particule în repaus cu o masă [8] .

m

Figura este marcată: . Liniile de faze egale din acest sistem vor fi liniile de simultaneitate trasate prin punctele axei timpului paralele cu axa spațială . Aceste linii reprezintă o undă plană, care este descrisă de funcția de undă $\lambda _{C}=O'A_{1)$ $X'$

\psi _{(x',t')}=ae^{(-i\omega _{0})t'}=ae^{(-i/\hbar )E_{0}t'}

;

Figura 1 prezintă doar două linii de faze egale trasate prin punctele și , în care fazele amplitudinii probabilității au aceeași valoare ca în punctul luat ca inițial. Pentru un cadru de referință neamorsat , faza amplitudinii probabilității de a detecta o particulă în orice punct este deja o funcție nu numai a timpului, ci și a spațiului [7] . $A_{1}$ $A_{2}$ $O$ $x,ct$

Liniile de faze egale ale sistemului intersectează atât axele temporale, cât și cele spațiale ale sistemului , împărțind în același timp fiecare dintre ele în segmente egale. $x',ct'$ $x,ct$

Faza amplitudinii probabilității este o mărime invariantă. Aceasta înseamnă că dacă în sistemul amorsat în puncte spațiu-timp și faza diferă cu un număr întreg în raport cu faza în punctul , atunci în sistemul neamorsat în aceste puncte fazele trebuie să difere cu același număr . [8] Rezultă că segmentele de-a lungul axelor și reprezintă lungimi de undă atât în timp, cât și în spațiu. $C_{1}$ $B_1$ $2\pi$ $O$ $2\pi$ $CT$ $X$

Conform conceptului relativist, aplicând transformările Lorentz [9] , rezultă din figură:

OC_{1}=O'A_{1}{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}=cT=\lambda _{C}{\sqrt {1-(V/c) )^{2}}}

unde: este perioada de schimbare de fază în sistemul neamorsat. Din ultima egalitate a acestui lanț de egalități rezultă: $T$

E=\hbar \omega

unde: este frecvența circulară a schimbării de fază în sistem ; $\omega$ $x,ct$

E=mc^{2}/{\sqrt {1-(v/c)^{2)))

este energia totală a particulei în cadrul de referință ;

x,ct

Aici se ia în considerare faptul că viteza unei particule este egală cu viteza de mișcare a sistemului amorsat în care această particulă este în repaus. $v$ $V$

Din triunghi , ținând cont de asta și ținând cont de asta , obținem: $OB_{1}C_{1}$ $\operatorname {tg\alpha } ={\frac {V}{c}}$ $v=V$

B_{1}O={\frac {\lambda _{C}{\sqrt {1-(v/c)^{2)}}}{\operatorname {tg\alpha } }}={\ frac {h}{p}}=\lambda

unde: este lungimea de undă de Broglie; $\lambda$

p

este impulsul particulei.

Expresia pentru faza amplitudinii probabilității undei de Broglie din sistem poate fi obținută folosind transformarea Lorentz pentru timp la trecerea de la un sistem amorsat la unul neamorsat: $x,ct$

t'={\frac {t-(V/c^{2})x}{\sqrt {1-(V/c)^{2)))}

;

Înlocuind cu în expresia pentru amplitudinea din cadrul de referință amorsat, obținem: $t'$ $t$

ae^{(-i/\hbar )E_{0}t'}=ae^{-{(i/\hbar )\left[\left(E_{0}t/{\sqrt {1- (V/c)^{2}}}\right)-\left(E_{0}Vx/{c^{2}{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}}\right )\dreapta]}}

;

Identificând energia totală a particulei și impulsul acesteia cu expresia fazei obținute în timpul transformării, ținând cont de faptul că , formula amplitudinii undei de Broglie se poate scrie după cum urmează: $E=E_{0}/{\sqrt {1-(v/c)^{2)))$ $p=E_{0}v/c^{2}{\sqrt {1-(v/c^{2)))$ $v=V$

ae^{-{(i/\hbar )\left[Et-px\right]}}

; [7]

Viteza de fază a undei, adică viteza cu care punctele unei unde cu o fază constantă se mișcă (de exemplu, în figura 1, mișcarea fazei cu același nume dintr-un punct în punct ) este determinată direct din triunghiul : $B_1$ $C_{1}$ $OB_{1}C_{1}$

v_{f}={\frac {c^{2}}{v}}

;

Unda de Broglie monocromatică se caracterizează prin relațiile și . Adică, un astfel de obiect val are un impuls bine definit și o zonă de locație complet nedefinită. [10] Acesta este ceea ce este conținut în enunțul când se spune că există aceeași amplitudine a probabilității de a găsi o particule în toate punctele din spațiu. $\Delta x=\infty$ $\Delta p=0$

Fenomenul dualismului unde corpusculare este inerent tuturor tipurilor de materie, dar în grade diferite. O particulă de masă r care se mișcă cu o viteză de m/s corespunde unei unde de Broglie cu lungimea de undă cm. Aceste lungimi de undă se află în afara regiunii accesibile observației. Prin urmare, în mecanica corpurilor macroscopice, proprietățile undelor sunt nesemnificative și nu sunt luate în considerare. [opt] $m=10^{-5}$ $v=1$ $\lambda =6{,}6\cdot 10^{-22}$

Dependența lungimii de undă de viteza particulelor

Mecanismul de modificare a lungimii de undă de Broglie în funcție de modificarea vitezei particulelor este următorul.

Odată cu o creștere a vitezei de mișcare a unui sistem amorsat, care este adecvată pentru o particulă în repaus în el, axele de coordonate ale acestui sistem, precum lamele de foarfece, care se rotesc față de origine , se întorc spre poziția bisectoarei cadran format din direcțiile pozitive ale axelor sistemului neamorsat. [9] Punctul (Figura 1) de intersecție a axei timpului cu hiperbola invariantă (unitariană) [9] , care determină lungimea în sistemul amorsat, se apropie la nesfârșit de bisectoarea cadranului, luând infinite valori pozitive a axelor de coordonate şi . În acest caz, linia de simultaneitate (linia fazelor egale) trasată prin acest punct tinde spre poziția bisectoarei, iar punctul de intersecție a acestei linii cu axa tinde spre începutul O. Adică la lungimea de undă , și impulsul particulelor . $O$ $A_{1}$ $CT'$ $\lambda _{C}^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}$ $\lambda_C$ $X$ $CT$ $B_1$ $X$ $v=V\rightarrow c$ $\lambda \rightarrow 0$ $p=mv/{\sqrt {1-(v/c)^{2)}}\rightarrow \infty$

Odată cu o scădere a vitezei de mișcare a propriului cadru de referință, particulele - axele de coordonate ale acestui sistem, din nou, precum lamele de foarfece, se depărtează față de poziția bisectoarei cadranului. Unghiul de înclinare al axei față de axă și al axei față de axă tinde spre zero. Punctul de intersecție al hiperbolei unității cu axa timpului a sistemului amorsat se apropie de punctul . În acest caz, linia de faze egale a sistemului hașurat, trasată prin punctul , tinde să fie paralelă cu axa , iar punctul de intersecție a acestei linii cu axa tinde spre infinit spre valorile negative ale axei . Aceasta înseamnă că atunci când lungimea de undă este , iar impulsul particulei este . În acest caz limitativ, faza amplitudinii probabilității va fi deja doar o funcție de timp. Iar parametrul de undă va fi lungimea de undă Compton . $\alfa$ $CT'$ $CT$ $X'$ $X$ $A_{1}$ $A$ $A_{1}$ $X$ $B_1$ $X$ $X$ $v=V\rightarrow 0$ $\lambda \rightarrow \infty$ $p\rightarrow 0$ $\lambda _{C}=OA$

Rezumând rezultatele ambelor cazuri limitative, când produsul dintre lungimea de undă și impulsul particulei ia forma unor incertitudini de tip și se poate argumenta: , ceea ce se confirmă în relația de Broglie: . $(0\cdot \infty )$ $(\infty \cdot 0)$ $\lambda \cdot p=const$ $\lambda ={\frac {h}{p)}$

Verificare experimentală

Ipoteza de Broglie explică o serie de experimente care sunt inexplicabile în cadrul fizicii clasice [11] :

Experiment Davisson-Jermer privind difracția electronilor pe cristale de nichel.
Experiența lui J. P. Thomson în difracția electronilor prin folie metalică .
Efectul Ramsauer al unei scăderi anormale a secțiunii transversale pentru împrăștierea electronilor cu energie joasă de către atomii de argon.
Difracția neutronilor pe cristale ( experimentele lui G. Halban , P. Preiswerk și D. Mitchell).

Proprietățile undelor nu apar în corpurile macroscopice. Lungimile de undă de Broglie pentru astfel de corpuri sunt atât de mici încât detectarea proprietăților undei este imposibilă. Cu toate acestea, efectele cuantice pot fi observate și la scară macroscopică, supraconductivitatea și superfluiditatea sunt exemple deosebit de izbitoare în acest sens .

Vezi și

Note

↑ Feynman R, Layton R, Sands M , Feynman Lectures in Physics. Problema. 3–4, 1976 , p. 221-222, 412.
↑ Louis de Broglie „The Reinterpretation of Wave Mechanics” Foundations of Physics, Vol. 1 nr. 1 (1970) (link indisponibil)
↑ M. Născut. Reflecții și amintiri ale unui fizician: Culegere de articole / Ed. ed. E. I. Chudinov. - M. : Nauka, 1977. - S. 16. - 280 p.
↑ Yu. M. Shirokov , N. P. Yudin, Fizica nucleară. - M .: Nauka, 1972. - S. 17-18
↑ Valul De Broglie - articol din Enciclopedia fizică
↑ 1 2 Pauli V. Principii generale ale mecanicii ondulatorii. - M.: OGIZ, 1947. - S. 14
↑ 1 2 3 Feynman Richard Phillips. Volumul 3. Mecanica cuantică Arhivat 2 martie 2021 la Wayback Machine Ch. 5. § 1, § 2.
↑ 1 2 3 Wichman E. Fizică cuantică. - M .: Nauka, 1977. - S. 156-157, 185, 187-188. — 415 p.
↑ 1 2 3 Ugarov V. A. Teoria specială a relativității. - M.: Nauka, 1977, - S. 60 - 62, 64 - 65, 121 - 124. - 384 p.
↑ G. A. Zisman, O. M. Todes. Curs de Fizică Generală, Volumul III. - M .: Nauka, 1972. - S. 282-283. — 496 p.
↑ Martinson L.K., Smirnov E.V. Secțiunea 2.2. Confirmarea experimentală a ipotezei de Broglie // Fizica cuantică . - M . : MSTU im. N. E. Bauman , 2004. - V. 5. - 496 p. - 3000 de exemplare. — ISBN 5-7038-2797-3 . Copie arhivată (link indisponibil) . Data accesului: 25 decembrie 2009. Arhivat din original pe 26 aprilie 2009. (nedefinit)

Literatură

Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Lecturi de fizică. Problema. 3–4. - Ed. a 3-a. - M . : Mir, 1976. - 496 p.
www.e-libra.su/read/464761-tom-3-kvantovaya-mehanika.html# - Feynman Richard Phillips. Volumul 3. Mecanica cuantică citită online. Ch. 5. § 1, § 2.

Link -uri

Valuri De Broglie / prelegere „Elemente de mecanică cuantică”
Raportul De Broglie // „Elemente”

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4169089-8