Conexiune (geometrie necomutativă)

Geometria sistemelor cuantice (cum ar fi geometria necomutativă și supergeometria ) poate fi formulată în termeni algebrici de module și algebre . Conexiunea pe module generalizează conexiunea liniară pe fascicule vectoriale , scrisă ca conexiune pe modulul de secțiuni . [unu] $E\la X$ $C^{\infty }(X)$ $E\la X$

Geometrie comutativă

Fie un inel comutativ și un -modul. Există mai multe definiții echivalente ale conexiunii pe . [2] Fie modulul de derivații al inelului . O conexiune pe un -modul este definită ca un morfism al -modulelor $A$ $P$ $A$ $P$ $D(A)$ $A$ $A$ $P$ $A$

\nabla:D(A)\ni u\la \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),

astfel încât operatorii diferenţiali de ordinul întâi nu îndeplinesc regula Leibniz $\nabla _{u}$ $P$

\nabla _{u}(ap)=u(a)p+a\nabla _{u}(p),\quad a\in A,\quad p\in P.

O conexiune la un modul peste un inel comutativ există întotdeauna. Curbura conexiunii este definită ca un operator diferenţial de ordin zero $\nabla$

R(u,u')=[\nabla _{u},\nabla _{u'}]-\nabla _{[u,u']}.

Pe modul pentru toată lumea . $P$ $u,u'\in D(A)$

Dacă este un pachet vectorial, există o corespondență unu-la-unu între conexiunile liniare pe și conexiunile pe modulul - de secțiuni ale . În acest caz, corespunde diferenţialului covariant al conexiunii pe $E\la X$ $\Gamma$ $E\la X$ $\nabla$ $C^{\infty }(X)$ $E\la X$ $\nabla$ $E\la X.$

Supergeometrie

Noţiunea de conectare pe un inel comutativ se transferă direct la module prin algebre supra - gradate . [3] Acesta este cazul superconexiunilor în supergeometrie pe varietăți gradate și mănunchiuri supervectori . Superconexiunile există întotdeauna. $\mathbb Z_2$

Geometrie necomutativă

Dacă este un inel necomutativ, conexiunile pe modulele stânga și dreapta sunt definite în același mod ca și pe modulele peste un inel comutativ. [4] Cu toate acestea, astfel de conexiuni nu există neapărat. $A$ $A$

Spre deosebire de conexiunile pe modulele din stânga și din dreapta, apare o problemă cu definirea conexiunilor pe bimodule peste inele necomutative și . Există diferite definiții ale unor astfel de conexiuni. [5] Iată una dintre ele. O conexiune pe un -bimodul este definită ca un morfism al bimodulelor $RS$ $R$ $S$ $RS$ $P$

\nabla:D(A)\ni u\la \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),

care satisface regula Leibniz

\nabla _{u}(apb)=u(a)pb+a\nabla _{u}(p)b+apu(b),\quad a\in R,\quad b\in S, \quad p\în P.

Vezi și

Note

↑ Koszul (1950)
↑ Koszul (1950), Mangiarotti (2000)
↑ Bartocci (1991), Mangiarotti (2000)
↑ Landi (1997)
↑ Dubois-Violette (1996), Landi (1997)

Literatură

Koszul, J. , Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Societe Mathematique 78 (1950) 65
Koszul, J. , Prelegeri despre fasciculele de fibre și geometria diferențială (Universitatea Tata, Bombay, 1960)
Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D. , The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
Dubois-Violette, M., Michor, P. , Conexiuni pe bimodule centrale în geometrie diferențială necommutativă, J. Geom. Fiz. 20 (1996) 218. arXiv: q-alg/9503020v2
Landi, G. , O introducere în spațiile necommutative și geometriile lor, Lect. Note Fizica, Noua serie m: Monografii, 51 (Springer, 1997) ArXiv eprint , iv+181 pagini.
Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Conexiuni în teoria câmpului clasică și cuantică ( World Scientific , 2000) ISBN 981-02-2013-8
G. A. Sardanashvili , Metode moderne ale teoriei câmpului. 4. Geometrie și câmpuri cuantice (URSS, 2000) ISBN 5-88417-221-4 .

Link -uri

Sardanashvily, G. , Prelegeri despre geometria diferențială a modulelor și inelelor (Lambert Academic Publishing, Saarbrucken, 2012); arXiv: 0910.1515 (link indisponibil)