Geometrie necomutativă

Geometria necomutativă ( NKG ) este o ramură a matematicii dedicată abordării geometrice a algebrelor necomutative [1] și construcției de „spații” care sunt reprezentate local de algebre cu funcții necomutative (poate în unele generalizate). sens).

O abordare care oferă o înțelegere profundă a spațiilor necomutative este utilizarea algebrelor operatorilor (adică algebrelor operatorilor liniari mărginiți pe un spațiu Hilbert ). [2] Unul dintre exemplele de bază ale unui spațiu necomutativ este tori necomutativ , care a jucat un rol cheie în dezvoltarea timpurie a câmpului în anii 1980 și a condus la versiuni necomutative ale pachetelor de vectori , conexiuni , curbură , etc. [ 3]

Idei principale

Ideea principală a geometriei necomutative este reformularea conceptelor de topologie, analiză, geometrie diferențială în limbajul algebrelor Banach. [patru]

În matematică, „spatiile”, obiecte geometrice prin natura lor, pot fi asociate cu seturi de funcții pe ele. În general, astfel de funcții vor forma un inel comutativ . De exemplu, se poate lua inelul de funcții continue cu valori complexe pe un spațiu topologic . În multe cazuri (de exemplu, dacă este un spațiu Hausdorff compact ) spațiul este recuperabil în mod unic din , așa că se poate spune într-un anumit sens că are o „topologie comutativă”. $C(X)$ $X$ $X$ $X$ $C(X)$ $X$

Mai precis, în topologie, spațiile Hausdorff topologice compacte pot fi reconstruite din algebra Banach a funcțiilor pe spațiu (vezi reprezentarea Gel'fand și teorema Gel'fand-Naimark ). În geometria algebrică comutativă, schemele algebrice sunt spectre local simple ale inelelor comutative cu identitate ( A. Grothendieck ), iar fiecare schemă cvasi-separabilă poate fi recuperată până la un izomorfism de scheme peste categoria modulelor cu snopi cvasi-coerente ( P. Gabriel -A. Rosenberg). Pentru topologiile Grothendieck, proprietățile coomologice ale unui sit sunt invariante ale categoriei corespunzătoare de snopi de mulțimi considerate abstract ca un topos (A. Grothendieck). În toate aceste cazuri, spațiul este recuperat din algebra funcțiilor sau din versiunea sa categorizată - o categorie de snopi pe acest spațiu. $X$ $O_{X}$

Funcțiile dintr-un spațiu topologic pot fi multiplicate și însumate punctual, deci formează o algebră comutativă; de fapt, aceste operații sunt locale în topologia spațiului de bază, prin urmare funcțiile formează un snop de inele comutative peste spațiul de bază.

Ideea geometriei necomutative este de a încerca să generalizezi această dualitate la dualitatea dintre algebre necomutative, sau snopi de algebre necomutative sau alte structuri cu proprietăți similare și obiecte geometrice de anumite tipuri, astfel încât proprietățile din descrierile lor algebrice și geometrice se dovedesc a fi interconectate.

Datorită faptului că inelele comutative corespund schemelor afine obișnuite, iar algebrele C* comutative corespund spațiilor topologice obișnuite, extinderea la inele și algebre necomutative necesită o generalizare non-trivială a spațiilor topologice ca „spatii necomutative”. În acest sens, termenul „ topologie necomutativă ” este uneori folosit, deși acest termen are alte semnificații.

Aplicații în fizica matematică

Geometria necomutativă este utilizată în teoria cuantică a câmpurilor și în teoria corzilor. [4] Unele aplicații în fizica particulelor sunt descrise în articolele Noncommutative Standard Model și Noncommutative Quantum Field Theory . Creșterea bruscă a interesului pentru geometria necomutativă în fizică urmează speculațiilor din 1997 despre rolul său în teoria M. [5]

Legătura cu teoria ergodică

O parte a teoriei dezvoltate de Alain Connes pentru aplicarea geometriei necomutative este înrădăcinată la nivel tehnic în încercări mai vechi, în special teoria ergodică . a lui George Mackey de a crea o teorie a „subgrupurilor virtuale” a fost deja implementată , în raport cu care acțiunile grupului ergodice ar deveni spații omogene de formă extinsă.

Algebre C* necomutative, algebre von Neumann

Prin analogie cu reprezentarea Gelfand , care arată că algebrele comutative sunt duale pentru spații Hausdorff compacte local , obiectele formal duale cu algebrele C* necomutative sunt adesea numite spații necomutative. În cazul general, se poate asocia cu orice -algebră un spațiu topologic ; vezi spectrul C*-algebrei . $C^{\ast )$ $C^{\ast )$ $S$ ${\pălărie {S)}$

Datorită dualității dintre spațiile de măsură sigma-finite și algebrele von Neumann comutative , algebrele von Neumann necomutative sunt numite „ spații de măsură necomutative ”.

Soiuri diferențiabile necomutative

O varietate riemanniană netedă nu este doar un spațiu topologic, ea are multă structură suplimentară. Dar din algebra sa a funcțiilor continue , se poate recupera doar ca spațiu topologic. Invariantul algebric care face posibilă restabilirea structurii riemanniene este triplul spectral , care este construit după cum urmează. Să existe un pachet vectorial neted peste , de exemplu, un pachet al unei algebre exterioare. Spațiul Hilbert al secțiunilor al căror pătrat este integrabil conține o reprezentare prin operatori de înmulțire. Se poate considera un operator nemărginit cu o rezoluție compactă (de exemplu, un operator de semnătură ) astfel încât pentru toate comutatoarele netede sunt mărginite. Recent a fost demonstrată o teoremă profundă [6] , care afirmă că din algebră , acțiunea acesteia asupra spațiului și operatorului poate fi restabilită ca o varietate riemanniană. $M$ $C(M)$ $M$ $E$ $M$ $L^{2}(M,E)$ $E$ $C(M)$ $D$ $L^{2}(M,E)$ $f$ $[D,f]$ $C(M)$ $L^{2}(M,E)$ $D$ $M$

Aceasta spune că o varietate Riemanniană necomutativă poate fi definită ca un triplu spectral constând dintr-o reprezentare -algebră într-un spațiu Hilbert , împreună cu un operator nemărginit cu o rezoluție compactă astfel încât comutatorul să fie mărginit pentru toate în unele subalgebră densă . Există cercetări active asupra triplelor spectrale și au fost construite multe exemple de varietăți necomutative. $(A,H,D)$ $C^{\ast )$ $A$ $H$ $D$ $H$ $[D,a]$ $A$ $A$

Scheme necomutative afine și proiective

Prin analogie cu dualitatea dintre schemele afine și inelele comutative , se poate defini categoria „schemelor afine necomutative” ca fiind categoria duală a inelelor asociative cu identitate. În acest context, există anumiți analogi ai topologiei Zariski, care permit astfel de scheme afine să fie „lipite împreună” pentru a forma obiecte mai generale.

Există, de asemenea, generalizări necomutative ale construcțiilor pentru inele gradate comutative care imită teorema de proiectizare a lui Serre . Și anume, categoria de snopi cvasi-coerente de O-module pe algebra gradată comutativă este echivalentă cu categoria modulelor gradate peste un inel localizat în subcategoria Serre de module gradate de lungime finită ; există, de asemenea, o teoremă similară pentru snopi coerente atunci când algebra este noetheriană. Această teoremă este extinsă ca o definiție a „geometriei proiective necomutative” de Michael Artin și J. J. Zhang, [7] care adaugă și unele condiții generale ale teoriei inelelor (de exemplu, regularitatea Artin-Schelter). $\operatorname {Con}$ $\operatorname {Proj}$ $\operatorname {Proj}$

Multe proprietăți ale schemelor proiective se extind în acest context. De exemplu, există un analog al faimoasei dualitate Serre pentru schemele proiective necomutative ale lui Artin și Zhang. [opt]

A. L. Rozenberg a creat un concept destul de general de „schemă cvasi-compactă necomutativă” (peste categoria de bază), traducând studiile lui Grothendieck despre morfismele schemelor și acoperirilor în limbajul abstract al categoriilor de snopi cvasi-coerenți și functori de localizare plat. . [9]

Există și o altă abordare interesantă a teoriei localizării, datorită lui Fred Van Oystijen , Luc Villert și Alain Verschoren, unde conceptul principal este conceptul de „algebră schematică”. [10] [11]

Invarianți pentru spații necomutative

Unele dintre întrebările motivante ale teoriei sunt legate de extinderea invarianților topologici binecunoscuti la algebrele formal duale la necomutative (operatoare) și la alte variante de spații necomutative. Unul dintre principalele puncte de plecare ale cercetării lui Alain Connes în geometria necomutativă este descoperirea unei noi teorii de omologie legată de algebrele asociative necomutative și algebrele cu operatori necomutativi, și anume omologia ciclică și legătura lor cu K- algebric. teorie (rolul principal este jucat de cartografierea caracterelor Connes -Chern).

Teoria claselor caracteristice ale varietăților netede a fost extinsă la triplele spectrale cu ajutorul operatorului K-theory și coomologie ciclică . Câteva generalizări ale teoremelor indexului, acum clasice, permit extragerea eficientă a invarianților numerici din triplele spectrale. Clasa caracteristică fundamentală în coomologia ciclică, cociclul JLO , generalizează caracterul clasic Chern .

Exemple de spații necomutative

În reprezentarea spațiului de fază a mecanicii cuantice , spațiul de fază simplectic din mecanica clasică este deformat într-un spațiu de fază necomutativ generat de operatorii de coordonate și impuls .
Modelul standard necomutativ este propus ca o extensie a modelului standard al fizicii particulelor elementare.
Un tor necomutativ , care este o deformare a algebrei funcționale a unui tor obișnuit, poate fi dat de structura unui triplu spectral. Această clasă de exemple a fost studiată pe larg și este folosită și astăzi ca un caz de testare pentru situații mai complexe.
Snyder space [12]
Algebre necomutative care decurg din folii .
Exemplele legate de sistemele dinamice care provin din teoria numerelor , cum ar fi deplasarea Gauss pe fracții continue, duc la algebre necomutative care par să aibă geometrii necomutative interesante.

Vezi și

comutativitatea
Reprezentarea spațiului de fază
Piesa lui Moyal
Fuzzy sphere
Geometrie algebrică necomutativă
Topologie necomutativă

Note

↑ O algebră necomutativă este o algebră asociativă în care înmulțirea nu este comutativă , adică pentru care nu este întotdeauna egală cu ; sau, mai general, o structură algebrică în care una dintre operațiile binare subiacente nu este comutativă; permite, de asemenea, utilizarea de structuri suplimentare, cum ar fi topologia sau norma , poate printr-o algebră a funcției necomutative. $X y$ $yx$
↑ Khalkhali, Marcolli, 2008 , p. 171.
↑ Khalkhali, Marcolli, 2008 , p. 21.
↑ 1 2 Sergeev A. G. Introducere în geometria necomutativă Arhivat 3 martie 2022 la Wayback Machine
↑ Connes, Alain; Douglas, Michael R; Schwarz, Albert (05-02-1998). „Geometrie necomutativă și teoria matricelor”. Journal of High Energy Physics . 1998 (2): 003. arXiv : hep-th/9711162 . Cod biblic : 1998JHEP ...02..003C . DOI : 10.1088/1126-6708/1998/02/003 . ISSN 1029-8479 .
↑ Connes, Alain (2008), Despre caracterizarea spectrală a varietăților, arΧiv : 0810.2088 [math.OA].
↑ Artin, M.; Zhang, JJ (1994). „Scheme proiective necomutative”. Progrese în matematică . 109 (2): 228-287. DOI : 10.1006/aima.1994.1087 . ISSN 0001-8708 .
↑ Yekutieli, Amnon; Zhang, James J. (1997-03-01). „Dualitate serre pentru scheme proiective necomutative”. Proceedings of the American Mathematical Society . Societatea Americană de Matematică (AMS). 125 (3): 697-708. DOI : 10.1090/s0002-9939-97-03782-9 . ISSN 0002-9939 .
↑ AL Rosenberg, Scheme noncommutative, Compositio Mathematica 112 (1998) 93-125, doi ; Spații subiacente ale schemelor necommutative, preprint MPIM2003-111, dvi Arhivat 4 septembrie 2021 la Wayback Machine , ps Arhivat 4 septembrie 2021 la Wayback Machine ; MSRI prelegere Scheme și spații necommutative (feb 2000): videoclip Arhivat 17 decembrie 2004 la Wayback Machine
↑ Freddy van Oystaeyen, Geometrie algebrică pentru algebre asociative, ISBN 0-8247-0424-X - New York: Dekker, 2000.- 287 p. - (Monografii și manuale de matematică pură și aplicată, 232)
↑ Van Oystaeyen, Fred; Willaert, Luc (1995). „Topologie Grothendieck, snopi coerente și teorema lui Serre pentru algebre schematice” (PDF) . Jurnal de algebră pură și aplicată . Elsevier BV. 104 (1): 109-122. DOI : 10.1016/0022-4049(94)00118-3 . HDL : 10067/124190151162165141 . ISSN 0022-4049 .
↑ Snyder, Hartland S. (1947-01-01). „Spațiu-timp cuantizat” . Revizuirea fizică . Societatea Americană de Fizică (APS). 71 (1): 38-41. Cod biblic : 1947PhRv ...71...38S . DOI : 10.1103/physrev.71.38 . ISSN 0031-899X .

Link -uri

Connes, Alain (1994), Geometrie necomutativă , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-185860-5 , < https://archive.org/details/noncommutativege0000conn >
Connes, Alain & Marcolli, Matilde (2008), O plimbare în grădina necomutativă, O invitație la geometria necomutativă , World Sci. Publ., Hackensack, NJ, p. 1–128
Connes, Alain & Marcolli, Matilde (2008), Geometrie necomutativă, câmpuri cuantice și motive , voi. 55, American Mathematical Society Coloquium Publications, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4210-2 , < http://www.alainconnes.org/docs/bookwebfinal.pdf > Arhivat 29 decembrie 2009 la mașina Wayback
Gracia Bondia, Jose M; Figueroa, Hector & Varilly, Joseph C (2000), Elemente de geometrie necomutativă , Birkhauser, ISBN 978-0-8176-4124-5
Khalkhali, Masoud & Marcolli, Matilde (2008), O invitație la geometrie non-comutativă , World Scientific, ISBN 978-981-270-616-4 , < https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/6422 >
Landi, Giovanni (1997), O introducere în spațiile necommutative și geometriile lor , voi. 51, Note de curs în fizică. Noua serie m: Monografii, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-63509-3
Van Oystaeyen, Fred & Verschoren, Alain (1981), Geometrie algebrică necomutativă , voi. 887, Note de curs în matematică, Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-11153-5

Lectură suplimentară

Consani, Caterina & Connes, Alain , eds. (2011), Geometrie necomutativă, aritmetică și subiecte conexe. Actele celei de-a 21-a reuniuni a Institutului de Matematică Japonia-SUA (JAMI) a avut loc la Universitatea Johns Hopkins, Baltimore, MD, SUA, 23-26 martie 2009 , Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-1-4214- 0352-6 , < https://books.google.com/books?id=yqdCBA9hQr0C&q=Noncommutative+geometry,+arithmetic,+and+related+topics >
Grensing, Gerhard. Aspecte structurale ale teoriei câmpurilor cuantice și ale geometriei necomutative. - Hackensack New Jersey: World Scientific, 2013. - ISBN 978-981-4472-69-2 .

Link -uri

Introducere în geometria cuantică de Micho Đurđevich
Ginzburg, Victor (2005), Lectures on Noncommuative Geometry, arΧiv : math/0506603 .
Khalkhali, Masoud (2004), Very Basic Noncommutative Geometry, arΧiv : math/0408416 .
Marcolli, Matilde (2004), Lectures on Arithmetic Noncommuative Geometry, arΧiv : math/0409520 .
Madore, J. (2000). „Geometrie necomutativă pentru pietoni”. Nonlocalitate clasică și cuantică : 111. arXiv : gr-qc/9906059 . Cod biblic : 2000cqnl.conf..111M . DOI : 10.1142/9789812792938_0007 . ISBN 978-981-02-4296-1 .
Masson, Thierry (2006), O introducere informală în ideile și conceptele de geometrie necomutativă, arΧiv : math-ph/0612012 . (O introducere mai ușoară, care este încă destul de tehnică)
Geometrie necomutativă pe arxiv.org
MathOverflow, Teorii ale geometriei necomutative
Mahanta, Snigdhayan (2005), Despre unele abordări către geometria algebrică necomutativă, arΧiv : math/0501166 .
Sardanashvily, G. (2009), Prelegeri despre geometria diferențială a modulelor și inelelor, arΧiv : 0910.1515 [matematică-ph].
Geometrie necomutativă și fizica particulelor