Derivat slab

„ Derivată slabă ” (în matematică ) este o generalizare a conceptului de derivată a unei funcții („derivată puternică”) pentru funcțiile care sunt integrabile Lebesgue (adică din spațiu $L_{1}$ ), dar nu sunt diferențiabile .

Definiție

Fie o funcție din . O funcție a se numește „derivată slabă” dacă $u$ $L^{1}([a,b])$ $v(t)$ $L^{1}([a,b])$ $u$

\int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)dt

pentru toate funcţiile diferenţiabile continuu pentru . Această definiție se bazează pe metoda integrării pe părți . $\varphi$ $\varphi (a)=\varphi (b)=0$

Generalizarea la măsurători, dacă și aparțin spațiului de funcții integrabile local pentru un domeniu , și dacă este un multi-index , atunci se numește derivată slabă de ordin dacă $n$ $u$ $v$ $L_{loc}^{1}(U)$ $U\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $\alfa$ $v$ $u$ $\alfa$

\int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi

pentru toți — finit în funcții infinit de netede. $\varphi \in C_{c}^{\infty }(U)$ $U$

Dacă o funcție are o derivată slabă, atunci este adesea notată cu , deoarece este unică până la un set de măsură zero. $u$ $D^{\alpha}u$

Exemple

Funcția u : [−1, 1] → [0, 1], u ( t ) = | t |, care nu are derivată în punctul t = 0, are totuși o derivată slabă v pe intervalul [−1, 1] , așa-numita „funcție semn” ( sgn ), definită prin următoarea relație:

v\colon [-1,1]\to [-1,1]\colon t\mapsto v(t)={\begin{cases}1,&t>0;\\0,&t=0; \\-1,&t<0.\end{cases}}

Aceasta nu este singura derivată a lui u : orice funcție w care coincide cu v aproape peste tot va fi și o derivată slabă a lui u . De obicei, aceasta nu este o problemă, deoarece atât din punctul de vedere al spațiilor Lp cât și al spațiilor Sobolev sunt echivalente.

Funcția caracteristică a mulțimii numerelor raționale D ( funcția Dirichlet ) nu este nicaieri derivabilă, dar are o derivată slabă peste tot. Deoarece măsura Lebesgue a numerelor raționale este egală cu zero, atunci

\int D(t)\varphi (t)dt=0

Astfel, există o derivată slabă a funcției D . Acest lucru ar trebui să fie intuitiv, deoarece D în spațiul Lp este echivalent cu zero identic.

v(t)\equiv 0

Proprietăți

Dacă două funcții sunt derivate slabe ale aceleiași funcții, atunci ele coincid cu un set de măsură completă ( aproape peste tot ). Dacă, așa cum este obișnuit în spații , presupunem că aproape peste tot funcțiile egale sunt echivalente, atunci derivata slabă este definită în mod unic. $L_{p}$

Dacă u are o derivată obișnuită ("puternică"), atunci va fi o derivată slabă. În acest sens, derivata slabă este o generalizare a celei puternice. Mai mult, regulile clasice pentru derivatele de sume și produse de funcții sunt păstrate și pentru derivatele slabe.

Dezvoltare

Conceptul unui derivat slab a pus bazele pentru construirea așa-numitului. soluții slabe în spațiul Sobolev , care s-au dovedit utile în teoria ecuațiilor diferențiale și în analiza funcțională .

Literatură

Mikhlin S.G. Curs de fizică matematică. - al doilea, stereotip. - Sankt Petersburg. : Lan, 2002. - 576 p. — ISBN 5-8114-0468-9 .
Sobolev S.L. Câteva aplicații ale analizei funcționale în fizica matematică. — Ed. a III-a, revizuită și completată. — M .: Nauka , 1988. — 336 p. — ISBN 5-02-013756-1 .
Ladyzhenskaya O.A. , Uraltseva N.N. Ecuații liniare și cvasiliniare de tip eliptic. — M .: Nauka , 1973. — 576 p.