Functie omogena

O funcție de grad omogen este o funcție numerică astfel încât pentru oricare dintre domeniile funcției și pentru orice , egalitatea este adevărată: $q$ $f:\mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R}$ $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$ $f$ $\lambda \in \mathbb {R}$

f(\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{q}f(\mathbf {v}).\qquad \qquad (*)

Parametrul se numește ordinea omogenității . Se presupune că, dacă este inclus în domeniul funcției, atunci toate punctele de vedere sunt și ele incluse în domeniul funcției. $q$ $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$ $\lambda \mathbf {v}$

Există, de asemenea

funcții omogene pozitiv pentru care egalitatea este valabilă numai pentru pozitiv $(*)$ $\lambda$ $(\lambda >0),$
funcţii absolut omogene pentru care egalitatea este valabilă
$f(\lambda \mathbf {v} )=|\lambda |^{q}f(\mathbf {v}),$
funcții omogene mărginite , pentru care egalitatea este valabilă numai pentru unele valori distincte $(*)$ $\lambda ,$
funcții omogene complexe pentru care egalitatea este adevărată pentru și sau (precum și pentru exponenții complecși ). $f:\mathbb {C} ^{n}\la \mathbb {C}$ $(*)$ $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ $\lambda \in \mathbb {R}$ $\lambda \in \mathbb {C}$ $q\in \mathbb {C}$

Definiție alternativă a unei funcții omogene

În unele surse matematice, funcțiile sunt numite omogene, care sunt soluția ecuației funcționale

f ( λ v ) = g ( λ ) f ( v ) {\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )}

f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )

cu o funcție predeterminată și numai atunci se demonstrează că unicitatea soluției necesită o condiție suplimentară ca funcția să nu fie identic egală cu zero și că funcția aparține unei anumite clase de funcții (de exemplu, a fost continuă sau a fost monotonă) . Totuși, dacă o funcție este continuă cel puțin într- un punct cu o valoare diferită de zero a funcției, atunci trebuie să fie o funcție continuă pentru toate valorile și, astfel, pentru o clasă largă de funcții, cazul este singurul posibil.

g(\lambda )

g(\lambda )=\lambda ^{q}.

g(\lambda )=\lambda ^{q)

f(\mathbf {v} )

g(\lambda )

f(\mathbf {v} )

g(\lambda )

\lambda ,

f(\mathbf {v} )

g(\lambda)\equiv \lambda ^{q)

Motivație:

O funcție identică egală cu zero satisface ecuația funcțională pentru orice alegere de funcție, dar acest caz degenerat nu prezintă un interes deosebit. $f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )$ $g(\lambda ),$

Dacă la un moment dat valoarea este atunci: ${\mathbf {v}}_{0}$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,$

$g(\lambda _{1}\lambda _{2})f(\mathbf {v} _{0})=f(\lambda _{1}\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})f(\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2 })f(\mathbf {v} _{0})$ , Unde: ∀ λ unu , λ 2 : g ( λ unu λ 2 ) = g ( λ unu ) g ( λ 2 ) ; {\displaystyle \forall \lambda _{1},\lambda _{2}:g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{ 2});} $\forall \lambda _{1},\lambda _{2}:g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{ 2});$
$g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2})\Leftrightarrow G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2}),$ Unde $\mu =\log \lambda, G(\mu)=\log g(\exp(\mu)).$

Ecuația funcțională Cauchy are o soluție sub forma unei funcții liniare: în plus, pentru o clasă de funcții continue sau o clasă de funcții monotone, această soluție este unică. Prin urmare, dacă se știe că o funcție continuă sau monotonă, atunci $G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2})$ $G(t)=q\cdot t,$ $g(\lambda )$ $g(\lambda)\equiv \lambda ^{q}.$

Dovada unicității soluției ecuației funcționale Cauchy 1. Cu cele raționale , este adevărat pentru că:

t=m/n

G(t\mu )=t\cdot G(\mu ),

a) adică

G(2\mu )=G(\mu +\mu )=G(\mu )+G(\mu )=2G(\mu ),

G(2\mu )=2G(\mu );

b) adică

2G(\mu /2)=G(\mu /2)+G(\mu /2)=G(\mu /2+\mu /2)=G(\mu /2)

G(\mu /2)=(1/2)G(\mu);

etc.; 2. Deoarece numerele iraționale, care pot fi „strânse” în mod arbitrar strâns între două raționale, pentru funcții continue sau monotone, relația trebuie îndeplinită și pentru iraționale .

G(t\mu )=t\cdot G(\mu )

t;

3. Ultimul pas: trebuie setat raportul

G(t\mu )=t\cdot G(\mu )

\mu =1.

Notă: pentru clase mai largi de funcții, ecuația funcțională luată în considerare poate avea și alte soluții foarte exotice (vezi articolul „Baza lui Hamel” ). Dovada continuității dacă este continuă cel puțin într-un punct

g(\lambda ),

f(\mathbf {v} )

Lăsați funcția să fie continuă într-un punct fix și luați în considerare identitatea $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v} _{0},$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0.$

f((1+\varepsilon)\lambda _{0}\mathbf {v} _{0})=g(((1+\varepsilon)\lambda _{0})f(\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{0})f((1+\varepsilon )\mathbf {v} _{0}).

Când valoarea tinde să datorită continuității funcției în punctul De atunci, aceasta înseamnă că tinde spre , adică că funcția este continuă în punctul Deoarece poate fi aleasă de oricine, atunci este continuă în toate punctele . $\varepsilon \to 0$ $f((1+\varepsilon )\mathbf {v} _{0})$ $f(\mathbf {v} _{0})$ $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v} _{0}.$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,$ $g((1+\varepsilon)\lambda _{0})$ $g(\lambda _{0}),$ $g(\lambda )$ $\lambda _{0}.$ $\lambda _{0}$ $g(\lambda )$

Corolar: Dacă o funcție omogenă este continuă într-un punct, atunci va fi, de asemenea, continuă în toate punctele formei (inclusiv atunci când ). $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v} _{0},$ $f(\mathbf {v} )$ $\lambda \mathbf {v} _{0)$ $f(\mathbf {v} _{0})=0$

Proprietăți

Dacă sunt funcții omogene de același ordin, atunci

combinația lor liniară cu coeficienți constanți va fi o funcție omogenă de același ordin

f_{1},f_{2},\dots

q,

q.

Dacă sunt funcții omogene cu ordine, atunci produsul lor va fi o funcție omogenă cu ordine

f_{1},f_{2},\dots

q_{1},q_{2},\dots ,

q=q_{1}+q_{2}+\dots .

Dacă este o funcție de ordin omogen, atunci puterea sa (nu neapărat întreg), dacă are sens (adică dacă este un număr întreg sau dacă valoarea este pozitivă), va fi o funcție de ordin omogen pe domeniul corespunzător. În special, dacă este o funcție omogenă a ordinului , atunci va fi o funcție omogenă a ordinului și domeniul de definiție în punctele în care este definit și nu este egal cu zero.

f

q,

m

m

f

mq

f

q

1/f

(-q)

f

Dacă este o funcție omogenă de ordine și sunt funcții omogene de ordine, atunci suprapunerea funcțiilor va fi o funcție omogenă de ordine

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

p,

h_{k}\left(y_{1},y_{2},\dots,y_{m}\right)

q,

F\left(y_{1},y_{2},\dots,y_{m}\right)=f\left(h_{1},h_{2},\dots,h_{n}\ dreapta)

pq.

Dacă este o funcție omogenă a variabilelor de grad și hiperplanul aparține domeniului său de definiție, atunci funcția variabilelor va fi o funcție omogenă a gradului

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

n

p,

x_{1}=x_{2}=\dots =x_{j}=0

\stanga(nj\dreapta)

g\left(x_{j+1},x_{j+2},\dots,x_{n}\right)=f\left(0,\dots,0,x_{j+1}, \dots ,x_{n}\right)

p.

Logaritmul unei funcții omogene de ordin zero sau logaritmul modulului unei funcții omogene de ordin zero este o funcție omogenă de ordin zero. Logaritmul unei funcții omogene sau logaritmul modulului unei funcții omogene este o funcție omogenă dacă și numai dacă ordinea de omogenitate a funcției în sine este zero.

Modulul unei funcții omogene sau modulul unei funcții absolut omogene este o funcție absolut omogenă. Modulul unei funcții omogene sau modulul unei funcții omogene pozitive este o funcție omogenă pozitiv. Modulul unei funcții omogene de ordin zero este o funcție omogenă de ordin zero. O funcție absolut omogenă de ordinul zero este o funcție omogenă de ordinul zero și invers.

O funcție arbitrară a unei funcții omogene de ordin zero este o funcție omogenă de ordin zero.

Dacă sunt funcții de ordin pozitiv omogen unde a este o funcție de ordine pozitiv omogenă, atunci funcția va fi o funcție de ordin pozitiv omogenă în toate punctele în care sistemul de ecuații , ..., are o soluție. Dacă, în plus, este un întreg impar, atunci omogenitatea pozitivă poate fi înlocuită cu omogenitatea obișnuită. Corolar: dacă există o funcție continuă sau monotonă și este o funcție omogenă sau omogenă pozitiv, unde este o funcție omogenă sau omogenă pozitiv de ordin diferit de

zero , atunci este o funcție de putere în toate punctele în care ecuația are o soluție. În special, este singura funcție monotonă sau continuă a unei variabile care este o funcție omogenă de ordin . (Dovada dublează argumentele din secțiunea „Definiția alternativă a unei funcții omogene” a acestui articol. Mai mult, dacă eliminăm restricția conform căreia funcția este continuă sau monotonă, atunci pot exista și alte soluții, foarte exotice, pentru , vezi articolul „Baza lui Hamel” .)

h_{k}\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

p,

p\neq 0,

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)=g\left(h_{1},h_{2},\dots,h_{m}\ dreapta)

q,

g\left(y_{1},y_{2},\dots,y_{m}\right)

q/p

y

y_{1}=h_{1}\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

y_{m}=h_{m}\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

p

g(y)

g\left(f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)\right)

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

g(y)=cy^{m)

y

y=f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

f(x)=cx^{q)

q

g(y)

g(y)

Dacă o funcție este un

polinom în variabile, atunci va fi o funcție omogenă de grad dacă și numai dacă este un polinom omogen de grad . În special, în acest caz, ordinea omogenității trebuie să fie un număr natural sau zero. (Pentru demonstrație, trebuie să grupăm monomii ale polinomului cu aceleași ordine de omogenitate , să înlocuiți rezultatul în egalitate și să folosiți faptul că funcțiile de putere cu exponenți diferiți, inclusiv cei neîntregi, sunt liniar independente.) Enunțul poate fi generalizat la cazul combinațiilor liniare de monomii de formă cu indici neîntregi.

f

n

q

f

q.

q

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

k_{j}=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n)

(*)

\lambda ^{k_{1)),\lambda ^{k_{2)),\dots

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

Dacă produsul finit al polinoamelor este o funcție omogenă, atunci fiecare factor este un polinom omogen . (De dragul demonstrației, alegem monomii în fiecare factor cu ordinele minime și maxime de omogenitate . Deoarece după înmulțire polinomul rezultat trebuie să fie format din

monomii cu același ordin de omogenitate, atunci pentru fiecare factor ordinele minime și maxime de omogenitate trebuie să fie același număr.) Afirmația poate fi generalizată în cazul combinațiilor liniare de monomii de forma cu indici neîntregi.

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

k=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n)

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

Dacă numărătorul și numitorul unei funcții raționale fracționale sunt

polinoame omogene , funcția va fi omogenă cu un ordin de omogenitate egal cu diferența dintre ordinele de omogenitate ale numărătorului și numitorului. Dacă o funcție rațională fracțională este omogenă, numărătorul și numitorul ei, până la un factor comun, sunt polinoame omogene . Afirmația poate fi generalizată în cazul unei relații fracționale-raționale de combinații liniare de monomii de forma cu indici neîntregi.

f={\frac {P_{n}(x_{1},\dots,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},\dots,x_{m)))))

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

O funcție omogenă de grad diferit de zero la zero este egală cu zero dacă este definită acolo: (Se obține prin înlocuirea valorii în egalitate sau, în cazul unui grad de omogenitate negativ, valoarea ) O funcție omogenă de grad zero, dacă este definit la zero, poate lua orice valoare în acest punct.

f(\mathbf {0} )=0.

(*)

\lambda =0

\mathbf {v} =0.

Dacă o funcție omogenă de gradul zero este continuă la zero, atunci este o constantă (arbitrară). Dacă o funcție omogenă de grad negativ este continuă la zero, atunci este identic zero. (O transformare poate aduce orice punct cât de aproape doriți de zero. Prin urmare, dacă funcția la zero este continuă, atunci puteți exprima valoarea funcției în punctul prin valoarea sa în punctul folosind relația )

\mathbf {v'} =\lambda \mathbf {v}

\mathbf{v}

\mathbf{v}

\mathbf {0}

\lim _{\lambda \to 0}\lambda ^{q}f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {0}).

O funcție omogenă de grad pozitiv la zero tinde spre zero în orice direcție care intră în domeniul său de definiție, iar o funcție omogenă de grad negativ tinde spre infinit, al cărei semn depinde de direcție, cu excepția cazului în care funcția este identic zero de-a lungul datei date. direcţie. O funcție omogenă de grad pozitiv este continuă la zero sau poate fi extinsă la continuă la zero dacă domeniul său de definiție include o vecinătate de zero. O funcție omogenă de grad zero poate fi fie discontinuă, fie continuă la zero, iar dacă discontinuă este o constantă dependentă de direcție de-a lungul fiecărei raze cu un vârf la origine, dacă direcția se află în domeniul său de definiție. (Se obține prin înlocuirea valorii în egalitate )

\varepsilon

(*)

\lambda \to 0.

Dacă o funcție omogenă la zero este

analitică (adică se extinde într-o serie Taylor convergentă cu o rază de convergență diferită de zero), atunci este un polinom ( polinom omogen ). În special, în acest caz, ordinea de omogenitate trebuie să fie un număr natural sau zero. (Pentru a-l demonstra, este suficient să reprezentați funcția ca o serie Taylor , grupați termenii seriei Taylor cu aceleași ordine de omogenitate , înlocuiți rezultatul în egalitate și folosiți acele funcții de putere cu exponenți diferiți, inclusiv non-întregi cele, sunt liniar independente.)

f

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

k_{j}=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n)

(*)

\lambda ^{k_{1)),\lambda ^{k_{2)),\dots

Funcția , unde este o funcție a variabilelor, este o funcție omogenă cu ordinea omogenității Funcția unde este o funcție a variabilelor, este o funcție absolut omogenă cu ordinea omogenității

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},...,x_{n}/x_{1})

h(t_{2},t_{3},...,t_{n})

(n-1)

q.

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3} /x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

h(t_{2},t_{3},...,t_{n})

(n-1)

q.

Relația lui Euler : pentru funcțiile omogene diferențiabile, produsul scalar al gradientului lor și vectorul variabilelor lor este proporțional cu funcția însăși cu un coeficient egal cu ordinul omogenității: sau, în notație echivalentă, Obținut prin diferențierea egalității față de

\mathbf {v} \cdot \nabla f(\mathbf {v} )=qf(\mathbf {v} )

\sum x_{k}f'_{x_{k))=qf.

(*)

\lambda

\lambda =1.

Dacă este o funcție omogenă diferențiabilă cu ordinul omogenității , atunci primele sale derivate parțiale față de fiecare dintre variabilele independente sunt funcții omogene cu ordinul omogenității . Pentru a dovedi, este suficient să diferențiem pe partea dreaptă și stângă a identității și să obținem identitatea

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q-1

x_k

f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots,\lambda x_{n})=\lambda ^{q}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

f'_{x_{k)}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots,\lambda x_{n})=\lambda ^{q-1}f'_{ x_{k}}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}).

Daca este o functie omogena cu ordinul omogenitatii , atunci integrala ei (cu conditia ca o astfel de integrala sa existe) peste orice variabila independenta incepand de la zero sunt functii omogene cu ordinul omogenitatii.Demonstratie : (aici inlocuirea variabilei de integrare). se face ).

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}f(t,x_{2},... ,x_{n})dt

q+1.

F(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}f(t,\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt=

\lambda \int _{0}^{x_{1}}f(\lambda t',\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt'=

\lambda ^{q+1}\int _{0}^{x_{1}}f(t',x_{2},...,x_{n})dt'=

\lambda ^{q+1}F(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t=\lambda t'

Dacă este o funcție omogenă cu ordinea omogenității , atunci

derivata ei fracțională ( integrală diferită ) de ordin , calculată ca pentru orice variabilă independentă începând de la zero (cu condiția să existe integrala corespunzătoare, pentru care se cere să se aleagă ) sunt funcții omogene. cu ordinea omogenităţii Se consideră funcţia . Apoi (aici se face schimbarea variabilei de integrare ). După diferențierea de ori în raport cu variabila, funcția de ordin omogen devine o funcție omogenă cu ordinea de omogenitate .

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

\alfa

G(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha ))}{\frac {d^{n }}{dx_{1}^{n}}}\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,x_{2 },...,x_{n})\,dt

n>\alpha

q-\alpha .

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n- \alpha -1}f(t,x_{2},...,x_{n})\,dt

H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}(\lambda x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,\lambda x_{2},.. .,\lambda x_{n})\,dt=

\lambda \int _{0}^{x_{1}}(\lambda x_{1}-\lambda t')^{n-\alpha -1}f(\lambda t',\lambda x_ {2},...,\lambda x_{n})\,dt'=

\lambda ^{q+n-\alpha }\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t')^{n-\alpha -1}f(t', x_{2},...,x_{n})dt'=

\lambda ^{q+n-\alpha}H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t=\lambda t'

n

x_{1}

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q+n-\alpha

q-\alpha

Dacă este o funcție omogenă cu ordinea omogenității , atunci convoluția sa -dimensională cu un nucleu abelian generalizat, calculată ca (cu condiția ca integrala corespunzătoare să existe) este o funcție omogenă cu ordinea omogenității . Dovada: , unde se face modificarea variabilelor de integrare . (Notă: doar o parte din variabile poate fi redusă.)

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

n

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{ n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}} \dots (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f (t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\dots dt_{n}

q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n)

H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}\dots \int _{0}^{\lambda x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1}^ {k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (\lambda ^{k_{ n}}x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f (t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\dots dt_{n}=

\lambda ^{n}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1 }^{k_{1}}-\lambda ^{k_{1}}t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{ 1}}\dots (\lambda ^{k_{n}}x_{n}^{k_{n}}-\lambda ^{k_{n}}t_{n}'^{k_{n}})^ {\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(\lambda t_{1}',...,\lambda t_{n}')\,dt_{1}' \dots dt_{n}'=

\lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{ n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1} }\dots (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}'^{k_{n)))^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n} }f(t_{1}',...,t_{n}')\,dt_{1}'\dots dt_{n}'=

\lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t_{k}=\lambda t_{k}'

Teorema . Orice functie omogena cu o ordine de omogenitate poate fi reprezentata sub forma $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

unde este o funcție a variabilelor. Orice functie absolut omogena cu ordinul omogenitatii poate fi reprezentata ca $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ $(n-1)$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3} /x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

unde este o funcție a variabilelor. $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ $(n-1)$

Dovada.

Luați o funcție omogenă de gradul zero. Apoi, atunci când alegem, obținem o anumită versiune a relației necesare: $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda =1/x_{1}$

g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n })=g(1,x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})=h(x_{2}/x_{1},...,x_{ n}/x_{1}).

Pentru o funcție omogenă de grad , funcția se va dovedi a fi o funcție omogenă de grad zero. Prin urmare _ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q\neq 0,$ $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})/x_{1 }^{q}$ $g(x_{1},...,x_{n})=h(x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})$ $f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},...,x_{n} /x_{1}).$

Consecinţă. Orice funcție de grad omogen (funcție de grad absolut omogenă ) poate fi reprezentată sub forma $q$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})\cdot h (\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_ {n}),...,\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})),

unde este o funcție adecvată a variabilelor, este o funcție omogenă fixă a gradului (o funcție fixă absolut omogenă a gradului ), și , ..., sunt funcții omogene fixe, independente funcțional, de grad zero. Pentru o alegere fixă de funcții, această reprezentare definește o corespondență unu-la-unu între funcțiile de grad omogene ale variabilelor și funcțiile variabilelor . $h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})$ $(n-1)$ $\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q$ $q$ $\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ $\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))$ $\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))$ $\phi,\phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{n-1)$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q$ $n$ $h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})$ $(n-1)$

Teorema lui Euler pentru funcții omogene . Pentru ca o functie diferentiabila sa fie o functie omogena cu ordinul omogenitatii , este necesar si suficient ca relatia Euler sa fie valabila. $f(x_1,x_2,...,x_n)$ $q,$

\sum x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n).

Dovada.

Necesitatea se obține din diferențierea egalității pentru Pentru a demonstra suficiența, luăm funcția pentru „înghețat” Să o diferențiem în raport cu $(*)$ $\lambda =1.$ $\varphi (\lambda)=\lambda ^{-q}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$ $x_{1},x_{2},...,x_{n}.$ $\lambda :$

\varphi '(\lambda )=-q\lambda ^{-q-1}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})+ \lambda ^{-q}\sum f'_{x_{k}}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})x_{k}.

În virtutea condiției, obținem și Constanta este determinată din condiția Ca rezultat $\sum (\lambda x_{k})\cdot f'_{x_{k))(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n}) =qf(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$ $\varphi '(\lambda )=0$ $\varphi (\lambda)=c=const.$ $c$ $\varphi (1)=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$ $\lambda ^{q}\varphi (\lambda )=f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=\lambda ^{q} f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$

Consecinţă. Dacă funcția este diferențiabilă și în fiecare punct al spațiului relația de omogenitate este valabilă într-un anumit interval de valori , atunci este valabilă pentru toate $(*)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon,\lambda _{0}+\varepsilon \right]\subset \left[0,\infty \right),$ $\lambda>0.$

Dovada.

Diferențiază relația față de punct $(*)$ $\lambda$ $\lambda =\lambda _{0}:$

\sum x_{k}f'_{x_{k))(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0 }x_{n})=q\lambda _{0}^{q-1}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {q}{\ lambda _{0}}}f(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0}x_{n}).

Aceasta înseamnă că relația Euler este valabilă în punct și, din cauza arbitrarului punctului , punctul este , de asemenea, arbitrar. Repetând demonstrația de mai sus a teoremei lui Euler pe o funcție omogenă, obținem că relația de omogenitate este valabilă într-un punct, iar pentru un punct arbitrar , se poate alege un astfel de punct încât punctul să coincidă cu orice punct prealocat din spațiu. Prin urmare, în fiecare punct al spațiului, relația este satisfăcută pentru oricare $y_{k}=\lambda _{0}x_{k)$ $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $\lambda >0.$ $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $(*)$ $\lambda >0.$

Funcții omogene lambda

Să fie dat un vector O funcție de variabile se numește -omogenă cu ordinea omogenității dacă pentru oricare și oricare identitatea $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}).$ $n$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $q$ $t>0$ $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n)$

f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_ {n})=t^{q}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).

Pentru -funcțiile omogene trec în funcții omogene obișnuite. Uneori, în locul ordinii de omogenitate , se introduce gradul de omogenitate , care este determinat din relația $\lambda _{k}=1$ $\lambda$ $q$ $m$

f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_ {n})=t^{m{\frac {|\mathbf {\lambda } |}{n}}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),

unde Pentru funcțiile omogene obișnuite, ordinea omogenității și gradul de omogenitate sunt aceleași. $|\mathbf {\lambda } |=\sum |\lambda _{k}|.$ $q$ $m$

Dacă derivatele parțiale sunt continue la , atunci pentru funcțiile -omogene relația care generalizează

relația Euler și obținută prin diferențierea identității pentru -omogenitate în punct este adevărată :

f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})

\mathbb {R} ^{n}

\lambda

\lambda

t=1

\sum \lambda _{x}x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1 },x_{2},...,x_{n}).

Ca și în cazul funcțiilor omogene obișnuite, această relație este necesară și suficientă pentru ca funcția să fie o funcție -omogenă cu un vector și o ordine de omogenitate $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q.$ $\varphi (t)=t^{-q}f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},... ,t^{\lambda _{n}}x_{n})$ $\varphi (t)\equiv \varphi (1).$

Dacă este -funcție omogenă cu vector și ordine de omogenitate , atunci este și -funcție omogenă cu vector și ordine de omogenitate (urmează din înlocuirea în identitate pentru -omogenitate a noului parametru ). Din acest motiv, atunci când luăm în considerare funcțiile -omogene, este suficient să ne restrângem la cazul . În special, normalizarea poate fi aleasă în așa fel încât ordinea omogenității să fie egală cu o valoare prefixată. În plus, fără pierderea generalității, putem presupune că $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda} =(\alpha \lambda _{1},\alpha \lambda _{2},...,\alpha \lambda _{n})$ $\alpha q$ $\lambda$ $t'\to t^{\alpha }$ $\lambda$ $\sum |\lambda _{k}|=const.$ $\sum |\lambda _{k}|$ $q$ $\lambda _{k}\neq 0.$

La schimbarea variabilelor, o funcție -omogenă cu un vector și un ordin de omogenitate se transformă într-o funcție omogenă obișnuită cu un ordin de omogenitate . Rezultă că reprezentarea generală pentru funcțiile -omogene cu vector și ordine de omogenitate este: $x_{k}=y_{k}^{\lambda _{k)}$ $\lambda$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$ $g(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $q$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q/\lambda _{1}}\cdot h(x_{2}^{ 1/\lambda _{2}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}},x_{3}^{1/\lambda _{3}}/x_{1}^{1/ \lambda _{1}},\ldots ,x_{n}^{1/\lambda _{n}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}}),

unde este o funcție a variabilelor. $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ $(n-1)$

Sursa: Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky, Matematică superioară: un manual pentru universități (în 3 volume), V.2: Calcul diferențial și integral ( http://www.sernam.ru/lect_math2.php Copie de arhivă din octombrie 1, 2012 la Wayback Machine ), secțiunea 8.8.4.

operator Euler

Operator diferential

{\displaystyle x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1)}}+x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2)}}+\ldots + x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n))))

numit uneori operatorul Euler, prin analogie cu identitatea Euler pentru funcții omogene. Din teorema lui Euler pentru funcții omogene, dată mai sus, rezultă că funcțiile proprii ale acestui operator sunt funcții omogene și numai ele, iar valoarea proprie pentru o astfel de funcție este ordinea ei de omogenitate.

În consecință, funcțiile care transformă operatorul Euler într-o constantă sunt logaritmii funcțiilor omogene și numai ele. Funcțiile care dispar operatorului Euler sunt funcțiile omogene de ordinul zero și numai ele ( logaritmul funcției omogene de ordinul zero este ea însăși o funcție omogenă de ordinul zero).

În mod similar, pentru operatorul diferenţial

{\displaystyle \lambda _{1}x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1)}}+\lambda _{2}x_{2}{\frac {\partial f}{ \partial x_{2))}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n))))

funcțiile proprii sunt funcții -omogene cu un vector și numai ele, iar valoarea proprie este de ordinul omogenității funcției -omogene. Acest operator diferenţial este convertit într-o constantă prin

logaritmii funcţiilor -omogene cu vectorul , şi fără alte funcţii.

\lambda

(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots,\lambda _{n})

\lambda

\lambda

(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots,\lambda _{n})

O altă generalizare a operatorului Euler este operatorul diferenţial

\lambda _{1}x_{1}^{\mu _{1}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\lambda _{2}x_{2} ^{\mu _{2}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}^{\mu _{n}}{ \frac {\partial f}{\partial x_{n}}},

care se reduce la operatorul Euler prin modificarea pentru la De asemenea , toți operatorii diferențiali ai formei sunt reduse la operatorul Euler prin modificare ${\displaystyle y_{1}{\frac {\partial f}{\partial y_{1)}}+y_{2}{\frac {\partial f}{\partial y_{2)}}+\ldots + y_{n}{\frac {\partial f}{\partial y_{n))))$ $y_{k}=\exp \left({\frac {x^{1-\mu _{k)}}{\lambda _{k}\left(1-\mu _{k}\right )}}\dreapta)$ $\mu _{k}\neq 1;$ $y_{k}=x^{1/\lambda _{k)}$ $\mu _{k}=1.$ $y_{k}=\exp \left(\int _{a_{k))^{x}{\frac {dt}{h_{k}(t)))\right)$ $h_{1}(x_{1}){\frac {\partial f}{\partial x_{1)}}+h_{2}(x_{2}){\frac {\partial f}{ \partial x_{2))}+\ldots +h_{n}(x_{n}){\frac {\partial f}{\partial x_{n))}.$

Sursa: Chi Woo, Igor Khavkine, teorema lui Euler asupra funcțiilor omogene Arhivat 2 august 2012 la Wayback Machine ( PlanetMath.org )

Funcții nelimitate omogene

Se spune că o funcție este omogenă mărginit cu un exponent de omogenitate față de mulțimea numerelor reale pozitive (numită mulțime de omogenitate) dacă identitatea este valabilă pentru toți și pentru toți $f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R}$ $q$ $\lambda$ ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ $\lambda \in \Lambda$

f(\lambda {\vec {x))}=\lambda ^{q}f({\vec {x))).

Mulțimea omogenității conține întotdeauna unitatea. Mulțimea de omogenitate nu poate include un segment continuu în mod arbitrar mic — în caz contrar, o funcție omogenă mărginită se dovedește a fi o funcție omogenă obișnuită (vezi secțiunea „Unele ecuații funcționale legate de funcțiile omogene” de mai jos). Prin urmare, de interes sunt acele funcții omogene limitate pentru care și pentru care mulțimea de omogenitate este pur discretă. $\lambda$ $\lambda$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon,\lambda _{0}+\varepsilon \right]$ $\Lambda \neq \{1\}$ $\lambda$

Exemplul 1. Funcția este omogenă mărginit cu un exponent de omogenitate față de mulțimea în care sunt numere întregi. $f(x)=x^{q}\sin(\log |x|)$ $q$ $\Lambda =\{e^{2\pi m}\},$ $m$

Exemplul 2. Funcția este omogenă mărginit cu un exponent de omogenitate față de mulțimea în care sunt numere întregi. $f(x,y,z)=(x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{q/2}\cos(\log {\sqrt {x^{2} }-xy+y^{2}}})$ $q$ $\Lambda =\{e^{2\pi k}\},$ $k$

Teorema. Pentru ca o funcție definită la să fie limitat omogenă cu ordinea omogenității , este necesar și suficient ca aceasta să aibă forma $f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ $x_{1}>0,$ $q,$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log x_{1},x_{2}/x_ {1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),

unde este o funcție care este

periodică într-o variabilă cu cel puțin o perioadă independentă de În acest caz, mulțimea de omogenitate constă din numere unde sunt perioadele funcției independente de

H(y,t_{2},t_{3},\ldots,t_{n})

y

t_{2},t_{3},\ldots,t_{n}.

\lambda

\{e^{Y_{k)}\},

Y_{k}

H(y,t_{2},t_{3},\ldots,t_{n}),

t_{2},t_{3},\ldots,t_{n}.

Dovada. Suficiența se verifică direct; necesitatea trebuie dovedită. Să facem o schimbare de variabile

x_{1},x_{2},...,x_{n}\to x_{1},t_{2},...,t_{n},

Unde

t_{k}=x_{k}/x_{1},

deci Dacă luăm în considerare funcția atunci din condiția de omogenitate obținem pentru toate admisibile egalitatea $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n}).$ $h(x_{1},t_{2},...,t_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n})/x_{1 }^{q},$ $x_{1}$

h(\lambda x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{1},t_{2},t_{3},...,t_{ n}),

care va fi valabil atunci când Dacă numai setul nu este format dintr-un singur, atunci după înlocuire , funcția $\lambda \in \Lambda .$ $\lambda$ $x_{1}=\exp(y)$

H(y,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{ 1},t_{2},...,t_{n})

se dovedește a fi periodic într-o variabilă cu o perioadă diferită de zero pentru oricare aleasă într-un mod fix, deoarece egalitatea de mai sus implică relația $y$ $\log \lambda$ $\lambda \in \Lambda ,$

H(\log x_{1}+\log \lambda,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},..., t_{n}).

Evident, valoarea fixă aleasă va fi perioada funcției dintr-o dată pentru totdeauna $\log \lambda$ $H(y,t_{2},...,t_{n})$ $t_{2},...,t_{n}.$

Consecințe:

Dacă există cea mai mică perioadă pozitivă independentă de atunci mulțimea de omogenitate are forma în care sunt numere întregi arbitrare. (Dacă este cea mai mică perioadă pozitivă a funcției, atunci toate sunt perioadele acesteia, deci numerele vor fi incluse în setul de omogenitate. Dacă există o astfel de valoare de omogenitate, ceva se va dovedi a fi o perioadă pozitivă, independent de care va fi fi mai mic de ) $Y>0,$ $t_{2},t_{3},\ldots,t_{n},$ $\lambda$ $\{e^{mY}\},$ $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ $Y$ $H(y,...),$ $Y_{m}=mY$ $\{e^{mY}}\}$ $\lambda _{*}=e^{Y_{*)),$ $e^{mY}<e^{Y_{*}}<e^{(m+1)Y},$ $Y_{*}-mY$ $t_{2},...,t_{n},$ $Y.$
Dacă o funcție este o constantă în raport cu o variabilă, atunci ea nu are cea mai mică perioadă pozitivă (orice număr pozitiv este perioada sa). În acest caz, nu depinde de variabilă și funcția este o funcție obișnuită pozitiv omogenă (cel puțin). Setul de omogenitate în acest caz este întreaga semiaxă pozitivă (cel puțin). $H(y,\ldots )$ $y,$ $H(y,\ldots )$ $y,$
$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})$
$\lambda$ $\lambda >0$
Cazurile exotice sunt posibile când o funcție periodică nu are cea mai mică perioadă pozitivă, dar în același timp nu este o constantă. De exemplu,

funcția Dirichlet , egală cu 1 în puncte raționale și egală cu 0 în puncte iraționale, are o perioadă a oricărui număr rațional. În acest caz, mulțimea de omogenitate poate avea o structură destul de complexă. Cu toate acestea, dacă pentru fiecare set de valori funcția periodică are o limită în variabilă cel puțin la un punct, această funcție fie are cea mai mică perioadă pozitivă (și toate celelalte perioade sunt multipli ai celei mai mici perioade pozitive) sau este o constantă. în variabilă

H(y,...)

\lambda

t_{2},t_{3},\ldots,t_{n)

H(y,...)

y

y.

Funcțiile omogene delimitate definite la au forma cu o funcție periodică aleasă corespunzător în variabilă

x<0,

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(-x_{1})^{q}\cdot H(\log(-x_{1}), x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})

H(y,t_{2},t_{3},\ldots,t_{n}),

y.

Funcțiile omogene mărginite definite pe toată axa reală minus punctul au forma cu o funcție periodică aleasă corespunzător în variabilă (unde notația subliniază că pentru intervalul de valori și pentru intervalul de valori , în general vorbind, diferite funcții periodice sunt alese, fiecare cu un domeniu de definiție , dar având neapărat aceeași perioadă).

x=0,

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x_{1}|^{q}\cdot H_{\pm }(\log |x_{1} |,x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),

H_{\pm }(y,t_{2},t_{3},\ldots,t_{n}),

y

H_{\pm }(\ldots )

x_{1}>0

x_{1}<0

H(y)

y\in (-\infty ,+\infty )

Formula este universală, dar nu reflectă egalitatea tuturor variabilelor. Este posibil să se reprezinte funcția în cazul în care perioada funcției este egală cu factorul de normalizare nu depinde și funcția este aleasă pentru a fi fixă. Cu o astfel de notație , funcțiile omogene mărginite iau forma

f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log |x_{1}|,x_{2}/x_{1} ,\ldots ,x_{n}/x_{1}),

H(y,t_{2},\dots,t_{n}\ldots)

G\left(w\cdot y+\log W(t_{2},\dots,t_{n}),t_{2},\dots,t_{n}\right),

G\left(t,t_{2},\dots,t_{n}\right)

2\pi ,

w

t_{2},\dots ,t_{n},

W(t_{2},\dots,t_{n})

f(x_{1},...,x_{n})=F(\log Q(x_{1},\ldots,x_{n}),x_{1},\ldots,x_{ n}),

F(y,x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})

q

x_{1},x_{2},\ldots,x_{n)

2\pi

y,

Q(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}),

w

x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},

\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},

m=0,\pm 1,\pm 2,\dots

Extinderea funcției periodice din paragraful anterior într- o serie Fourier , putem obține expresia Această formulă este cea mai generală modalitate de scriere pentru funcții omogene, mărginite în bucăți continue, cu o ordine de omogenitate și un set de omogenitate . În special, înlocuirea unei funcții fixe cu un set de funcții omogene arbitrare nu va adăuga generalitate acestei formule, dar diversificați doar forma de reprezentare pentru aceeași funcție omogenă mărginită .

F(y,x_{1},\ldots,x_{n})

A_{0}(x_{1},\ldots,x_{n})+\sum A_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})\cos k\log Q(x_ {1},\ldots ,x_{n})+B_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\sin k\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n} ),

A_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})

B_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})

q,

Q(x_{1},\ldots,x_{n})

w,

\Lambda =\{e^{mY}\},

\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},

m

q

\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\}.

Q(x_{1},\ldots,x_{n})

Q_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})

Bibliografie: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschränkt homogenen Funktionen . - Elemente der Mathematik 54 (1999).

Sursa informaţiei: J.Pahikkala. Funcție limitată omogenă Arhivat 23 august 2012 la Wayback Machine ( PlanetMath.org ).

Funcții omogene asociate

[secțiunea nescrisă încă]

Sursa: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro. Funcții omogene și aplicațiile lor. Advances in Mathematical Sciences, vol. 10 (1955) nr. 3, p. 3-70.

Funcții omogene reciproc

[secțiunea nescrisă încă]

Sursa: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro. Funcții omogene și aplicațiile lor. Advances in Mathematical Sciences, vol. 10 (1955) nr. 3, p. 3-70.

Câteva ecuații funcționale legate de funcții omogene

1. Lasă

f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots,\lambda x_{n}\right)=C\left(\lambda \right)f\left(x_{1 },x_{2},\puncte,x_{n}\dreapta)

pentru o anumită funcție pe interval Care ar trebui să fie funcția $C\left(\lambda \right)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon,\lambda _{0}+\varepsilon \right].$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)?$

Soluţie. Diferențiați ambele părți ale acestei relații în raport cu Obținem $\lambda .$

x_{1}{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{1)))))+x_{ 2 }{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{2)))))+\dots +x_{n} {\ frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{n)))))={\frac {\partial C\left (\lambda \right)}{\partial \lambda }}f(x_{1},\dots ,x_{n}).

Să diferențiem ambele părți ale aceleiași relații în ceea ce privește obținerea relațiilor $x_{k},$

\lambda {\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{k)))))=C\left( \ lambda \right){\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{k))}.

De aici

{\frac {1}{f(x_{1},\dots,x_{n)))))\left(x_{1}{\frac {\partial f(x_{1},\dots) , x_{n})}{\partial x_{1))}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_ { n}}}\right)={\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda } } .

Partea dreaptă depinde numai de partea stângă depinde numai de Prin urmare, ambele sunt egale cu aceeași constantă, pe care o notăm prin Din condițiile și condițiile rezultă că Prin urmare, este o funcție omogenă cu un parametru de omogenitate.Cazurile degenerate și sunt considerate separat și nu prezintă interes. $\lambda ,$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ $q.$ ${\frac {\lambda {C\left(\lambda \right)}}{\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda }}=q$ $C\left(1\right)=1$ $C\left(\lambda \right)=\lambda ^{q}.$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)$ $q.$ $C\left(\lambda \right)\equiv 0$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)\equiv 0$

Notă. Nu este necesar să folosiți o condiție , în general vorbind, nespecificată inițial și, de asemenea, să forțați ca funcția să fie considerată în afara intervalului . Din egalitate $C\left(1\right)=1,$ $C\left(\lambda \right)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon,\lambda _{0}+\varepsilon \right].$

{\frac {1}{f)}\left(x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1)}}+x_{2}{\frac {\partial f} {\partial x_{2))}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n))}\right)=q

conform teoremei lui Euler asupra functiilor omogene, rezulta si ca este o functie omogena cu un parametru de omogenitate.De aceea, in special, rezulta ca daca relatia de omogenitate este valabila pentru un anumit interval, atunci este valabila pentru toate $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)$ $q.$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon,\lambda _{0}+\varepsilon \right],$ $\lambda>0.$

2. Lasă

f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\dreapta)

pentru unele valori fixe și arbitrare Care ar trebui să fie funcția $C\neq 0,$ $\lambda \neq 1$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)?$

Soluţie. Dacă atunci problema se reduce la o ecuație funcțională de dimensiune inferioară $x_{1}=0,$

f\left(0,\lambda x_{2},\dots,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(0,x_{2},\dots,x_{n}\right) ,

până când se reduce la cazul cu un răspuns evident . Prin urmare, în continuare putem considera doar cazul $f\left(0,0,\dots,0\right)=Cf\left(0,0,\dots,0\right)$ $f\left(0,0,\dots ,0\right)=0.$ $x_{1}\neq 0.$

Facem o schimbare de variabile.Apoi ecuația funcțională ia și forma $x_{1}=y,$ $x_{2}=t_{2}\cdot y,$ $x_{3}=t_{3}\cdot y,$ $x_{n}=t_{n}\cdot y.$ $f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\la F(y,t_{2},\dots,t_{n})$

F\left(\lambda y,t_{2},\dots,t_{n}\right)=CF\left(y,t_{2},\dots,t_{n}\right).

Ar trebui să luăm în considerare separat cazurile și și și Fie și Apoi, după ce luăm logaritmul ambelor părți ale egalității și al înlocuirii, obținem condiția $C>0$ $C<0,$ $\lambda >0$ $\lambda <0,$ $y>0$ $y<0.$ $C>0,$ $\lambda >0$ $y>0.$ $\log y\la t,$ $\log F(y,\dots)\la \Phi (t,\dots)$

\Phi \left(t+\log \lambda,\dots \right)=\log C+\Phi \left(t,\dots \right),

de unde rezultă că are forma unde este o funcţie care este periodică într-o variabilă cu perioadă . $\Phi \left(t,\dots \right)$ $\Omega \left(t,\dots \right)+{\frac {\log C}{\log \lambda }}t,$ $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $\log \lambda .$

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)=\Omega \left(\log x_{1},{\frac {x_{2}}{ x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{ \log \lambda}}\right),

unde este o funcție care este periodică într-o variabilă cu o perioadă și satisface relația funcțională necesară pentru $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $\log \lambda ,$ $x_{1}>0.$

Se folosește o înlocuire pentru semiaxa și, după un raționament similar, obținem răspunsul final: $x_{1}<0$ $\log(-y)\to t$

a) dacă atunci

x_{1}>0

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)=\Omega _{+}\left(\log(+x_{1}), x_{2 }/x_{1},\dots x_{n}/x_{1}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(+x_{1})}{\log \lambda }}\dreapta),

b) dacă atunci

x_{1}<0

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)=\Omega _{-}\left(\log(-x_{1}), x_{2 }/x_{1},\dots x_{n}/x_{1}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(-x_{1})}{\log \lambda }}\dreapta),

sau, pe scurt

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \ log |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),

unde notația subliniază că pentru și pentru acestea sunt, în general, două funcții periodice diferite și , fiecare cu un domeniu de definiție și valori diferite pentru acest domeniu, dar în același timp cu aceeași perioadă. $\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,\dots \right)$ $x_{1}>0$ $x_{1}<0$ $\Omega _{+}\left(t,\dots \right)$ $\Omega _{-}\left(t,\dots \right)$ $t\in (-\infty ,+\infty )$

Cazul este simplificat prin faptul că din lanțul de relații $C<0,$ $\lambda >0$

F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\dots,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\dots,t_{n }\right)=C^{2}F\left(y,t_{2},\dots,t_{n}\right)

urmează cazul pe care l-am examinat deja. Deci funcția poate fi scrisă ca $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)$

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\ cdot \log |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),

unde este o funcție care este periodică într-o variabilă cu o perioadă . Înlocuirea acestei expresii în ecuația originală arată că nu este doar o funcție periodică cu o perioadă, ci o funcție anti-periodică cu o perioadă $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$ $t$ $2\log \lambda .$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$ $2\log \lambda ,$ $\log \lambda :$

\Omega _{\pm }\left(t+\log \lambda,\dots \right)=-\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)

(Evident, anti-periodicitatea cu punct implică periodicitate cu punct ). Reversul este evident: formula indicată cu o funcție antiperiodică satisface ecuația funcțională necesară. $\log \lambda$ $2\log \lambda$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$

Carcasa are caracteristica suplimentară că semiaxele și semiaxele se afectează reciproc. Luați în considerare cazul Apoi din lanțul de relații $\lambda <0$ $y<0$ $y>0$ $y>0.$

F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\dots,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\dots,t_{n }\right)=C^{2}F\left(y,t_{2},\dots,t_{n}\right)

rezultă că pentru , funcția trebuie să aibă forma $x_{1}>0$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)$

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2} }{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_ {1}|}{\log |\lambda |}}\right),

unde este o funcție care este periodică într-o variabilă cu o perioadă și un domeniu de definiție.De atunci , fiecare punct pozitiv este unul la unu cu un punct negativ cu valoarea funcției egală cu . Ca urmare, ținând cont de periodicitatea funcției , funcția este calculată ca $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $2\log |\lambda |$ $t\in (-\infty,+\infty).$ $\lambda <0,$ $x_{1}>0$ $\lambda x_{1}<0$ $Cf\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right).$ $\Omega \left(t,\dots \right)$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)$

a) la

x_{1}>0:

f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{ 1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}| }{\log |\lambda |}}\right),

b) când

x_{1}<0:

f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=semn(C)\cdot \Omega \left(\log |x_{1}|+\log |\lambda | ,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log |\lambda |}}\right),

unde este o functie periodica intr-o variabila cu perioada.Este usor de verificat daca functia astfel definita pentru cazul satisface cu adevarat ecuatia functionala dorita atat pentru $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $2\log |\lambda |.$ $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ $\lambda <0$ $x_{1}>0,$ $x_{1}<0.$

Notă. Dacă o anumită funcție satisface ecuația funcțională specificată pentru unele , atunci este ușor de observat că satisface aceeași ecuație funcțională pentru alte seturi de valori.Deci , pentru acest caz, setul de astfel de perechi va fi pentru orice valori întregi diferite de zero unde întregul este ales astfel încât valoarea să fie cea mai mică perioadă pozitivă pentru o funcție Introducând notația astfel încât să obținem condiția corespunzătoare funcțiilor omogene mărginite. Înlocuirea aduce la forma obișnuită reprezentarea funcțiilor omogene mărginite. $C_{0},\lambda _{0},$ $\left(C,\lambda\right).$ $C_{0}>0,\lambda _{0}>0$ $\lambda _{k}=\lambda _{0}^{k/m},$ $C_{k}=C_{0}^{k/m)$ $k=\pm 1,\pm 2,\dots ,$ $m$ $|\log \lambda _{0}|/m$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right).$ $q=\log C_{0}/\log \lambda _{0)$ $C_{0}=\lambda _{0}^{q},$ $C_{k}\equiv \left(\lambda _{k}\right)^{q},$ $\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{\log \lambda }}\right)\la x_{1}^{q}$

3. Ecuații funcționale suplimentare sunt disponibile în secțiunile „Funcții omogene asociate” și „Funcții omogene reciproce” ale acestui articol.

Funcții generalizate omogene

Funcțiile sau distribuțiile generalizate sunt definite ca funcționale liniare continue definite pe spațiul funcțiilor „destul de bune”. În cazul funcțiilor generalizate omogene, este convenabil să se folosească spațiul funcțiilor având derivate de orice ordin și care descresc mai repede decât orice grad ca funcții „suficient de bune”. În acest caz, orice funcție obișnuităintegrabilă în orice domeniu finit este asociată cu cea functionala $\mathbb{S}$ $\varphi (x)=\varphi (x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),$ $\left|x\right|\la \infty$ ${\frac {1}{\left|x\right|}}.$ $f(x)$

T_{f}\left[\varphi \right]=\int _{-\infty }^{+\infty}f(x)\varphi (x)dx,

definit în spațiu și evident liniar și continuu. Funcțiile generalizate fac posibilă simplificarea luării în considerare a multor probleme de analiză (de exemplu, orice funcție generalizată are derivate de orice ordin, admite o transformată Fourier etc.), precum și legitimarea unor astfel de obiecte exotice precum funcția - și derivatele sale . $\varphi \in \mathbb {S}$ $\delta$

Pentru funcțiile integrabile obișnuite care sunt omogene cu un exponent de omogenitate , identitatea ușor verificabilă este valabilă. $f(x_{1},\dots,x_{n}),$ $q,$

T_{f}\left[\varphi \left({\frac {x_{1)} {\lambda }), {\frac {x_{2)} {\lambda }),\dots,{\ frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{f}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\ puncte ,x_{n}\dreapta)\dreapta].\qquad \qquad \qquad (**)

Această identitate este luată ca definiție a unei funcții omogene generalizate: o funcție generalizată omogenă cu un exponent de omogenitate (în general, complexă) este o funcțională liniară continuă definită în spațiu și care satisface identitatea (**). $q$ $\varphi \in \mathbb {S}$

Funcțiile generalizate omogene asociate sunt definite într-un mod similar. Funcția de ordin generalizat omogen asociată cu un exponent de omogenitate este o funcțională liniară continuă care pentru orice satisface relația $T_{k}\stânga[\varphi \right]$ $k$ $q$ $\lambda >0$

T_{k}\left[\varphi \left({\frac {x_{1)} {\lambda }), {\frac {x_{2)} {\lambda )),\dots,{\ frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{k}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\ puncte ,x_{n}\right)\right]+\lambda ^{q+n}\log \lambda \cdot T_{k-1}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2} ,\puncte,x_{n}\dreapta)\dreapta],

unde este o funcție generalizată omogenă adjunctă de ordinul al treilea cu un exponent de omogenitate $T_{k-1}\stanga[\varphi \right]$ $(k-1)$ $q.$ $q$ $q.$

Exemplu. O funcție generalizată este o funcție generalizată omogenă cu un exponent de omogenitate deoarece $\delta (x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ $(-n)$ $\delta [\varphi ({x_{1}}/\lambda ,{x_{2}}/\lambda ,\dots ,{x_{n}}/\lambda )]=\varphi (0,0 ,\dots ,0)=\delta [\varphi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})].$

Studiul funcțiilor generalizate omogene face posibilă acordarea unui sens semnificativ integralelor cu singularități singulare care nu sunt integrabile în sensul obișnuit. De exemplu, luați în considerare o funcție generalizată. Această funcție funcțională este definită pentru și, deoarece este ușor de verificat, este o funcție generalizată omogenă cu un exponent de omogenitate . Cu o alegere fixă a funcției de testare , valoarea poate fi considerată ca o funcție a unei variabile complexe și, în general, poate fi continuată analitic în afara intervalului dat. Și anume, partea dreaptă și stângă a egalității $T_{q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx.$ $Re(q)>-1$ $q.$ ${\displaystyle T_{q}^{+))$ $\varphi \left(x\right)$ $q$

\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx=\int _{1}^{+\infty}x^{q}\varphi (x)dx+ \int _{0}^{1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k) }(0)}{k!}}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1) }},

sunt analitice în variabilă și identic egale între ele pentru . Cu toate acestea, partea dreaptă a egalității are sens și este, de asemenea, analitică pentru . Din acest motiv, partea dreaptă a egalității este o continuare analitică a stângii -partea de mână a egalității pentru Ca urmare, egalitatea $q$ $Re(q)>-1.$ $Re(q)>-n.$ $Re(q)>-n.$

T_{q}^{+}[\varphi (x)]=\int _{1}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx+\int _{0}^{ 1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k! }}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1))),

definește o funcțională liniară continuă care este o extensie a funcționalei definite anterior până la valori Formulele pentru și pentru dau același rezultat pentru aceleași valori la care ambele au sens: această definiție este consecventă. Funcția generalizată definită acum pentru toți este încă o funcție generalizată omogenă, deoarece relația de omogenitate este păstrată în continuare analitică. ${\displaystyle T_{q}^{+))$ $Re(q)>-n.$ $Re(q)>-n$ $Re(q)>-m$ $q,$ $T_{q}^{+},$ $q,$

Cu ajutorul , se determină valorile

regularizate ale integralei care au sens pentru orice complex.Excepțiile sunt valorile întregi în care integrala regularizată este singulară: funcționala ca funcție a unei variabile într-un punct are un pol simplu cu un reziduu

T_{q}^{+}\stânga[\varphi \right]

\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx,

q.

q=-1,-2,\dots ,-n,\dots ,

T_{q}^{+}\stânga[\varphi \right]

q

q=-n

\varphi ^{(n-1)}(0)/(n-1)!.

Conform aceleiași scheme, funcția omogenă adjunctă poate fi continuată analitic.Cu ajutorul ei, se determină valori regularizate pentru integrale care au sens pentru $Re(q)\leq -1$ $T_{p,q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx.$ $\int _{0}^{+\infty }x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx,$ $Re(q)\leq -1.$

Într-un mod similar, dar mai complex, funcțiile generalizate omogene și funcțiile generalizate omogene asociate sunt construite pentru cazul variabilelor. Detalii se găsesc în bibliografia citată aici. Teoria funcțiilor generalizate omogene face posibilă înțelegerea constructivă, aplicată în spațiul funcțiilor generalizate, a funcțiilor obișnuite care au singularități neintegrabile - calcularea integralelor unor astfel de funcții, găsirea lor transformată Fourier etc. $n$

Bibliografie: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro . Funcții omogene și aplicațiile lor. Advances in Mathematical Sciences, vol. 10 (1955) nr. 3, p. 3-70.

Functie omogena

Definiție alternativă a unei funcții omogene

Proprietăți

Funcții omogene lambda

operator Euler

Funcții nelimitate omogene

Funcții omogene asociate

Funcții omogene reciproc

Câteva ecuații funcționale legate de funcții omogene

Funcții generalizate omogene

Vezi și