Ito calculul stocastic

Calculul lui Itô este o teorie matematică care generalizează metode de analiză matematică pentru aplicare la procese aleatorii, cum ar fi mișcarea browniană (vezi și procesul Wiener ). Numit după creatorul, matematicianul japonez Kiyoshi Ito . Adesea folosit în matematica financiară și teoria ecuațiilor diferențiale stocastice . Conceptul central al acestei teorii este integrala Itô :

Y_{t}=\int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},

unde este un proces integrabil în pătrat local $H_{s}$ si adaptatsub filtrarea generată de proces , care, la rândul său, este o mișcare browniană sau, într-o formulare mai generală, o semimartingală $X_{s)$ [1] . Se poate demonstra că metodele standard de calcul integral nu sunt aplicabile traiectoriilor mișcării browniene. În special, mișcarea browniană nu este o funcție diferențiabilă în niciun punct al traiectoriei și are variații infinite pe orice interval de timp. Astfel, integrala Itô nu poate fi definită în sensul integralei Riemann-Stieltjes . Cu toate acestea, integrala Itô poate fi definită corect dacă integrandul esteun proces adaptat, adică valoarea sa la un moment datdepinde doar de informațiile disponibile până la acel moment. $H_{s}$ $t$

Comportarea valorii acțiunilor și a altor active financiare poate fi modelată prin procese stocastice, cum ar fi mișcarea browniană sau mișcarea browniană geometrică mai frecvent utilizată (vezi și modelul Black-Scholes ). În acest caz, integrala stocastică Ito reprezintă profitul dintr-o strategie de piață continuă în timp în care participantul pe piață deține în acest moment titluri de valoare. Într-o astfel de situație, condiția de adaptabilitate a procesului corespunde limitării necesare a modelului, care constă în faptul că strategia de piață la un moment dat se poate baza doar pe informațiile disponibile în acel moment. Această condiție împiedică obținerea de profituri nelimitate prin tranzacționare foarte frecventă, cumpărând acțiuni înainte de fiecare creștere a valorii și vânzându-le înainte de fiecare cădere. Mai mult, condiția de adaptabilitate a integrandului asigură corectitudinea definiției integralei stocastice ca limită a sumelor riemanniene [1] . $t$ $H_t$ $H$

Exemple de rezultate importante ale teoriei lui Itô sunt formula de integrare prin părți și formula lui Itô (schimbarea formulei variabilei într-o integrală). Aceste formule se deosebesc de formulele clasice de analiză prin prezența termenilor corespunzători variației pătratice.

Notație

Integrala procesului definită mai sus în raport cu procesul , egală cu $Y$ $H$ $X$

Y_{t}=\int \limits _{0}^{t}H\,dX\equiv \int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},

este, de asemenea, un proces stocastic dependent de timp, uneori scris ca [2] . $t$ $H\cdot X$

O modalitate alternativă de a scrie o integrală este forma diferențială și echivalentul acesteia . $Y$ $dY=HdX$ $Y-Y_{0}=H\cdot X$

Deoarece calculul lui Itô studiază procesele stocastice continue, se presupune că este definit un spațiu de probabilitate filtrat:

(\Omega,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )

σ-algebra simbolizează informațiile disponibile până la momentul respectiv . Un proces este adaptat dacă este măsurabil într-o σ-algebră dată. Mișcarea browniană în acest caz este înțeleasă ca -browniană, adică mișcarea browniană standard, care este măsurabilă în și pentru care nu depinde de pentru niciun [3] . ${\mathcal {F}}_{t}$ $t$ $X$ $X_{t}$ $B$ ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\mathcal {F}}_{t}$ $B_{t+s}-B_{t)$ ${\mathcal {F}}_{t}$ $s,t\geqslant 0$

Integrare cu privire la mișcarea browniană

Prin analogie cu integrala Riemann-Stieltjes, integrala Itô poate fi definită ca limită a probabilității sumelor Riemann. O astfel de limită nu există pentru nicio traiectorie.

Să fie un proces Wiener și să fie un proces aleator continuu la stânga, adaptat și mărginit local. Dacă este o secvență de partiții ale intervalului , care se îngroașă ca , atunci integrala Itô de la relativ la timp este o variabilă aleatoare egală cu $B$ $H$ $\left\lbrace \pi _{n}\right\rbrace _{n\in \mathbb {N} }$ $[0,t]$ $n$ $H$ $B$ $t$

\int \limits _{{0}}^{{t}}H\,dB=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\sum _{{t_{{i-1}},t_{i }\in \pi _{n}}}}H_{{t_{{i-1}}}}(B_{{t_{i}}}-B_{{t_{{i-1}}}}) ,

unde limita este luată în termeni de probabilitate. Se poate arăta că această limită există, adică definiția este corectă.

În unele aplicații (de exemplu, în teorema reprezentării martingaleși determinarea orei locale) este necesar să se calculeze integrale din procese discontinue. Multe procese previzibileeste cea mai mică familie de procese care sunt închise sub operația de preluare a limitei unei secvențe și conține toate procesele adaptate care sunt lăsate continue. Dacă este un proces previzibil, astfel încât pentru orice non-negativ $H$ $t$

\int \limits _{0}^{t}H^{2}\,ds<\infty ,

atunci este posibil să se definească integrala lui în raport cu și în acest caz se numește -integrabil. Orice astfel de proces poate fi aproximat printr-o succesiune de procese adaptate, continue la stânga și delimitate local, în sensul că $H$ $B$ $H$ $B$ $H_n$

\int \limits _{0}^{t}(H-H_{n})^{2}\,ds\rightarrow 0

după probabilitate. Atunci integrala Itô este egală cu

\int \limits _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{0}^{t}H_{n}\,dB

unde limita este luată în termeni de probabilitate. Se poate arăta că această limită există, adică definiția este corectă.

Integrala stocastică astfel definită satisface izometria Itô, adică egalitatea

\mathbb {E} \left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]

pentru orice proces mărginit sau, mai general, când integrala din partea dreaptă a egalității este finită. $H$

Ito proces

Procesul Itô este un proces stocastic adaptat care poate fi reprezentat ca suma unei integrale în raport cu mișcarea browniană și a unei integrale în raport cu timpul:

X_{t}=X_{0}+\int \limits _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int \limits _{0}^{t}\mu _ {s}\,ds.

Aici este o mișcare browniană, este un proces previzibil-integrabil și este un proces previzibil și integrabil Lebesgue , adică . $B$ $\sigma$ $B$ $\mu$

\int \limits _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+|\mu _{s}|)\,ds<\infty

pentru orice . Se poate defini integrala stocastică a procesului Itô: $t$

\int \limits _{0}^{t}H\,dX=\int \limits _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\ int \limits _{0}^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.

Această expresie este definită pentru orice integranți predictibili și mărginiți local. Într-o formulare mai generală, se cere să fie -integrabil și -Lebesgue integrabil, adică $H\sigma$ $B$ $H\mu$

\int _{0}^{t}(H^{2}\sigma ^{2}+|H\mu |)ds<\infty .

Procesele previzibile care îndeplinesc această condiție se numesc -integrabile, mulțimea tuturor acestor procese este notată cu . $H$ $X$ $L(X)$

Un rezultat important legat de studiul proceselor Itô este lema lui Itô. Cea mai simplă versiune a formulării sale este următoarea: pentru orice funcție și proces Itô , procesul este, de asemenea, un proces Itô, iar egalitatea $f\in C^{2}(\mathbb {R} )$ $X$ $f(X)$

df(X_{t})=f^{\prime }(X_{t})\,dX_{t}+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(X_ {t})\sigma _{t}^{2}\,dt.

Această expresie este un analog stocastic al formulei de schimbare a unei variabile într-o integrală și al regulii de diferențiere a unei funcții complexe . Se deosebește de formulele clasice prin prezența unui termen suplimentar, care include derivata a doua a funcției și apare din cauza faptului că variația pătratică a mișcării browniene nu este egală cu zero. $f$

Semimartingales ca integratori

Integrala Itô este definită în raport cu semimartingala , adică procesul reprezentat ca , unde este martingala locală $X$ $X=M+A$ $M$ , este un proces cu variație finită. Astfel de procese sunt, de exemplu, procesul Wiener (care este o martingală), precum și procesele cu incremente independente . $A$

Pentru un proces continuu la stânga, mărginit local și adaptat, există o integrală care poate fi calculată ca limită a sumelor riemanniene. Fie o succesiune de partiții ale intervalului care se îngroașă ca . Apoi $H$ $H\cdot X$ $\left\lbrace \pi _{n}\right\rbrace _{n\in \mathbb {N} }$ $[0,t]$ $n$

\int \limits _{0}^{t}H\,dX=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\sum _{{t_{{i-1}},t_{i}\in \ pi _{n}}}H_{{t_{{i-1}}}}(X_{{t_{i}}}-X_{{{t_{{i-1}}}}),

unde limita este luată în termeni de probabilitate.

Definiția integralei stocastice pentru procesele continue din stânga este suficient de generală pentru a fi utilizată în majoritatea problemelor de calcul stocastic, de exemplu, în aplicațiile lemei lui Itô, atunci când se schimbă măsura conform teoremei lui Girsanoviar în studiul ecuaţiilor diferenţiale stocastice . Cu toate acestea, o astfel de definiție se dovedește a fi inadecvată pentru alte subiecte importante, cum ar fi teorema reprezentării martingale și studiul timpurilor locale.

Conceptul de integrală poate fi generalizat într-un mod unic la toate integranții predictibili și mărginiți local, astfel încât să fie îndeplinite condițiile teoremei de convergență dominată . Dacă și pentru un proces limitat local , atunci $H_{n}\la H$ $|H_{n}|\leqslant J$ $J$

\int _{0}^{t}H_{n}\,dX\to \int _{0}^{t}H\,dX

după probabilitate. Unicitatea generalizării este o consecință a teoremei clasei monotone.

În general, integrala stocastică poate fi definită chiar dacă procesul care este prezis nu este mărginit local. Procesează și sunt limitate. Asociativitatea integrării stocastice presupune -integrabilitatea dacă și numai dacă și . $H\cdot X$ $H$ $K=1/(1+|H|)$ $KH$ $X$ $H$ $H\cdot X=Y$ $Y_{0}=0$ $K\cdot Y=(KH)\cdot X$

Proprietăți

Integrala stocastică are următoarele proprietăți [3] [2] .

Integrala stocastică este un proces aleatoriu, care este un element al spațiului Skorokhod. Mai mult, integrala stocastică este o semimartingală.

Discontinuitățile integralei stocastice apar atunci când se înmulțesc integratorul care are salturi și integrandul. Saltul procesului, care este un element al spațiului Skorokhod, la un moment dat este egal și adesea notat cu . Apoi $t$ $X_{t}-X_{t-}$ $\Delta X_{t)$

\Delta (H\cdot X)=H\Delta X.

Din aceasta, în special, rezultă că integrala cu privire la un proces continuu este de asemenea continuă.

Asociativitatea . Să fie și să fie procese previzibile și să fie -integrabile. Atunci este -integrabil dacă și numai dacă este -integrabil și în acest caz $J$ $K$ $K$ $X$ $J$ $(K\cdot X)$ $JK$ $X$

J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X

Convergență majorizată . Lăsați și lăsați pentru un proces integrabil . Apoi , probabil, pentru orice . Pe multimi compacte convergenta va fi uniforma . $H_{n}\la H$ $|H_{n}|\leqslant J$ $X$ $J$ $H_{n}\cdot X\la H\cdot X$ $t$

Integrala stocastică comută cu operația de covarianță pătratică. Dacă și sunt semimartingale, atunci orice proces -integrabil va fi și -integrabil și . Rezultă că procesul de variație pătratică a integralei stocastice este egal cu integrala procesului de variație pătratică: $X$ $Y$ $X$ $[X,Y]$ $[H\cdot X,Y]=H\cdot [X,Y]$

[H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]

Integrare pe părți

La fel ca în analiza clasică, în calculul stocastic un rezultat important este formula de integrare pe părți . Formula pentru integrala Itô diferă de formula pentru integrala Riemann-Stieltjes cu un termen suplimentar egal cu covarianța pătratică. Apare datorită faptului că în calculul Itô sunt studiate procese cu variație pătratică diferită de zero, care sunt doar procese cu variație infinită, precum, de exemplu, mișcarea browniană. Dacă și sunt semimartingale, atunci $X$ $Y$

X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int \limits _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int \limits _ {0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t},

unde este procesul de covarianță pătratică. $[X,Y]$

Lema lui Ito

Lema lui Itô este un analog al formulei de diferențiere a unei funcții complexe sau schimbarea formulei variabilei într-o integrală pentru integrala stocastică Itô și unul dintre cele mai puternice și mai frecvent utilizate rezultate ale calculului stocastic.

Fie o semimartingală -dimensională și fie o funcție de două ori netedă de la până la . Apoi este și o semimartingală și $X=(X^{1},\ldots,X^{n})$ $n$ $f$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R}$ $f(X)$

df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1} {2}}\sum _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t} .

Această formulă diferă de regula clasică a lanțului prin prezența covarianței pătratice . Formula poate fi generalizată la cazul semimartingalelor discontinue prin adăugarea unui termen corespunzător sărituri și asigurarea continuității. $[X^{i},X^{j}]$

Integrarea martingale

Martingale locale

O proprietate importantă a integralei Itô este păstrarea proprietății localității de martingale. Dacă este o martingală locală și este un proces predictibil limitat local, atunci integrala este, de asemenea, o martingală locală. Este posibil să se dea exemple când nu este local pentru integranții care nu sunt mărginiți local, totuși, acest lucru se poate întâmpla numai dacă este discontinuu. Dacă este o martingală locală continuă, atunci procesul previzibil este -integrabil dacă și numai dacă $M$ $H$ $H\cdot M$ $H\cdot M$ $M$ $M$ $H$ $M$

\int \limits _{o}^{t}H^{2}\,d[M]<\infty

pentru orice și este întotdeauna o martingală locală. $t$ $H\cdot M$

Cea mai generală afirmație a unei martingale locale discontinue este formulată astfel: dacă procesul este integrabil local, atunci integrala există și este o martingală locală. $M$ ${\sqrt {H^{2}\cdot [M]}}$ $H\cdot M$

Martingale pătrate integrabile

Pentru integranții mărginiți, integrala stocastică Itô păstrează spațiul martingalelor pătrat-integrabile, adică martingale aparținând spațiului Skorokhod și care satisfac proprietatea $M$

\mathbb {E} \left(M_{t}^{2}\right)<\infty

pentru orice . Pentru orice astfel de martingale , procesul de variație pătratică este integrabil și izometria Itô este satisfăcută: $t$ $M$ $[M]$

\mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2 }\,d[M]\dreapta].

Această egalitate este valabilă și într-un caz mai general - pentru orice martingală , astfel încât procesul să fie integrabil. Izometria Itô este adesea folosită ca un pas important în construcția integralei stocastice. Poate fi definită ca singura extensie a izometriei Itô de la o anumită clasă de integranți simpli la cazul tuturor proceselor mărginite și predictibile. $M$ $H^{2}\cdot [M]_{t)$ $H\cdot M$

$p$ -martingale integrabile

Pentru orice proces integrand predictibil mărginit, integrala stocastică păstrează spațiul martingalelor -integrabile, adică martingale aparținând spațiului Skorokhod pentru care $p>1$ $p$ $M$

\mathbb {E} \left(|M_{t}|^{p}\right)<\infty

pentru orice . Pentru acest caz, acest lucru nu este întotdeauna cazul: se pot da exemple de integrale ale proceselor predictibile mărginite cu privire la martingale care nu sunt martingale. $t$ $p=1$

Maximul procesului din spațiul Skorokhod este notat ca . Pentru orice proces integrand predictibil mărginit, integrala stocastică păstrează spațiul martingale din spațiul Skorokhod astfel încât $M$ $M_{t}^{*}=\sup _{s\leqslant t}|M_{s}|$ $p\geqslant 1$ $M$

\mathbb {E} \left(\left(M_{t}^{*}\right)^{p}\right)<\infty

pentru orice . Din inegalitatea lui Doob rezultă că pentru acest spațiu coincide cu spațiul martingalelor integrabile. $t$ $p>1$ $p$

Conform inegalităților Burkholder-Davis-Gandhi, pentru oricare există constante pozitive și , în funcție doar de , astfel încât pentru orice martingale , aparținând local spațiului Skorokhod, $p\geqslant 1$ $c$ $C$ $p$ $M$

c\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]\leq \mathbb {E} \left[(M_{t}^{ *})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right].

Folosind aceste relații, putem arăta că dacă integrăm și dacă este un proces predictibil mărginit, atunci $\left(M_{t}^{*}\right)^{p)$ $H$

\mathbb {E} \left[((H\cdot M)_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[(H^{2 }\cdot [M]_{t})^{\frac {p}{2}}\right]<\infty

și, în consecință, este o martingală -integrabilă. Această afirmație rămâne adevărată în cazul mai general când procesul este integrabil. $H\cdot M$ $p$ $\left(H^{2}\cdot [M]\right)^{p/2}$

Vezi și

Stratonovici integrală

Note

↑ 1 2 Revuz, Yor, 1999 , capitolul IV.
↑ 12 Rogers, Williams, 2000 .
↑ 12 Revuz , Yor, 1999 .

Literatură

Kleinert, H. Integrale de cale în mecanica cuantică, statistică, fizica polimerilor și piețele. — ediția a 5-a. - Singapore:World Scientific, 2009. - 1624 p. —ISBN 978-981-4365-26-0. -doi:10.1142/7305.
El, SW , Wang, JG , Yan, JA Teoria semimartingale și calculul stocastic . - Science Press, CRC Press Inc., 1992. - ISBN 7-03-003066-4 .
Karatzas, I. , Shreve, S. E. Brownian Motion and Stochastic Calculus (engleză) . - Springer, 1991. - ISBN 0-387-97655-8 .
Protter, P.E. Integrare stocasticăși ecuații diferențiale . - Springer, 2001. - ISBN 3-540-00313-4 .
Øksendal, BK Ecuații diferențiale stocastice: ointroducere cu aplicații . - Springer, 2003. - ISBN 3-540-04758-1 .
Revuz, D. , Yor, M. Continuous martingales and brownian motion (engleză) . - Berlin: Springer, 1999. - ISBN 3-540-57622-3 .
Rogers, C. , Williams, D. Difuzii, procese Markov și martingale - Volumul 2: Itô calculus (engleză) . - Cambridge: Cambridge University Press , 2000. - ISBN 0-521-77593-0 .
Stepanov, S. Lumea Stochastică . - Versiune electronica. (Rusă)