Integrală stocastică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 ianuarie 2022; verificările necesită 8 modificări .

O integrală stocastică este o integrală de forma , unde este un proces aleatoriu cu incremente normale independente. Integrale stocastice sunt utilizate pe scară largă în ecuațiile diferențiale stocastice . Integrala stocastică nu poate fi calculată ca integrala Stieltjes obișnuită [1] . $\int f(t)dy(t)$ ${y(t),t\în T}$

Integrală stocastică a unei funcții deterministe

Să introducem spațiul Hilbert al variabilelor aleatoare , , cu produsul scalar și norma pătratică medie . Aici - denotă valoarea așteptată. În cadrul spațiului Hilbert, se pot descrie cele mai importante caracteristici ale variabilelor aleatoare, cum ar fi așteptările matematice condiționate, probabilitățile condiționate etc. [2] $H$ $\xi$ $\mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty$ $(\xi _{1},\xi _{2})=\mathbb {E} \xi _{1}{\bar {\xi _{2))}$ $\left\|\xi _{1}\right\|=\left(\mathbb {E} \left|\xi \right|^{2}\right)^{1/2)$ ${\mathbb {E}}$

Fie un segment finit sau infinit al dreptei reale și pe jumătățile sale de formă se dă o funcție aditivă stocastică cu valori ortogonale din spațiul Hilbert al variabilelor aleatoare , care are proprietățile: $T$ $\Delta =\stanga(s,t\dreapta]\subseteq T$ $\eta (\Delta )$ $H$ $\xi$ $\mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty$

Pentru orice disjunct , , mărimile , sunt ortogonale, adică produsul lor scalar în spațiul Hilbert este egal cu zero: $\Delta _{1}$ $\Delta _{2}$ $\eta (\Delta _{1})$ $\eta (\Delta _{2})$ $\left(\eta (\Delta _{1}),\eta (\Delta _{2})\right)=0$
Dacă , sunt semiintervale care nu se intersectează și constituie un semiinterval, atunci $\eta (\Delta _{1})$ $\eta (\Delta _{2})$ $\eta (\Delta _{1})\cup \eta (\Delta _{2})$ $\eta (\Delta _{1})\cup \eta (\Delta _{2})=\eta (\Delta _{1})+\eta (\Delta _{2})$
$\left\|\eta (\Delta )\right\|^{2}=\left|\Delta \right|$ . Iată , este norma în spațiul Hilbert, pentru . $\left\|\right\|$ $\left|\Delta \right|=ts$ $\Delta =\stânga(s,t\dreapta]$

Fie o funcție deterministă care satisface condiția . Luați în considerare o secvență de funcții constante pe bucăți care aproximează funcția în așa fel încât , $\varphi (t)$ $\int _{T}\left|\varphi (t)\right|^{2}dt<\infty$ $\varphi _{n}(t)$ $\varphi (t)$ $\lim _{n\to \infty }\int _{T}\left|\varphi (t)-\varphi _{n}(t)\right|^{2}dt\to 0$

Integrala stocastică a unei funcții deterministe este limita [3] $\int _{T}\varphi (t)\eta (dt)$ $\varphi (t)$ $\int _{T}\varphi (t)\eta (dt)=\lim _{n\la \infty }\int _{T}\varphi _{n}(t)\eta (dt)$

Integrala stocastică a unui proces stocastic

Luați în considerare integrala

\int _{0}^{T}\omega (t)d\omega (t),

unde este un proces Wiener cu un parametru de dispersie unitară. Împărțim intervalul pe puncte în subintervale. Folosind definiția anterioară a unei integrale pentru o funcție deterministă, integrala stocastică poate fi definită prin oricare dintre cele două expresii [4] : ${\omega (t),t\in T}$ $[0; T]$ $0=t_{1},t_{2},...,t_{N},t_{{N+1}}=T$ $N$

I_{0}=\lim \sum _{{i=1}}^{{N}}\omega (t_{i})[\omega (t_{{i+1}})-\omega (t_{ i})]

I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i+1})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i })].

Aceste integrale nu sunt egale deoarece, conform definiției procesului Wiener [5]

I_{1}-I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]^{ 2}=t.

Integrala stocastică generalizată poate fi definită ca o sumă ponderată de parametri a integralelor și următoarea formulă [5] : $\lambda$ $I_0$ $I_1$

I_{\lambda}=(1-\lambda)I_{0}+\lambda I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}[(1-\lambda)\omega (t_{i})+\lambda \omega (t_{i+1})][\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})],

la . Integrala corespunde integralei Itô și coincide cu integrala Stratonovich. $0\leqslant \lambda \leqslant 1$ $I_0$ $eu_{{0,5}}$

Integrala Stratonovich

Integrala Stratonovich are forma [6]

I=\lim _{N\to \infty }{\dfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}[f(t_{i})+f(t_{ i+1})][y(t_{i+1})-y(t_{i})].

Itô integral

Integrala Itô are forma [5]

\int f(t)dy(t)=\lim _{N\to \infty}\sum _{i=1}^{N}f(t_{i})[y(t_{i+ 1 })-y(t_{i})].

Principalele sale proprietăți [5] :

$E\int f(t)dy(t)=\int {Ef(t)}dm(t).$
$cov\left[\int f(t)dy(t),\int g(t)dy(t)\right]=\int [Ef(t)g(t)]dr(t).$

Aici , este funcția de valoare medie și este funcția de covarianță . $m(t)$ $r(t)$

Wiener integral

Să atribuim fiecărei traiectorii unui proces Wiener unidimensional un anumit număr . Atunci această traiectorie poate fi descrisă prin intermediul unei funcţii stocastice . Integrala formei $\alfa$ $x(t,\alpha )$

\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )

se numește integrala stocastică Wiener. Această integrală se calculează prin integrare pe părți , ținând cont de egalitatea [7] : $x(0,\alpha )=0$

\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=f(1)x(1,\alpha )-\int \limits _{0}^{1 }f'(t)x(t,\alpha )dt.

Principalele sale proprietăți:

\int \limits _{0}^{1}d\alpha \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=0

[8] .

\int \limits _{0}^{1}d\alpha \left[\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )\right]^{2 }=\int \limits _{0}^{1}f^{2}(t)dt

[9] .

Vezi și

Note

↑ Ostrom, 1973 , p. 68.
↑ Rozanov, 1982 , p. 57.
↑ Rozanov, 1982 , p. 64.
↑ Ostrom, 1973 , p. 70.
↑ 1 2 3 4 Ostrom, 1973 , p. 71.
↑ Ostrom, 1973 , p. 72.
↑ Wiener, 1961 , p. douăzeci.
↑ Wiener, 1961 , p. 21.
↑ Wiener, 1961 , p. 24.

Literatură

Ostrom, K. Yu. Introducere în teoria controlului stocastic / traducere. din engleza. S. A. Anisismov, N. E. Arutyunova, A. L. Bunich; ed. N. S. Raibman. — M .: Mir , 1973.
Wiener, N. Probleme neliniare în teoria proceselor aleatorii. -M.:Editura de literatură străină, 1961.
Yu.A. Rozanov . Introducere în teoria proceselor aleatorii. — M .: Nauka, 1982. — 128 p.

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale