Teorema lui Hausdorff

Teorema (sau paradoxul ) lui Hausdorff este o afirmație dovedită în teoria mulțimilor despre existența unei submulțimi numărabile a unei sfere bidimensionale , al cărei complement poate fi reprezentat ca o uniune a trei mulțimi disjunse și , congruente între ele și cu setul . Prima dată publicată [1] în 1914 de Felix Hausdorff . Această teoremă (precum și paradoxul dublării mingii pe baza ideilor sale ) demonstrează discrepanța dintre reprezentările teoretice de mulțimi ale practicii geometrice obișnuite (afirmând, în special, că două copii pot fi împărțite în șase bucăți și pot face trei copii ale acestora ). ). Acesta este motivul pentru care uneori este numit un „paradox”. $T$ $S^{2}$ ${\bar S}^{2}=S^{2}\setminus T$ $A$ $B$ $C$ $B\cup C$ ${\bar S}^{2}$ ${\bar S}^{2}$

Demonstrarea teoremei folosește esențial axioma alegerii . Înlocuirea acestei axiome cu unele alternative ne permite să demonstrăm negația teoremei Hausdorff (adică imposibilitatea împărțirii corespunzătoare a sferei).

Din teoremă rezultă că pe o sferă bidimensională nu există o măsură aditivă finită definită pe toate submulțimile și luând valori egale pe mulțimi congruente (adică invariante sub mișcările sferei).

Uneori, „paradoxul Hausdorff” este înțeles ca însemnând o altă teoremă demonstrată în același articol cu cea luată în considerare. Această teoremă oferă un exemplu similar cu mulțimea Vitali . Ea susține că un singur segment poate fi împărțit într-un număr numărabil de bucăți și, numai cu ajutorul schimburilor, se poate forma un segment de lungimea doi. Acest lucru arată că nu există nicio măsură pe linie care este definită pe toate submulțimile și este invariantă în deplasări. Cu toate acestea, este posibil să se definească o măsură aditivă finită pentru toate submulțimile mărginite ale planului (precum și linia), astfel încât mulțimile care sunt compuse în mod egal vor avea aceeași măsură.

Ideea dovezii

Aici demonstrăm o versiune simplificată a teoremei. Și anume, vom demonstra existența unei partiții a unei sfere cu un set numărabil de puncte perforate (să-i spunem ) în trei bucăți congruente pe perechi și astfel încât să fie congruente cu submulțimea . Ca și teorema lui Hausdorff, această afirmație arată că pe o sferă bidimensională este imposibil să se definească o „zonă” a cărei valoare ar exista pentru orice submulțime și ar rămâne neschimbată în timpul mișcărilor . ${\bar S}^{2}$ $A$ $B$ $C$ $B\cup C$ $A$

Dovada se descompune în următoarele trei etape:

Găsim o partiție specială a unui grup cu două generatoare în trei subseturi. $\Gamma$
Construim o acțiune izometrică liberă a acestui grup pe . ${\bar S}^{2}$
Folosim partiționarea și axioma de alegere pentru a produce împărțirea dorită a sferei. $\Gamma$

Pasul 1

Luați în considerare un grup cu doi generatori și și relații și (cu alte cuvinte, , unde denotă un produs liber de grupuri). Grupul este format din cuvântul gol, pe care îl notăm (aceasta este unitatea grupului nostru) și toate cuvintele finite de trei caractere și , astfel încât și alternează cu . Astfel, toate elementele (cu excepția unuia) pot fi reprezentate unic ca fie sau sau sau . $\Gamma$ $A$ $b$ $a^{2}=1$ $b^{3}=1$ $\Gamma ={{\mathbb Z}}_{2}*{{\mathbb Z}}_{3}$ $*$ $\Gamma$ $unu$ $b,\;b^{{-1}}$ $A$ $b$ $b^{{-1}}$ $A$ $ab^{{\pm 1}}ab^{{\pm 1}}\dots b^{{\pm 1}}a$ $b^{{\pm 1}}ab^{{\pm 1}}a\ldots b^{{\pm 1}}a$ $ab^{{\pm 1}}ab^{{\pm 1}}\ldots ab^{{\pm 1}}$ $b^{{\pm 1}}ab^{{\pm 1}}a\ldots ab^{{\pm 1}}$

Grupul poate fi împărțit după cum urmează: să existe un set de toate cuvintele care încep cu , va exista un set de toate cuvintele care încep cu , și va exista un set de toate celelalte elemente . Este clar că $\Gamma$ ${{\mathbb A}}$ $b$ ${{\mathbb B}}$ $b^{{-1}}$ ${{\mathbb C}}$ $\Gamma$

\Gamma ={{\mathbb A}}\cup {{\mathbb B}}\cup {{\mathbb C)),

adică ne împărțim grupul în trei subseturi care nu se suprapun. De asemenea $\Gamma$

{{\mathbb A}}=b{{\mathbb C}},

{{\mathbb B}}=b^{{-1}}{{\mathbb C}},

{{\mathbb A}}\cup {{\mathbb B}}\subset {{\mathbb A}}\cup {{\mathbb B}}\cup \{1,\;a\}=a{{\ mathbb C}}.

Pasul 2

Este ușor de demonstrat că există o reprezentare prin rotații ale sferei astfel încât acțiunea rezultată să fie liberă pe întreaga sferă, cu excepția unui număr numărabil de puncte. Să renunțăm la acest set numărabil din sferă și să numim restul . (De fapt, dacă luăm două rotații ale sferei pe unghiuri și în poziție generală și le asociem cu generatoare și , atunci acțiunea indusă va îndeplini această condiție). $\Gamma$ ${\bar S}^{2}$ $\pi$ $2\pi /3$ $A$ $b$ $\Gamma$

Pasul 3

Luați în considerare o mulțime care conține un element al fiecărei orbite pe (afirmarea existenței acestei mulțimi se bazează pe axioma alegerii ). Apoi sfera noastră „divizată” este reprezentată ca unirea următoarelor mulțimi disjunse: $X$ $\Gamma$ ${\bar S}^{2}$ ${\bar S}^{2}$

{\bar S}^{2}=A\cup B\cup C,

Unde

A={{\mathbb A}}X,\;B={{\mathbb B}}X,\;C={{\mathbb C}}X.

Folosind aceeași tehnică ca la pasul 1, obținem:

A=bC,

B=b^{{-1}}C,

A\cup B\subset aC,

și, deoarece și sunt izometrii, obținem că , și sunt congruente și congruente cu o submulțime de . $A$ $b$ $A$ $B$ $C$ $A\cup B$ $C$

Literatură

↑ F. Hausdorff, Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen (link descendent) (link descendent din 13-05-2013 [3454 zile]) , Mathematische Annalen Arhivat 6 martie 2005. , vol. 75. (1914) pp. 428-434.