Suflet (geometrie diferențială)

Sufletul unei varietăți riemanniene este o subvarietă compactă , total convexă , total geodezică , care este retragerea sa de deformare .

De obicei, se presupune că  este o varietate Riemanniană completă conectată cu curbura secțiunii K  ≥ 0.

Exemple

• Orice varietate compactă este sufletul său.

• Spațiul euclidian R n are ca suflet orice punct.

• Paraboloidul are M = {( x , y , z ) : z = x 2 + y 2 }, originea (0,0,0) este sufletul lui M . În plus, nu orice punct x aparținând lui M este sufletul acestuia, deoarece pot exista bucle geodezice care încep din punctul x .

• Pentru un cilindru infinit M = {( x , y , z ) : x 2 + y 2 = 1} orice cerc „orizontal” {( x , y , z ) : x 2 + y 2 = 1} cu z fix este sufletul lui M .

Istorie

Termenul de suflet a fost introdus de Cheeger și Gromol în 1972 [1] într-un articol în care, în special, au demonstrat teorema sufletului . Teorema a generalizat o teoremă anterioară a lui Gromol și Meyer [2] . În aceeași lucrare, Cheeger și Gromol au formulat ipoteza sufletului . O scurtă dovadă a acestei presupuneri a fost dată de Grigory Perelman [3] în 1994 .

Proprietăți

Mai jos presupunem că  este o varietate Riemanniană completă conectată cu curbura secțiunii K  ≥ 0.

• Teorema sufletului spune: Fiecare ( M ,  g ) are un suflet S . Mai mult, varietatea M este difeomorfă față de fasciculul normal peste S .
• Sufletul nu este, în general, definit în mod unic de varietatea ( M ,  g ), dar oricare două suflete ( M ,  g ) sunt izometrice . Acesta din urmă a fost dovedit de Sharafutdinov în 1979 [4] prin construirea așa-numitei retrageri Sharafutdinov ; aceasta este o retragere cu deformare 1-Lipschitz .

• Retracția Sharafutdinov este o scufundare riemanniană . În special, dacă are cel puțin un punct cu curbură secțională strict pozitivă, atunci sufletul său este un punct și varietatea în sine este homeomorfă spațiului euclidian.

Întrebări deschise conexe

• Conjectura sufletului dublu afirmă [5] că orice varietate compactă de curbură secțională nenegativă poate fi acoperită de două fascicule de discuri.

Note

1. ^ Cheeger , Jeff & Gromoll, Detlef (1972), Despre structura varietăților complete de curbură nenegativă , Annals of Mathematics. Seria a doua T. 96: 413-443, MR : 0309010 , ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1970819 
2. ↑ Gromoll, Detlef & Meyer, Wolfgang (1969), On complete open manifolds of positive curbature , Analele matematicii. Seria a doua T. 90: 75-90, MR : 0247590 , ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1970682 
3. ↑ Perelman, Grigori (1994), Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll , Journal of Differential Geometry vol . 40(1): 209-212, MR : 1285534 , ISSN 0022-040X , < http://www.intlpress .com/JDG/archive/1994/40-1-209.pdf > . Preluat la 23 iulie 2011. Arhivat la 23 iulie 2011 la Wayback Machine 
4. ↑ Sharafutdinov, VA (1979), Despre mulțimi convexe într-o varietate de curbură nenegativă , Mat. note T. 26 (1): 129-136 
5. ↑ K. Grove, Geometry of and via symetries