Teorema sferei (geometrie diferențială)

Teorema sferei  este o denumire generală pentru teoremele care oferă suficiente condiții pentru metrica riemanniană pentru a garanta că o varietate este homeomorfă sau difeomorfă față de sfera standard .

Formulări

Fie o varietate riemanniană n - dimensională închisă , pur și simplu conectată , cu o anumită condiție de curbură (vezi remarcile), atunci este homeomorfă / difeomorfă la o sferă n - dimensională .

Note

• Formulările cu homeomorfism și difeomorfism se numesc respectiv teorema sferei topologice și teorema sferei netede .

• Cea mai cunoscută condiție de curbură este așa-numita curbură quarter-pinning, ceea ce înseamnă că curbura secțiunii în fiecare direcție de secțiune a fiecărui punct se află în .
  • Condiția de sferturi de fixare este optimă, teorema încetează să mai fie adevărată dacă curbura secțiunii poate lua valori într-un interval închis . Contraexemplul standard este un spațiu proiectiv complex cu o metrică canonică; curbura secțională a metricii ia valori între 1 și 4, inclusiv punctele finale. Alte contraexemple pot fi găsite printre spațiile simetrice de rangul 1 .
  • O condiție mai generală este sferturile de fixare punctiforme. Aceasta înseamnă că curbura secțiunii este pozitivă și pentru fiecare punct fix raportul dintre maximul și minimul curburelor secțiunii în toate direcțiile secțiunii nu depășește 4.

• O altă condiție binecunoscută a curburii este pozitivitatea operatorului de curbură .
  • O condiție mai generală este așa-numita 2-pozitivitate a operatorului de curbură , adică pozitivitatea sumei celor mai mici două valori proprii ale operatorului de curbură.

Istorie

Teorema topologică

• Prima teoremă a sferei a fost demonstrată de Rauch în 1951. El a arătat că varietatile pur și simplu conectate cu curbură secțională în intervalul [3/4,1] sunt homeomorfe unei sfere.

• În 1960, Marcel Berger și Wilhelm Klingenberg au demonstrat o versiune topologică a teoremei sferei pentru un sfert de viteză.

• În 1988, Micalef și Moore au demonstrat o versiune topologică pentru varietăți închise cu curbură complexată pozitivă în direcții izotrope.
  • În special, aceasta implică teorema sferei topologice pentru un operator de curbură pozitivă.
    • Că varietățile închise cu un operator de curbură pozitivă sunt sfere de omologie rațională rezultă ușor din formula lui Bochner .
  • Dovada lor folosește un analog bidimensional al lemei lui Sing .

Teorema Smooth

Metodele clasice au făcut posibilă demonstrarea teoremei sferei netede doar pentru o ciupire foarte rigidă; ciupirea optimă s-a realizat folosind fluxul Ricci

• În 1982, Richard Hamilton a demonstrat teorema sferei netede în cazul tridimensional cu curbură Ricci pozitivă .
  • Aceasta a fost prima aplicare a fluxului Ricci, restul dovezilor teoremei netede au urmat aceeași schemă, dar au necesitat îmbunătățiri tehnice serioase.

• În 1985, Gerhard Huysken a folosit fluxul Ricci pentru a demonstra teorema sferei netede în toate dimensiunile.
  • Condiția de curbură prepozițională pe care a propus-o era optimă într-un anumit sens. În special, tensorul de curbură al produsului dintre un cerc și o sferă se află la limita condiției de curbură.

• În 2008, Burchard Wilking și Christoph Böhm au demonstrat teorema sferei netede pentru două pozitivități a operatorului de curbură. În special, teorema sferei netede este adevărată cu condiția ca operatorul de curbură să fie pozitiv.

• În 2009 , Simon Brende și Richard Schoen au demonstrat teorema sferei netede cu divizare în sferturi. Dovada lor a folosit în mod semnificativ ideile lui Wilking și Boehm.

Literatură

• Rauch, H.E., O contribuție la geometria diferențială în mare, Ann. de Matematică. 54 (1951), 38-55
• Klingenberg, W., Contributions to riemannian Geometry in the large, Ann. de Matematică. 69 (1959), 654-666.
• Berger, M., Les variétes Riemannienes (1/4)-pincées, Ann. Scuola Norm. Cina. Pisa, Ser. III, 14 (1960), 161-170.
• Micallef, M., Moore, JD, Minimal two-spheres și topologia varietăților cu curbură pozitivă pe două planuri total izotrope. Ann. de Matematică. (2) 127 (1988), 199-227.
• Huisken, G., Deformarea Ricci pe metrica pe o varietate riemanniană. J. Geom diferenţial. 21 (1985), 47-62.
• B. Wilking, C. Böhm: Varietățile cu operatori de curbură pozitivi sunt forme spațiale. Ann. de Matematică. (2) 167 (2008), nr. 3, 1079-1097.
• Simon Brandle și Richard Schoen. Varietăți cu curbură 1/4-ciupit sunt forme spațiale  //  Journal of the American Mathematical Society : jurnal. - 2009. - Vol. 22 , nr. 1 . - P. 287-307 . - doi : 10.1090/s0894-0347-08-00613-9 .