Identitatea Euler (analiza complexă)

Identitatea Euler este un caz special al formulei Euler pentru , o identitate binecunoscută care conectează cinci constante matematice fundamentale : $x=\pi$

e^{i\pi }+1=0,

Unde

e

- numărul e , sau baza logaritmului natural ,

i

este unitatea imaginară ,

\pi

- pi , raportul dintre circumferința unui cerc și lungimea diametrului acestuia ;

unu

— unitate , element neutru prin operația de înmulțire ,

0

— zero , element neutru prin operația de adunare .

Identitatea lui Euler este numită după matematicianul elvețian , german și rus Leonhard Euler . Identitatea este considerată un model al frumuseții matematice , deoarece arată legătura profundă dintre cele mai fundamentale numere din matematică.

Concluzie

Identitatea Euler este un caz special al formulei Euler din analiza complexă :

e^{ix}=\cos x+i\sin x

pentru orice real . (Rețineți că argumentele funcțiilor trigonometrice și sunt luate în radiani ). În special $X$ $\păcat$ $\cos$

e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .

Și din ce

\cos \pi =-1

și

\sin \pi =0,

ar trebui să

e^{i\pi}=-1

care dă identitatea:

e^{i\pi }+1=0.

Generalizări

Identitatea lui Euler este, de asemenea, un caz special de identitate mai generală: suma rădăcinilor unității de gradul al treilea la este egală cu : $n$ $n>1$ $0$

\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n)}}=0.

Identitatea lui Euler este cazul când . $n=2$

Într-o altă zonă a matematicii, folosind exponentiația cuaterniilor , se poate demonstra că o identitate similară se aplică și cuaternionilor. Fie { i , j , k } elemente de bază; apoi

e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.

În general, dacă reali a 1 , a 2 și a 3 sunt date astfel încât a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = 1 , atunci

e^{\left(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k\right)\pi }+1=0.

Pentru octoonii , cu a n real astfel încât a 1 2 + a 2 2 + ... + a 7 2 = 1 , și cu elementele de bază ale octonionilor { i 1 , i 2 , ..., i 7 },

e^{\left(a_{1}i_{1}+a_{2}i_{2}+\dots +a_{7}i_{7}\right)\pi }+1=0.

Frumusețe matematică

Identitatea lui Euler, combinând trei operații matematice de bază ( adunare , înmulțire și exponențiere ) și cinci constante matematice fundamentale aparținând celor patru domenii clasice ale matematicii ( numerele și aparțin aritmeticii , unitatea imaginară algebrei , numărul geometriei și numărul e - la analiza matematică [1] ), a făcut o impresie profundă asupra lumii științifice, a fost interpretat mistic ca un simbol al unității matematicii și este adesea citat ca un exemplu de frumusețe matematică profundă . $0$ $unu$ $i$ $\pi$

Identitatea lui Euler a provocat o mulțime de recenzii elogioase.

Carl Friedrich Gauss a spus că dacă această formulă nu este imediat evidentă pentru un student, atunci el nu se va transforma niciodată într-un matematician de primă clasă [2] .
Profesor de matematică, filozofie naturală și astronomie la Universitatea Harvard, Benjamin Pierce , după ce a demonstrat identitatea lui Euler la o prelegere, a spus că „acesta este probabil adevărat, dar este absolut paradoxal; nu o putem înțelege și nu știm ce înseamnă, dar am dovedit-o și de aceea știm că trebuie să fie adevărată” [3] .
Fizicianul Richard Feynman a numit (1977) identitatea lui Euler „comoara noastră” și „cea mai remarcabilă formulă din matematică” [4] .
Profesorul de matematică de la Universitatea Stanford Keith Devlinîn eseul său „The Most Beautiful Equation” (2002) spunea: „Așa cum un sonet shakespearian surprinde însăși esența iubirii, sau un tablou dezvăluie frumusețea formei umane, mult mai adâncă decât pielea, ecuația lui Euler pătrunde chiar în profunzimile existență” [5] .
Profesorul emerit Paul Nahin la Universitatea din New Hampshire în cartea sa despre formula lui Euler și aplicarea acesteia în analiza Fourier , descrie identitatea lui Euler drept „frumusețe rafinată” [5] .
Potrivit popularizatorului matematicii Constance Read , această identitate este „cea mai cunoscută formulă din toată matematica” [6] .

Un sondaj efectuat de The Mathematical Intelligencer în 1990 a numit identitatea lui Euler „cea mai frumoasă teoremă din matematică” [7] . Într-un alt sondaj efectuat de jurnalul de fizică PhysicsWorld în 2004, identitatea lui Euler (împreună cu ecuațiile lui Maxwell ) a fost numită „cea mai mare ecuație din istorie” [8] .

Un studiu al creierului a șaisprezece matematicieni a arătat că „creierul emoțional” (în special, cortexul orbitofrontal medial , care răspunde la muzică frumoasă, poezie, picturi etc.) a fost activat mai consistent în cazul identității lui Euler decât în raport cu orice altă formulă [9] .

Istorie

Formula lui Euler , din care urmează imediat identitatea lui Euler , a fost citată pentru prima dată într-un articol dematematicianul englez Roger Cotes ( asistentul lui Newton ) „Logometria” ( lat. Logometria ), publicat în Philosophical Transactions of the Royal Society în 1714 [10] ( când Euler avea 7 ani), și retipărit în cartea „Armonia măsurilor” ( lat. Harmonia mensurarum ) în 1722 [11] .

Euler a publicat formula lui Euler în forma sa obișnuită într-un articol din 1740 și în cartea „Introduction to the analysis of infinitezimals” ( lat. Introductio in analysin infinitorum ) ( 1748 ) [12] .

Cu toate acestea, în lucrările lui Euler din 1740 și 1748 identitatea lui Euler (în forma sa clasică actuală) nu apare, unde este posibil să nu fi derivat niciodată. Există posibilitatea ca Euler să fi obținut informații despre formula lui Euler prin compatriotul său elvețian Johann Bernoulli [13] .

Potrivit lui Robin Wilson[14] :

Am văzut cum aceasta [identitatea lui Euler] poate fi dedusă cu ușurință din rezultatele lui Johann Bernoulli și Roger Kotes, dar niciunul dintre ei nu pare să fi făcut acest lucru. Nici măcar Euler nu pare să fi scris acest lucru în mod explicit - și, desigur, nu apare în niciuna dintre publicațiile sale - deși, fără îndoială, și-a dat seama că rezultă imediat din identitatea sa [în acest caz, formula lui Euler ], e ix \u003d cos x + i sin x . Mai mult, se pare că nu se știe cine a fost primul care a formulat rezultatul în mod explicit...

În cultură

Filmul lui Takashi Koizumi „ Ecuația preferată a profesorului ” este dedicat identității lui Euler .

Note

↑ Dantzig, Tobias. Numerele sunt limbajul științei . - M . : Technosfera, 2008. - S. 111 . - ISBN 978-5-94836-172-7 .
↑ Derbyshire, John . Obsesie simplă. Bernhard Riemann și cea mai mare problemă nerezolvată din matematică. Astrel, 2010. 464 p. ISBN 978-5-271-25422-2 .
↑ Kasner, E. și Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster , Maor, Eli (1998), e: The Story of a number, Princeton University Press ISBN 0-691-05854-7 .
↑ Feynman, Richard P. Prelegerile Feynman de fizică (în rusă) . - Addison-Wesley , 1977. - T. I. - S. 22-10. — ISBN 0-201-02010-6 .
↑ 1 2 Nahin, Paul J. (2006), Dr. Formula fabuloasă a lui Euler: vindecă multe boli matematice, Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2 .
↑ Reid, Constance (diverse ediții), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
↑ Wells, David (1990), „Are these the most beautiful?”, The Mathematical Intelligencer, 12: 37–41, doi:10.1007/BF03024015
↑ Crease, Robert P. (10 mai 2004), „The greatest equations ever”, Physics World
↑ Zeki, S .; Romaya, JP ; Benincasa, DMT ; Atiyah, MF (2014), „Experiența frumuseții matematice și corelațiile sale neuronale”, Frontiers in Human Neuroscience, 8, doi:10.3389/fnhum.2014.00068, PMC 3923150
↑ Cotes R. Logometria // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : journal. - 1714-1716. — Vol. 29 . — P. 32 . - doi : 10.1098/rstl.1714.0002 . Arhivat din original pe 6 iulie 2017.
↑ Cotes R. Harmonia mensurarum . - 1722. - p. 28. Copie de arhivă din 7 iunie 2020 la Wayback Machine
↑ Euler L. Cap.VIII. De quantibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum (neopr.) . - 1748. - T. 1. - S. 104.
↑ Sandifer, C. Edward. Cele mai mari hituri ale lui Euler. - Mathematical Association of America, 2007. - ISBN 978-0-88385-563-8 .
↑ Wilson, Robin. Ecuația de pionierat a lui Euler: Cea mai frumoasă teoremă din matematică (engleză) . — Oxford University Press, 2018.