Frumusețea matematicii

Frumusețea matematicii  este percepția matematicii ca obiect al plăcerii estetice , similar muzicii și poeziei.

O viziune corectă asupra matematicii dezvăluie nu numai adevărul, ci și o frumusețe impecabilă - rece și severă, ca o sculptură, desprinsă de slăbiciunile umane, lipsită de trucurile pretențioase ale picturii și ale muzicii - cristalitatea muntoasă și perfecțiunea strictă a marii arte. Adevăratul gust al plăcerii, al încântării, al eliberării de învelișul uman muritor - toate acestea sunt criteriile celei mai înalte perfecțiuni, pe care o posedă matematica împreună cu poezia.

Text original  (engleză)[ arataascunde] Matematica, privită corect, posedă nu numai adevăr, ci o frumusețe supremă – o frumusețe rece și austeră, ca cea a sculpturii, fără a face apel la nicio parte a naturii noastre mai slabe, fără capcanele superbe ale picturii sau muzicii, totuși sublim de pură și capabilă. de o perfecţiune severă pe care o poate arăta numai cea mai mare artă. Adevăratul spirit al încântării, exaltarea, simțul de a fi mai mult decât omul, care este piatra de încercare a celei mai înalte excelențe, se găsește în matematică la fel de sigur ca și în poezie. – Bertrand Russell [1]

Frumusețea metodei

Matematicienii se referă adesea la o metodă elegantă de demonstrare ca având una sau mai multe dintre următoarele proprietăți:

În căutarea unei dovezi elegante, matematicienii folosesc o mare varietate de moduri de a rezolva o problemă, deoarece prima dovadă găsită nu este neapărat cea mai bună. Deținătorul recordului pentru numărul de dovezi (câteva sute) este probabil teorema lui Pitagora . [2] O altă teoremă binecunoscută dovedită în multe feluri este legea reciprocității pătratice , pentru care doar Carl Friedrich Gauss a publicat 8 dovezi bazate pe idei complet diferite. Spre deosebire de una elegantă, o demonstrație corectă din punct de vedere logic care utilizează calcule consumatoare de timp, metode supercomplicate, abordări tradiționale, un număr mare de axiome sau dovezi ale altor teoreme se numește aspră sau stângace .

Identitatea lui Euler

Unii matematicieni [3] consideră că este frumos să rezolve o problemă care stabilește o legătură între domenii ale matematicii care au fost considerate anterior fără legătură. Un astfel de rezultat este adesea numit profund . Unul dintre cele mai cunoscute exemple este identitatea lui Euler : [4]

Acesta este un caz special al formulei lui Euler, numită de fizicianul Richard Feynman „comoara noastră” și „cea mai remarcabilă formulă din matematică”. [5] Teorema modularității , pentru care Andrew Wiles și Robert Langlands au primit premiul Wolf , stabilește o relație importantă între curbele eliptice și formele modulare. Conjectura monstruoasă a strălucirii lunii leagă grupul de monștri finiți simpli de funcții modulare prin teoria corzilor  , rezultat pentru care Richard Borcherds a primit premiul Fields .

Un rezultat profund este și revelarea unor aspecte neașteptate ale structurilor matematice. De exemplu, Teorema Egregium a lui Gauss , teorema fundamentală a teoriei suprafețelor, stabilește o legătură între un fenomen local ( curbură ) și unul global ( zonă ). În special, aria unui triunghi pe o suprafață curbă este proporțională cu excesul său , iar coeficientul de proporționalitate este determinat de curbură. Un alt exemplu este teorema fundamentală de analiză (și variantele sale vectoriale, inclusiv teorema lui Green și teorema lui Stokes ).

Opusul unui rezultat profund este unul banal . Acestea includ rezultate care decurg direct din alte rezultate cunoscute sau se aplică numai unor obiecte specifice, cum ar fi setul gol . Cu toate acestea, există cazuri în care formularea teoremei poate fi suficient de originală pentru a fi considerată profundă, chiar dacă demonstrația ei este destul de evidentă.

În The Mathematician's Apology, Godfrey Hardy sugerează că o dovadă sau un rezultat frumos trebuie să aibă „ surpriză combinată cu imuabilitate și economie ”. [6] Surpriza a fost un element cheie în multe dintre rezultatele matematice ale lui Srinivasa Ramanujan .

Matematicianul italian Gian-Carlo Rota, însă, nu recunoaște surpriza ca o condiție suficientă pentru frumusețe, citând următorul contraexemplu:

O mulțime de teoreme matematice s-au dovedit a fi neașteptate după publicarea lor; de exemplu, acum vreo douăzeci de ani (în 1957 - aprox.) dovada existenței unor structuri diferențiabile neechivalente pe sfere de dimensiuni mari părea neașteptată, dar nimănui nu i-ar fi trecut prin minte să numească acest fapt frumos nici atunci, nici acum. . [7]

M. I. Monastyrsky scrie cu ușoară ironie:

Este foarte greu să găsești invenții în trecut care să fie similare cu construcțiile impresionante ale lui Milnor ale diferitelor structuri diferențiale pe o sferă cu șapte dimensiuni... Dovada inițială a lui Milnor nu a fost foarte constructivă, dar E. Brieskorn a arătat că astfel de structuri pot fi descrise în o formă foarte vizuală și frumoasă. [opt]

Această diferență de opinie ilustrează atât subiectivitatea percepției frumuseții matematice, cât și legătura ei cu rezultatul: dovada existenței sferelor exotice este mai puțin impresionantă decât implementarea modelelor acestora.

Sentimentul de frumusețe

Interesul pentru matematica pură , diferit de cercetarea empirică, este remarcat în multe civilizații , inclusiv în Grecia antică , unde „ matematica era practicată de dragul frumuseții sale ” [9] . Cu toate acestea, frumusețea matematică poate fi simțită și în afara matematicii pure. De exemplu, fizicienii derivă plăcerea estetică din teoria generală a relativității a lui Einstein , pe care Paul Dirac a explicat-o prin „ marea frumusețe matematică ” [10] .

Putem simți frumusețea matematicii atunci când avem de-a face cu obiecte ale lumii fizice formulate în termeni abstracti. . Nu era neobișnuit ca matematicienii să dezvolte o nouă zonă a matematicii care nu avea nicio aplicație practică la început, dar de-a lungul timpului, fizicienii au observat că aceste calcule matematice abstracte reflectau rezultatele observațiilor lor. De exemplu, teoria grupurilor , dezvoltată la începutul anilor 1800, al cărei unic scop era acela de a putea rezolva ecuații polinomiale , s-a dovedit a fi cea mai potrivită modalitate de a clasifica particulele elementare, blocurile de construcție ale materiei. Același lucru s-a întâmplat cu teoria nodurilor , unde nodul a fost considerat doar un obiect matematic, dar mai târziu a adus contribuții semnificative la teoria corzilor și teoria gravitației cuantice bucle .

Deducerea plăcerii din manipularea numerelor și simbolurilor necesită o anumită implicare în exercitarea matematicii, așa că orice societate tehnologică care folosește acest instrument extrem de util își descoperă inevitabil aspectul estetic. Observarea pasivă din exterior nu permite să se aprecieze întreaga putere a frumuseții matematice, întrucât destinatarii acesteia nu sunt publicul sau privitorul în sensul lor clasic [11] . Bertrand Russell a numit frumusețea matematicii dură.

Manifestări ale frumuseții în matematică

Francis Hutcheson , în An Inquiry into the Origin of Our Ideas of Beauty and Virtue in Two Treatises (1725), a distins următoarele caracteristici ale frumuseții estetice a matematicii:

Posibile explicații pentru frumusețea matematicii

Pal Erdős credea că atunci când soluția unei probleme era corectă, dar i se părea urâtă, nu destul de elegantă și concisă, de obicei spunea: „Bine, dar să căutăm dovada din Carte” (adică din ideal, Culegere platoniciană a tuturor rezultatelor matematice, cunoscute și necunoscute ) [13] . Astfel, totul este scris în Carte și matematicienii doar o citesc. Urmașii lui Erdős, Martin Aigner și Günther Ziegler, au publicat o carte [14] , care a trecut prin trei reeditări în cinci ani și a fost tradusă în mai multe limbi, inclusiv rusă.

Frumusețe și filozofie

Unii matematicieni sunt de părere că realizările științei lor pot fi numite nu o invenție, ci o descoperire, care, în sensul ei, este mai aproape de a găsi:

Nu vei găsi un explorator, un poet, un artist, un muzician care să nu spună că și-a găsit pregătită descoperirea, poemul sau pictura - că au venit din afară și nu au fost create de el în mod conștient din interior.

Text original  (engleză)[ arataascunde] Nu există descoperitor științific, poet, pictor, muzician care să nu-ți spună că a găsit gata făcută descoperirea, poezia sau tabloul - că i-a venit din afară și că nu a creat-o în mod conștient din interior. . — William Kingston Clifford , dintr-o prelegere la Instituția Regală despre „Unele condiții pentru dezvoltarea gândirii”

În plus, matematicienii care dețin un punct de vedere similar consideră că rezultatele detaliate și precise ale matematicii pot fi considerate adevărate, indiferent de structura Universului în care trăim. De exemplu, ei susțin că teoria numerelor naturale este justificată în așa fel încât nu necesită în mod fundamental un context specific de considerare. Cei mai radicali dintre ei atribuie adevărul absolut frumuseții matematice, gravitând astfel spre misticism.

Pitagorei credeau în realitatea literală a numerelor. Prin urmare, descoperirea numerelor iraționale a devenit cu atât mai surprinzătoare pentru ei, cu cât posibilitatea unei relații între două numere naturale era percepută de ei ca o dovadă a imperfecțiunii naturii și era inexprimabilă - alogos (viziunea pitagoreică asupra lumii nu spunea nimic despre limitele șirurilor infinite ale raportului numerelor naturale). Din punct de vedere modern, o astfel de abordare mistică, care presupunea unitatea și inseparabilitatea numerelor și a obiectelor geometrice, poate fi numită numerologie .

În filosofia lui Platon , existau două lumi: lumea lucrurilor în care trăim și lumea ideilor care sunt necesare pentru existența lumii reale. Lumea ideilor includea și ideile matematice.

Matematicianul ungur Pal Erdős credea în existența unei cărți imaginare în care Dumnezeu a consemnat toate cele mai frumoase dovezi matematice. Și când Erdős a vrut să-și exprime admirația pentru dovadă, a exclamat: „Oh, asta este din Carte!”

Filosoful francez din secolul al XX-lea Alain Badiou susține că ontologia este de natură matematică, deoarece matematica poate concepe o multitudine ca atare, iar ființa este o pluralitate impermanentă.

Foarte des, filozofii naturii și alți oameni de știință care folosesc pe scară largă metoda matematică au făcut concluzii nefondate despre legătura dintre frumos și adevăr, care ulterior se dovedesc a fi eronate. De exemplu, la o etapă a vieții sale, Johannes Kepler a crezut că proporțiile orbitelor planetelor sistemului solar cunoscute la vremea lui au fost stabilite de Dumnezeu în conformitate cu aranjarea concentrică a celor cinci solide platonice în așa fel încât fiecare dintre orbite a fost situată simultan pe o sferă descrisă de un poliedru și înscrisă Next.

Frumusețea și teoria informației matematice

În anii 1970, Abram Mol și Frieder Nake au analizat relația dintre frumusețe, procesarea informațiilor și teoria informației. În anii 1990, Jurgen Schmidhuber a formulat o teorie matematică care depinde de observator și de viziunea sa subiectivă asupra frumuseții, bazată pe teoria informației algoritmice: cele mai frumoase obiecte dintre cele care par comparabile cu subiectul au scurte descrieri algoritmice, (adică complexitatea Kolmogorov ) , și referiți-vă la ceea ce observatorul știe deja. În același timp, Schmidhuber trasează o linie clară între frumos și interesant. Acesta din urmă corespunde primei derivate a frumuseții percepute subiectiv: observatorul încearcă în mod constant să crească predictibilitatea și să comprime datele observate, dezvăluind astfel de modele precum repetiția și simetria, auto-asemănarea fractale. Cu toate acestea, ori de câte ori procesul de învățare al observatorului permite o comprimare mai bună a datelor, adică observația curentă poate fi descrisă în mai puțini biți decât cea anterioară, iar perioada de timp în care observatorul este interesat corespunde ratei de succes a compresiei și este proporțională cu cea a observatorului. propria recompensă pentru curiozitatea lui, Vorbim despre interesant, nu frumos.

Vezi și

Note

  1. ↑ Russell, Bertrand . The Study of Mathematics // Misticism and Logic: And Other Essays . - Longman , 1919. - S. 60.
  2. ↑ Elisha Scott Loomis a adunat peste 360 ​​de dovezi în cartea sa Ipoteza lui Pitagora ( ISBN 0-873-53036-5 ).
  3. ↑ Rota (1997), Fenomenologia frumuseții matematice , p. 173 
  4. ↑ Gallagher, James . Matematică: De ce creierul vede matematica ca frumusețe  (13 februarie 2014). Arhivat din original pe 28 ianuarie 2021. Preluat la 13 februarie 2014.
  5. ↑ Feynman, Richard P. Prelegerile Feynman despre fizică. - Addison-Wesley , 1977. - T. I. - S. 22-10. — ISBN 0-201-02010-6 .
  6. ↑ Hardy, GH 18 // Apologia unui matematician.
  7. ↑ Rota (1997), Fenomenologia frumuseții matematice , p. 172 
  8. ↑ Monastyrsky (2001), Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal 
  9. ↑ Lang, p. 3
  10. ↑ Chandrasekhar, p. 148
  11. ↑ Phillips, George. Prefață // Matematica nu este un sport pentru spectatori. - Springer Science + Business Media , 2005. - ISBN 0-387-25528-1 .
  12. ↑ L. I. Lurie . Educația matematică în spațiul experienței estetice // Educație și știință (Știrile filialei Ural a Academiei Ruse de Educație). - 2006. - Nr. 6 (42). — De la 120.
  13. ↑ N este un număr (film despre Erdős subtitrat în limba rusă . Recuperat la 2 octombrie 2017. Arhivat la 22 ianuarie 2021.
  14. ↑ Aigner M., Ziegler G. Evidence from the Book. Cele mai bune dovezi din vremea lui Euclid până în zilele noastre. M.: Mir, 2006. 256 p., ill. ISBN 5-03-003690-3

Literatură

Link -uri