Nod toric

Un nod torus este un tip special de nod care se află pe suprafața unui torus neînnodat în . $\mathbb {R} ^{3}$

O legătură torica este o legătură care se află pe suprafața unui tor. Fiecare nod torus este definit de o pereche de numere întregi coprime și . Legătura torice apare atunci când și nu sunt coprime (în acest caz, numărul de componente este egal cu cel mai mare divizor comun și ). Un nod torus este trivial dacă și numai dacă fie , fie sunt egale cu 1 sau -1. Cel mai simplu exemplu non-trivial este nodul (2,3)-torus, cunoscut și sub numele de nodul trefoil . $p$ $q$ $p$ $q$ $p$ $q$ $p$ $q$

Reprezentare geometrică

Nodul tor poate fi reprezentat în moduri geometrice diferite, echivalent din punct de vedere topologic, dar diferit din punct de vedere geometric.

Convenția folosită în mod obișnuit este aceea că nodul -tor se rotește o dată în jurul axei circulare a torusului și o dată în jurul axei de rotație a torului. Dacă și nu sunt coprime, atunci obținem o legătură toric cu mai mult de o componentă. Convențiile despre direcția în care filetele se rotesc în jurul torusului sunt, de asemenea, diferite, cel mai adesea se presupune un șurub din dreapta pentru [1] [2] [3] . $(p,q)$ $q$ $p$ $p$ $q$ $pq>0$

$(p,q)$ -nodul toric poate fi dat prin parametrizare :

x=r

\cos(p\phi )

y=r

\sin(p\phi )

z=-\sin(q\phi )

unde si . Se află pe suprafața torusului dată de formula (în coordonate cilindrice ). $r=\cos(q\phi )+2$ $0<\phi<2\pi$ $(r-2)^{2}+z^{2}=1$

Sunt posibile și alte parametrizări, deoarece nodurile sunt definite până la deformare continuă. Exemple pentru nodurile (2,3)- și (3,8)-torice pot fi obținute luând , iar în cazul unui nod (2,3)-toric, scăzând și din parametrizările de mai sus și . $r=\cos(q\phi )+4$ $3\cos((pq)\phi )$ $3\sin((pq)\phi )$ $X$ $y$

Proprietăți

Un nod torus este banal dacă și numai dacă fie , fie sunt egale cu 1 sau −1 [2] [3] . $p$ $q$

Fiecare nod torus non-trivial este simplu și chiral .

$(p,q)$ -nodul toric este echivalent cu nodul -toric [1] [3] . -nodul toric este inversul (imaginea în oglindă) a nodului -toric [3] . -nodul toric este echivalent cu -nodul toric cu excepția orientării. $(q,p)$ $(p,-q)$ $(p,q)$ $(-p, -q)$ $(p,q)$

Orice nod -toric poate fi construit dintr -o împletitură închisă cu fire. Cuvânt potrivit pentru împletituri [4] : $(p,q)$ $p$

(\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{{p-1}})^{q}

Această formulă folosește convenția conform căreia generatoarele de împletituri folosesc rotații drepte [2] [4] [5] [6] .

Numărul de intersecții ale nodului -toric cu este dat de formula: $(p,q)$ $p,q>0$

c=\min((p-1)q,(q-1)p)

Genul nodului toric c este: $p,q>0$

g={\frac {1}{2}}(p-1)(q-1).

Polinomul Alexander al nodului torus este [1] [4] :

{\frac {(t^{{pq}}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)))

Polinomul Jones al nodului torusului (la dreapta) este dat de:

t^{{(p-1)(q-1)/2}}{\frac {1-t^{{p+1}}-t^{{q+1}}+t^{{p+ q }}}{1-t^{2}}}

Complementul unui nod torus pe o sferă de 3 este o varietate Seifert .

Fie un capac de prost -dimensional cu un disc îndepărtat în interior, un capac de prost -dimensional cu un disc intern îndepărtat și să fie spațiul coeficient obținut prin identificarea și de-a lungul limitei cercului. Complementul nodului -toric este o retractare de deformare a spațiului . Astfel, grupul de noduri al unui nod torus are reprezentarea : $Y$ $p$ $Z$ $q$ $X$ $Y$ $Z$ $(p,q)$ $X$

\langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle

Nodurile torale sunt singurele noduri ale căror grupuri de noduri au centre netriviale (care sunt grupurile ciclice infinite formate dintr-un element din această reprezentare). $x^{p}=y^{q}$

Lista

Nod trivial , 3 1 -nod (2,3) , Potentilla nod (5,2), 7₁-knot (7,2), 8 19 -nod (4,3), 9 1 -nod ( 9,2) , 10 124 - nod (5.3).

Vezi și

Nod alternativ
Nod "Cinquefoil"
Înfășurare irațională în jurul torusului

Note

↑ 1 2 3 Livingston, 1993 .
↑ 1 2 3 Murasugi, 1996 .
↑ 1 2 3 4 Kawauchi, 1996 .
↑ 1 2 3 Lickorish, 1997 .
↑ Dehornoy, P. și colab. (2000). De ce se pot comanda împletiturile? http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Books/Why/Dgr.pdf Arhivat la 15 aprilie 2012 la Wayback Machine
↑ Birman, Brendle, 2005 .

Literatură

Charles Livingston. Teoria nodurilor. - Mathematical Association of America, 1993. - ISBN 0-88385-027-3 .
Kunio Murasugi. Teoria nodurilor și aplicațiile sale . - Birkhäuser, 1996. - ISBN 3-7643-3817-2 .
Akio Kawauchi. Un studiu al teoriei nodurilor. - Birkhäuser, 1996. - ISBN 3-7643-5124-1 .
WBR Lickorish. Introducere în teoria nodurilor. - Springer, 1997. - ISBN 0-387-98254-X .
J.S. Birman, T.E. Brandle. Manual de teorie a nodurilor / W. Menasco, M. Thistlethwaite. - Elsevier, 2005. - ISBN 0-444-51452-X ..
J. Milnor. Puncte singulare ale hipersuprafețelor complexe. - Princeton University Press, 1968. - ISBN 0-691-08065-8 .

Link -uri

36 de noduri Torus , Atlasul nodurilor.
Weisstein, Eric W. Torus Knot (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Redarea nodului Torus în Actionscript
Distracție cu nodul PQ-Torus