Shamrock (nod)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 23 iulie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Shamrock
Trifoi stângaci
Notaţie
Conway	[3]
Alexander-Briggs	3 1
Dowker	4, 6, 2
Polinomiale
Alexandru	$t-1+t^{{-1}}$
Jones	$q^{{-1}}+q^{{-3}}-q^{{-4}}$
Kaufman	$za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2}$
Conway	$z^{2}+1$
HOMFLY	$-\alpha ^{4}+\alpha ^{2}z^{2}+2\alpha ^{2)$
Invariante
Arfa invariant	unu
Lungimea impletiturii	3
Numărul de fire	2
Numărul de poduri	2
Numărul de filme	unu
Numărul de intersecții	3
Gen	unu
Numărul de segmente	6
Numărul de tuneluri	unu
Dezlegați numărul	unu
Proprietăți
Simplu , toric , alternant , dantela , netăiat , bilateral , tricolor , răsucit , stratificat
Fișiere media la Wikimedia Commons

În teoria nodurilor, trefoilul [1] este cel mai simplu nod non-trivial . Un shamrock poate fi obținut prin unirea a 2 capete libere ale unui nod simplu obișnuit , rezultând un inel înnodat . Fiind cel mai simplu nod, trefoilul este un subiect fundamental în studiul teoriei matematice a nodurilor , care are aplicații multiple în topologie , geometrie , fizică , chimie și iluzionism .

Descrieri

Trifoiul poate fi definit ca o curbă care rezultă din următoarele ecuații parametrice :

{\begin{cases}x=\sin t+2\sin 2t,\\y=\cos t-2\cos 2t,\\z=-\sin 3t.\end{cases))

(2,3) - nodul torus este un trifoil. Următoarele ecuații parametrice definesc un nod (2,3)-tor pe un tor : $(r-2)^{2}+z^{2}=1$

{\begin{cases}x=(2+\cos 3t)\cos 2t,\\y=(2+\cos 3t)\sin 2t,\\z=\sin 3t.\end{cases} }

Orice deformare continuă a acestei curbe este, de asemenea, considerată un trefoil. În special, orice curbă izotopică la un trefoil este, de asemenea, considerată un trefoil. În plus, imaginea în oglindă a unui shamrock este, de asemenea, considerată shamrock. În topologie și teoria nodurilor, un trefoil este de obicei definit folosind o diagramă .

În geometria algebrică, trefoliul poate fi obținut ca intersecția în C 2 a unității 3-sfere S 3 cu curba plană complexă de zerouri a polinomului complex z 2 + w 3 ( parabola semicubică ).

Dacă un capăt al benzii este răsucit de 3 ori și apoi lipit de celălalt capăt, obținem un trifoi [2] .

Simetrie

Trifoiul este chiral în sensul că trifoiul este diferit de propria sa imagine în oglindă. Cele două variante ale trifoiului sunt cunoscute ca stângaci și dreptaci . Este imposibil să transformi varianta stângaci în varianta dreptaci în mod continuu sau invers prin deformare, adică aceste două trifoi nu sunt izotopice.

Deși shamrock-ul este chiral, este reversibil , ceea ce înseamnă că nu contează dacă shamrock merge în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic.

Non-trivialitate

Trifoiul nu este banal, ceea ce înseamnă că nu este posibil să „dezlegați” trifoiul în 3D fără a-l tăia. Din punct de vedere matematic, acest lucru înseamnă că trefoilul nu este izotopic la nodul trivial . În special, nu există o secvență de mișcări Reidemeister prin care nodul să fie dezlegat.

Dovada acestui lucru necesită construirea unui invariant de nod , care este diferit de invariantul de nod trivial. Cel mai simplu astfel de invariant este o colorare tricoloră - un trefoil permite o colorare tricoloră, dar un nod banal nu. De asemenea, orice polinom de bază cu nod trivial diferă de polinomul trivial cu nod, la fel ca majoritatea celorlalți invarianți.

Clasificare

În teoria nodurilor, trefoilul este primul nod netrivial și singurul nod cu trei intersecții . Este prim și este listat cu numărul 3 1 în notația Alexander-Briggs . a lui Dowker pentru shamrock este 4 6 2, iar notația lui Conway pentru shamrock este [3].

Trifoiul poate fi descris ca un nod (2,3) -torus . Puteți obține acest nod prin închiderea împletiturii σ 1 3 .

Trifoiul este un nod alternativ . Cu toate acestea, nu este un nod tăiat , ceea ce înseamnă că nu constrânge un disc de 2 la o sferă de 4 d. Pentru a arăta acest lucru, trebuie remarcat faptul că semnătura sa este diferită de zero. O altă dovadă este că polinomul Alexander nu satisface condiția Fox-Milnor .

Trifoiul este fibros , ceea ce înseamnă că complementul lui este o fibrare local trivială peste un cerc . În modelul trefoil, ca un set de perechi de numere complexe, astfel încât și , acest pachet trivial la nivel local are maparea Milnor ca mănunchi și torul perforat ca suprafață a fasciculului. $S^{3}$ $S^{1}$ $(z,w)$ $|z|^2+|w|^2=1$ $z^2+w^3=0$ $\phi(z,w)=( z^2+w^3)/|z^2+w^3|$

Invarianți

Polinomul Alexander al trefoilului este

\Delta (t)=t-1+t^{-1},

iar polinomul Conway [3] este

\nabla(z) = z^2 + 1.

polinomul Jones -

V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4},

iar polinomul Kaufman al trefoilului este

L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}- 2a^{2}.

Grupul nod trifoi este dat de reprezentare

\langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle

sau echivalent [4] ,

\langle x,y\mid xyx=yxy\rangle .

Acest grup este izomorf cu grupul de împletituri cu trei fire.

Shamrocks în religie și cultură

Fiind cel mai simplu nod non-trivial, trifoiul este un motiv frecvent în iconografie și artă plastică .

Pandantiv vechi nordic Mjolnir cu shamrock
Simbol trichetra simplu
trichetra densă
German Valknut
Valknut de metal sub formă de trifoi
Shamrock folosit în sigla ATV
Suprafață orientabilă delimitată de un trefoil
Fâșia Möbius , delimitată de un trifoil

Este prezent pe ultimele monede norvegiene moderne ale lui Harald Hardrod (1047-1066), pentru care acest nod triplu a devenit imaginea cea mai tipică, de regulă, umplând câmpul aversului. [5]

Prezent pe monedele vest-europene provenite din monetăriile carolingiene și, mai ales, din atelierele arhiepiscopale din Andernach, Köln, Huy sau Strasbourg (531), motivul cu triplu nod poate fi considerat, cel mai probabil, exclusiv un simbol al Sfintei Treimi. [5]

Prezent pe monedele precreștine din York și Hedeby și pe pietre funerare din secolele VIII-IX. pe insula Gotland. [5]

Vezi și

Lista de noduri simple
Lista de noduri

Note

↑ Sosinsky A.B. Noduri. Cronologia unei teorii matematice. - P. 15 - Moscova: Bureau Quantum, 2009. - ISBN 978-5-85843-090-2
↑ Shaw, 1933 , p. unsprezece.
↑ 3_1 Arhivat la 30 august 2013 la Wayback Machine , The Knot Atlas.
^ Weisstein , Eric W. Trefoil Knot pe site- ul Wolfram MathWorld . Accesat: 5 mai 2013.
↑ 1 2 3 Kersnovsky R. Moneda în cultura Evului Mediu. - per. din poloneză. si comentati. cand. ist. Științe. T.Yu. Stukalova - P. 414 - Moscova: 2018 - ISBN: 978-5-89076-320-4

Literatură

George Russell Shaw. Noduri: utile și ornamentale. - 1933. - ISBN 978-0-517-46000-9 .

Link -uri

Wolframalpha: (2,3)-nod torus

Teoria nodurilor și legăturilor
Hiperbolic	Opt (4 1 ) Trei jumătăți de ture (5 2 ) Stocare (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Pereche de Percos (10 161 ) Dantela (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Inele borromee (63 2) L10a140
satelit	Compus ( Bebeluş ) Drept Suma de noduri
toric	Trivial (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentila (5 1 ) Şapte foi (7 1 ) Deconectat (02 1) Hopf (22 1) Solomon (42 1)
Invariante	alternativ Arfa invariant Număr de poduri ( 2-punți ) link brunnian Chiralitate ( reversibilă ) Numărul de filme Numărul de intersecții Vasiliev invariant Volum hiperbolic omologia lui Khovanov Gen Grup de noduri Grup de viteze Raport de transmisie Polinoame ( Alexandre Suport Kauffman HOMFLY Jones Kaufman ) Logodna dantela Nod simplu ( listă ) Numărul de segmente Număr de coloranți tricolori Numărul și sarcina dezlegarii
Notație și operații	Notație Alexander–Briggs Notație Conway Notație Docker Mutaţie Mișcarea Reidemeister Raportul Skene
Alte	teorema lui Alexandru nod Berge teoria împletiturii Sfera Conway Finalizarea nodului Nod dublu torus Nod stratificat Bandă A tăia Suma de noduri ipotezele lui Tate Răsucit Sălbatic Numărul de răsucire Suprafata Seifert