Număr tetraedric

Numerele tetraedrice , numite și numere piramidale triunghiulare , sunt numere figurative reprezentând o piramidă , la baza căreia se află un triunghi regulat . Numărul tetraedric de ordine este definit ca suma primelor numere triunghiulare : $n$ $\Delta _{n}$ $n$

\Delta _{n}=T_{1}+T_{2}+\dots +T_{n)

Începutul unei secvențe de numere tetraedrice:

1, 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … ( secvența OEIS A000292 ).

Formula

Formula generală pentru numărul tetraedric este: $n$

\Delta _{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6)).

De asemenea, formula poate fi exprimată în termeni de coeficienți binomi :

\Delta _{n}=C_{n+2}^{3}={\binom {n+2}{3)).

Proprietăți

Numerele tetraedrice sunt în a patra poziție a fiecărui rând în triunghiul lui Pascal .

Doar trei numere tetraedrice sunt numere pătrate :

\Delta _{1}=1^{2}=1

\Delta _{2}=2^{2}=4

\Delta _{48}=140^{2}=19600

Cinci numere tetraedrice sunt triunghiulare în același timp (secvența A027568 în OEIS ):

\Delta _{1}=T_{1}=1

\Delta _{3}=T_{4}=10

\Delta _{6}=T_{15}=120

\Delta _{20}=T_{55}=1540

\Delta _{34}=T_{119}=7140

Singurul număr piramidal care este și pătrat și cub este numărul 1.

Se poate observa ca:

{\displaystyle \Delta _{5}=\Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\Delta _{4))

Seria de numere tetraedrice reciproce este telescopică și, prin urmare, converge:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\Delta _{n)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6 }{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.

Una dintre „conjecturile” lui Pollock (1850): fiecare număr natural poate fi reprezentat ca suma a cel mult cinci numere tetraedrice. Nu a fost încă dovedit, deși a fost testat pentru toate numerele mai mici de 10 miliarde [1] [2] .

Generalizare multidimensională

Numerele tetraedrice tridimensionale pot fi generalizate la patru sau mai multe dimensiuni, similar cu trecerea de la numerele triunghiulare la cele tetraedrice. Un analog al numerelor tetraedrice în spațiul -dimensional sunt „ numerele simplex ”, numite și hipertetraedrice [3] : $d$

S_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\d!))={\frac {\prod _{k= 0}^{d-1}(n+k)}{d!}}.

Cazurile lor speciale sunt:

$S_{n}^{[2]}$ sunt numere triunghiulare .
$S_{n}^{[3]}$ sunt numere tetraedrice .
$S_{n}^{[4]}$ sunt numere pentatop .

Note

↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 239.
↑ Frederick Pollock. Pe extinderea principiului teoremei lui Fermat asupra numerelor poligonale ultime la ordinul superior al serii ale căror diferențe sunt constante. Cu o nouă teoremă propusă, aplicabilă tuturor ordinelor // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. - 1850. - Vol. 5 . - P. 922-924 . — .
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 126-134.

Literatură

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. În spatele paginilor unui manual de matematică: Aritmetică. Algebră. Geometrie . - M . : Educaţie, 1996. - S. 30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala . - M . : Educaţie, 1964. - 376 p.
Deza E., Deza M. Numere curly. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Link -uri

numere ondulate
Weisstein, Eric W. Tetrahedral Number (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Dovada geometrică a formulei numerelor tetraedrice de Jim Delany, Proiectul de demonstrații Wolfram .
Despre relația dintre însumările duble și numerele tetraedrice de Marco Ripà

numere ondulate

apartament

Poligonală clasică	triunghiular Pătrat Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal Dodecagonal
Centrat	triunghiular Pătrat Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal În nouă unghiuri Decagonală

Piramidal	tetraedric Pătrat piramidal
cu mai multe fațete	cub octaedral Dodecaedral icosaedric Octaedral stelat

cu mai multe fațete	Pentatopic Bisquare