Triunghiul Sierpinski

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 29 mai 2022; verificările necesită 3 modificări .

Triunghiul Sierpinski  este un fractal , unul dintre analogii bidimensionali ai mulțimii Cantor , a cărui descriere matematică a fost publicată de matematicianul polonez Vaclav Sierpinski în 1915 [1] . Cunoscut și sub numele de „Șervețelul” lui Sierpinski.

Clădire

Metoda iterativă

Punctele medii ale laturilor unui triunghi echilateral sunt conectate prin segmente de dreaptă . Se obțin 4 triunghiuri noi. Interiorul triunghiului median este îndepărtat din triunghiul original . Se dovedește un set format din 3 triunghiuri rămase de „primul rang”. Făcând același lucru cu fiecare dintre triunghiurile de primul rang, obținem un set format din 9 triunghiuri echilaterale de al doilea rang. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem o succesiune infinită , a cărei intersecție este triunghiul Sierpinski.

Metoda haosului

1. Sunt stabilite coordonatele atractorilor  - vârfurile triunghiului original . 2. Spațiul de probabilitate este împărțit în 3 părți egale, fiecare dintre ele corespunzând unui singur atractor. 3. Este stabilit un punct de plecare arbitrar . 4. Începutul ciclului de construire a punctelor aparținând mulțimii triunghiului Sierpinski. 1. Se generează un număr aleatoriu . 2. Atractorul activ este vârful, pe subspațiul probabilistic al cărui număr a căzut. 3. Se construiește un punct cu coordonate noi: , unde:  — coordonatele punctului anterior ;  sunt coordonatele punctului-atractor activ. 5. Reveniți la începutul ciclului.

Construire în JavaScript

Aceasta este o metodă de construcție nerecursivă

var k = Math . sqrt ( 3 ) / 2 ; var S = 16 ; var H = 512 ; var W = Math . podea ( H / k ); document . corp . innerHTML = ( '<canvas id="C" width="' + W + '" height="' + H + '"></canvas>' ); var canvas = document . getElementById ( 'C' ); var ctx = canvas . getContext ( '2d' ); ctx . fillRect ( 0 , 0 , W , H ); pentru ( var x = 0 ; x <= Math . floor ( W / 2 ); x ++ ) { pentru ( var y = 0 ; y < H ; y ++ ) { var A = y ; var a = A % S ; var B = y / 2 + x * k ; var b = B % S ; var C = y / 2 - x * k ; var c = C % S ; dacă ( a > b && C > 0 && B > 0 ) { dacă (( B / S ) & ( C / S )) ctx . fillStyle = '#ff0' ; altfel ctx . fillStyle = '#000' ; } else if ( a < b && C > 0 && B > 0 ) { ctx . fillStyle = '#0f8' ; } else ctx . fillStyle = '#fff' ; ctx . fillRect ( Math . floor ( W / 2 ) - x , y , 1 , 1 ); dacă ( x != 0 ) ctx . fillRect ( Math . floor ( W / 2 ) + x , y , 1 , 1 ); } }

Construire în C# în Consolă cu Triunghiul lui Pascal

folosind System ; spațiu de nume Serpinski { Programul clasei { static void Main ( șir [] args ) { Consola . Scrie ( "Puterea lui 2: " ); int adâncime = Convert . ToInt32 ( Math . Pow ( 2d , Convert . ToDouble ( Console . ReadLine ()))); int [][] pascaltriangle = new int [ adâncime ][]; pentru ( int i = 0 ; i < pascaltriunghi . Lungime ; i ++) { pascaltriangle [ i ] = new int [ adâncime ]; pentru ( int j = 0 ; j < pascaltriangle [ i ]. Lungime ; j ++) pascaltriangle [ i ][ j ] = 0 ; pascaltriunghi [ i ][ 0 ] = 1 ; pascaltriangle [ i ][ i ] = 1 ; } pentru ( int i = 1 ; i < pascaltriunghi . Lungime ; i ++) pentru ( int j = 1 ; j < pascaltriangle [ i ]. Lungime ; j ++) pascaltriunghi [ i ][ j ] = ( pascaltriunghi [ i - 1 ][ j - 1 ] + pascaltriunghi [ i - 1 ][ j ]) % 2 ; pentru ( int i = 0 ; i < pascaltriunghi . Lungime ; i ++) { pentru ( int j = 0 ; j < pascaltriangle [ i ]. Lungime ; j ++) Consola . Scrie ( pascaltriangle [ i ][ j ] == 1 ? "#" : " " ); Consola . writeLine (); } Consola . Scrie ( „Apăsați orice tastă pentru a continua...” ); Consola . ReadKey (); } } }

Proprietăți

  • Triunghiul Sierpinski este format din 3 părți identice, coeficientul de similitudine este 1/2.
  • Triunghiul Sierpinski este închis .
  • Triunghiul Sierpinski are dimensiunea topologică 1.
  • O proprietate importantă a triunghiului Sierpinski este auto-asemănarea sa  - la urma urmei, este format din trei dintre copiile sale, reduse la jumătate (acestea sunt părți ale triunghiului Sierpinski conținute în triunghiuri mici adiacente colțurilor).
  • Triunghiul Sierpinski are o dimensiune Hausdorff intermediară (adică non-întreg) . În special,

Fapte

  • Triunghiul Sierpinski

  • Construire prin metoda iterativă

  • Construcție prin metoda haosului

  • Ilustrație a proprietății de auto-similaritate ( recursie )

Vezi și

Note

  1. ↑ W. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification.//Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. - Paris. - Tome 160, Janvier - Iunie 1915. - Pp. 302 – 305. - [https://web.archive.org/web/20200806202128/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31131 Arhivat 6 august 2020 la Wayback Machine ]
  2. ↑ Bilotta, Eleonora; Pantano, Pietro (vara 2005), „Emergent patterning phenomena in 2D cellular automata”, Artificial Life, 11 (3): 339–362, doi:10.1162/1064546054407167, PMID 16053574 , S2CID 578.
  3. ↑ Antene fractale Slyusar V.I. // Radioamator. - 2002. - Nr 9. - S. 54 -56., Constructor. - 2002. - Nr. 8. - P. 6 - 8. [1] Copie de arhivă din 19 februarie 2018 la Wayback Machine
  4. ↑ Vishnevsky V. M., Lyakhov A. I., Portnoy S. L., Shakhnovich I. V. Rețele fără fir în bandă largă pentru transmiterea informațiilor. — M.: Tehnosferă. - 2005.- C. 498-569
  5. ↑ 1 2 Gramatica ornamentului. Day and Son, Londra. — 1856. [2]
  6. ↑ Conversano Elisa, Tedeschini Lalli Laura. Triunghiuri Sierpinsky în piatră, pe podele medievale la Roma.// Aplimat - Jurnal de Matematică Aplicată. Volumul 4 (2011), Numărul 4. - P. 113-122. - [3]
  7. ↑ Paola Brunori, Paola Magrone și Laura Tedeschini Lalli. Porfir imperial și frunză de aur: triunghiul Sierpinski într-o mănăstire romană medievală.//ICGG 2018 — Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics. — P.p. 595-609. - [4]

Literatură

Link -uri

  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii
În cataloagele bibliografice
 fractali
Caracteristici
Cei mai simpli fractali
atractor ciudatMultifractal
Sistemul LCurba de umplere a spațiului
Fractali de bifurcație
Fractali aleatorii
oameni
subiecte asemănătoare