Geometria algebrică universală (un alt nume este geometria algebrică peste sisteme algebrice [1] ) este o direcție în matematică care studiază conexiunile dintre elementele unui sistem algebric , exprimate în limbajul ecuațiilor algebrice peste sistemele algebrice . Geometria algebrică clasică este un exemplu specific de geometrie algebrică peste sisteme algebrice pentru cazul unui câmp algebric , în cazul universal, instrumentele algebrei universale sunt folosite pentru generalizarea rezultatelor clasice.
Regia a fost dezvoltată inițial în lucrările lui Plotkin , Baumslag ( ing. Gilbert Baumslag ), Kharlampovich , Myasnikov , Remeslennikov [2] . Punctul de plecare a fost dezvoltarea geometriei algebrice asupra unui grup liber non- abelian , ulterior s-au obținut teorii semnificative pentru grupuri rigide rezolvabile ( Romanovsky ), grupuri metabeliene , grupuri parțial comutative , s-au dezvăluit o serie de rezultate asupra grupurilor abeliene , grupuri topologice , grupuri hiperbolice , algebre peste inele și, de asemenea, peste un număr de structuri cu un nivel ridicat de generalitate, cum ar fi semigrup , monoid , semilatice .
Una dintre sarcinile principale ale direcției este de a descrie mulțimi algebrice peste sistemul algebric ales [3] . Partea fundamentală a teoriei este generalizarea rezultatelor construcției geometriei algebrice asupra unor tipuri specifice de sisteme algebrice și utilizarea instrumentelor teoretice de model pentru construirea de teorii similare asupra sistemelor algebrice de orice semnătură , găsirea construcțiilor generale care nu depind de anumite elemente. tipuri de varietăți de sisteme algebrice , selectând proprietăți care pot fi exprimate indiferent de tipurile de varietăți și dezvăluind rezultate care sunt universale pentru orice sisteme cu proprietăți corespunzătoare. Un exemplu de astfel de proprietate este proprietatea Noetheriană, dezvoltată anterior separat pentru grupuri , inele , module , dar generalizată pentru sisteme algebrice arbitrare, în timp ce pentru întreaga clasă de sisteme algebrice Noetheriene au loc o serie de rezultate algebrico-geometrice. Pe lângă universalizarea rezultatelor, unul dintre efectele tehnice ale abordării este simplificarea multor dovezi datorită trecerii la un limbaj teoretic-model care nu necesită utilizarea unor proprietăți specifice ale grupurilor, inelelor, modulelor.