Formula cu cinci elemente (geometrie sferică)

Formula celor cinci elemente în trigonometria sferică exprimă relația dintre cele cinci elemente ale unui triunghi sferic [1] .

Descriere

Întregul set de bază de formule pentru cele cinci elemente pentru diferite unghiuri și laturi ale unui triunghi poate fi împărțit în două grupuri:

• Formule care raportează trei laturi și două unghiuri, altfel cunoscute ca formule pentru sinusul unei laturi și cosinusul unui unghi . Iată una dintre ele [2] :

• Formule care raportează trei unghiuri și două laturi, altfel cunoscute ca formule pentru sinusul unui unghi și cosinusul unei laturi . Una dintre ele arată astfel:

În formula sinusului unei laturi la cosinusul unui unghi, latura și unghiul adiacent acesteia sunt exprimate în termenii celorlalte două laturi și a unghiului dintre ele. Pentru fiecare parte, se poate lua unul dintre cele două unghiuri adiacente, deci există șase astfel de formule în total.

În formula sinusului unui unghi față de cosinusul unei laturi, latura și unghiul adiacent acesteia sunt exprimate în termenii celorlalte două unghiuri și a laturii adiacente acestora. Există și șase astfel de formule.

Fiecare formulă a sinusului unui unghi cu cosinusul unei laturi este duală cu una dintre formulele sinusului unei laturi cu cosinusul unui unghi, deoarece unghiurile și laturile oricărui triunghi sferic sunt completate la un unghi dezvoltat prin laturile si unghiurile triunghiului polar corespunzator . Prin urmare, este suficient să se demonstreze doar formulele pentru sinusul unei laturi și cosinusul unui unghi. Mai mult, cele două formule pentru sinusul unei laturi la cosinusul unui unghi inclus și sinusul aceleiași laturi la cosinusul altui unghi inclus se obțin exact în același mod. Și din aceste două formule, restul de patru formule ale sinusului laturii la cosinusul unghiului sunt obținute folosind o permutare circulară a literelor:

Astfel, este suficient să demonstrăm una dintre formulele pentru sinusul unei laturi la cosinusul unui unghi.

Dovada

Dovada se va realiza cu ajutorul proiecțiilor [1] . Figura prezintă un triunghi sferic ABC pe o sferă cu raza R centrată pe O. BP este perpendicular pe planul cercului mare care trece prin latura b , BM este perpendicular pe OC , BN este perpendicular pe OA . Prin inversul teoremei celor trei perpendiculare , PM este perpendiculara pe OC , PN este perpendiculara pe OA . Rețineți că unghiul MPN este b, în ​​plus, BM = R sin a, BN = R sin c și OM = R cos a. Apoi, proiectăm linia întreruptă NOMP pe linia care conține NP .

Inlocuim ultimele patru expresii in prima si obtinem:

Aplicație

Aplicând formula a cinci elemente împreună cu alte formule de trigonometrie sferică, se pot obține, de exemplu, formule de conversie între sistemele de coordonate cerești : orizontală , ecuatorială, ecliptică și galactică [3] .

Istorie

Formula celor cinci elemente a fost derivată de Leonhard Euler în secolul al XVIII-lea [4] .

Note

1. ↑ 1 2 Stepanov N.N. Formule a cinci elemente // Trigonometrie sferică . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S.  32 -35. — 154 p.
2. ↑ Spherical Trigonmetry Arhivat 28 februarie 2021 la Wayback Machine de pe site-ul MathWorld
3. ↑ Tseevici V.P. Ce și cum să observăm pe cer. - Ed. a VI-a. - M . : Nauka , 1984. - S. 68-74. — 304 p.
4. ↑ Trigonometrie sferică // Marea Enciclopedie Sovietică  : [în 30 de volume]  / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M .  : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.