Triunghi polar

Triunghiul polar este un concept de geometrie sferică . Un triunghi polar pentru un triunghi sferic dat este un triunghi sferic în raport cu laturile căruia vârfurile triunghiului dat sunt poli.

Polul este unul dintre cele două puncte de intersecție ale perpendicularei de la centrul sferei la planul cercului mare [1] :7 . Adică, în acest caz, fiecare vârf al triunghiului sferic dat se află pe perpendiculara de la centrul sferei la cercul mare care conține latura corespunzătoare a triunghiului sferic polar.

Proprietăți

Triunghiurile polare au proprietatea reciprocității: [2] dacă triunghiul sferic ABC este polar față de triunghiul sferic LMN , atunci triunghiul sferic LMN este polar și față de triunghiul sferic ABC . Unghiurile unuia dintre triunghiurile polare unul față de celălalt completează laturile celuilalt triunghi la un unghi drept. Astfel, fiecare teoremă sau formulă referitoare la laturile și unghiurile unui triunghi poate fi convertită într-o teoremă sau formulă duală despre unghiurile și laturile unui triunghi polar.

Dacă toate laturile unui triunghi sferic sunt mai mici decât un unghi drept, acesta se va afla în interiorul unui triunghi polar. Dacă toate laturile unui triunghi sferic sunt mai mari decât un unghi drept, el însuși va conține un triunghi polar. Dacă cel puțin o latură a unui triunghi sferic este mai mică sau egală cu un unghi drept, în timp ce restul sunt mai mari, atunci se va intersecta cu un triunghi polar [3] . Un triunghi sferic, ale cărui laturi sunt egale cu un unghi drept, va fi polar față de el însuși.

Istorie

Cel mai timpuriu exemplu de utilizare a triunghiului polar se găsește în Tratatul lui Abu Nasr ibn Iraqi despre cunoașterea arcurilor cerești . Ibn Irak introduce triunghiul polar atunci când calculează laturile unui triunghi sferic dat din cele trei unghiuri ale sale. O metodă similară a fost folosită mai târziu de al-Jayani în Cartea arcurilor necunoscute ale sferei și de Nasir al-Din al-Tusi în Tratatul asupra patrulaterului complet.

Conceptul de „triunghi polar” în Europa s-a răspândit în secolul al XVIII-lea datorită lui V. Snellius [3] , care și-a derivat proprietățile de bază [4] .

Vezi și

• triunghi sferic
• Triunghi

Note

1. ↑ Stepanov N.N. Trigonometrie sferică. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 p.
2. ↑ Weisstein, Eric W. Triangle.html Polar Triangle  la Wolfram MathWorld .
3. ↑ 1 2 Stepanov N.N. Triunghi sferic polar și proprietățile sale // Trigonometrie sferică . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S.  12 -14. — 154 p.
4. ↑ Walter William Rouse Ball . O scurtă prezentare a istoriei matematicii . - Publicaţiile Courier Dover, 1960. - S. 254. - 522 p.

Literatură

• Matvievskaya G.P. Eseuri despre istoria trigonometriei. Tashkent: Fan, 1990.