Trigonometrie sferică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 30 iunie 2021; verificările necesită 4 modificări .

Trigonometria sferică este o secțiune a trigonometriei care studiază relația dintre unghiuri și lungimile laturilor triunghiurilor sferice . Este folosit pentru a rezolva diverse probleme geodezice și astronomice.

Istorie

Bazele trigonometriei sferice au fost puse de matematicianul și astronomul grec Hipparchus în secolul al II-lea î.Hr. e. O contribuție importantă la dezvoltarea sa a fost adusă de oameni de știință antici precum Menelau din Alexandria și Claudius Ptolemeu . Trigonometria sferică a grecilor antici se baza pe aplicarea teoremei lui Menelaus la un patrulater complet pe o sferă. Matematicienii greci antici nu au afirmat condiția teoremei lui Menelaus în limbajul raporturilor sinusurilor, ci în limbajul rapoartelor de acorduri . Pentru a efectua calculele necesare, s-au folosit tabele de acorduri, similare cu tabelele de sinusuri ulterioare .

Ca disciplină independentă, trigonometria sferică s-a format în lucrările matematicienilor medievali din țările islamice. Cea mai mare contribuție la dezvoltarea sa în această eră a fost adusă de oameni de știință precum Sabit ibn Korra , Ibn Iraq , Kushyar ibn Labban , Abu-l-Wafa , al-Biruni , Jabir ibn Aflah , al-Jayani , Nasir ad-Din at- Tusi . În lucrările lor, au fost introduse funcțiile trigonometrice de bază, teorema sinusului sferic și o serie de alte teoreme utilizate în calculele astronomice și geodezice au fost formulate și demonstrate, a fost introdus conceptul de triunghi polar , care a făcut posibilă calcularea laturilor lui un triunghi sferic din cele trei unghiuri date.

Istoria trigonometriei sferice în Europa este asociată cu lucrările unor oameni de știință precum Regiomontanus , Nicolaus Copernicus , Francesco Mavrolico .

Raporturi de bază

Să notăm laturile triunghiului sferic a , b , c , unghiurile opuse acestor laturi - A , B , C. Latura unui triunghi sferic este egală cu unghiul dintre două raze care emană din centrul sferei până la capetele corespunzătoare ale laturii triunghiului. Pentru o măsură în radian a unui unghi:

a={\frac {|uv|}{R}},

b={\frac {|uw|}R},

c={\frac {|vw|}R}

Când utilizați un unghi în loc de lungimea unui arc pentru a măsura laturile unui triunghi sferic, formulele sunt simplificate - atunci nu includ raza sferei. Același lucru se întâmplă, de exemplu, în astronomia sferică , unde raza sferei cerești nu contează.

Teoreme pentru un triunghi sferic dreptunghic

Fie unghiul C un unghi drept. Atunci sunt valabile următoarele relații:

\operatorname {tg}b=\operatorname {tg}c\cos A,

\operatorname {tg}a=\sin b\operatorname {tg}A,

\sin a=\sin c\sin A,

\operatorname {cos}c=\operatorname {ctg}A\operatorname {ctg}B,

\cos A=\cos a\sin B.

Teoreme pentru un triunghi sferic arbitrar

Teoreme cosinus sferice

\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,

\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.

Teorema sinusului sferic

{\frac {\sin a}{\sin A))={\frac {\sin b}{\sin B)}={\frac {\sin c}{\sin C)),\sin ^{2}A>0,\sin ^{2}B>0,\sin ^{2}C>0.

Prima și a doua teoreme de cosinus sferic sunt duale între ele. Teorema sinusului sferic este duală cu sine.

Formula cu cinci elemente

\sin a\cos C=\sin b\cos c-\cos b\sin c\cos A.

\sin A\cos c=\sin B\cos C+\cos B\sin C\cos a,

Aceste două formule sunt, de asemenea, duale între ele.

Aplicație

Cunoașterea formulelor de trigonometrie sferică este necesară atunci când se rezolvă probleme precum, de exemplu, conversia coordonatelor dintr-un sistem de coordonate cerești în altul, calcularea longitudinei meridianului central al unei planete din sistemul solar , marcarea unui cadran solar și direcția exactă. de o antenă de satelit („antenă”) către satelitul dorit pentru recepția canalelor TV prin satelit .

Vezi și

Literatură

Matvievskaya G.P. Eseuri despre istoria trigonometriei. Tashkent: Fan, 1990.
Stepanov N. N. Trigonometrie sferică. M.-L.: OGIZ , 1948.

Link -uri

Un scurt ghid pentru trigonometria sferică.
Trigonometrie sferică - articol din Marea Enciclopedie Sovietică .
Trigonometrie sferică la MathWorld

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare norvegian Rusă mare in jurul lumii Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	BNF : 120983095 GND : 4182230-4 J9U : 987007548880505171 LCCN : sh85137523 NDL : 00570155

Trigonometrie sferică
Noțiuni de bază	triunghi sferic triunghi polar Exces Bigon
Formule și rapoarte	Teoreme ale cosinusului Teorema sinusului Formula cu cinci elemente Formula pe jumătate regula mnemonică a lui Napier Teorema sferică a lui Pitagora formule Delambre formulele de analogie ale lui Napier teorema lui Legendre Rezolvarea triunghiurilor
subiecte asemănătoare	Sistem de coordonate sferice geometrie sferică unghi triedric