Formula pe jumătate

În trigonometrie sferică , formula semi-laturii este aplicată pentru a rezolva triunghiuri sferice .

Formula pe jumătate

{\begin{aliniat}\tan \left({\frac {a}{2}}\right)&=R\cos(S-\alpha )\\[8pt]\tan \left({\frac {b }{2}}\right)&=R\cos(S-\beta )\\[8pt]\tan \left({\frac {c}{2}}\right)&=R\cos(S- \gamma )\end{aliniat}}

Unde

α , β , γ sunt unghiurile unui triunghi sferic,
a , b , c sunt lungimile laturilor situate opuse, respectiv, unghiurile α , β , γ ,

$S={\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +\gamma )$

jumătate din suma unghiurilor unui triunghi și

$R={\sqrt {{\frac {-\cos S}{\cos(S-\alpha )\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )))))$

Interesant este că R este tangenta razei cercului circumscris triunghiului sferic dat [1] :78.83 . Cele trei formule sunt de fapt aceeași formulă, cu doar notația unghiurilor și laturilor corespunzătoare schimbată.

Derivarea formulei

Prin teorema cosinusului , avem [1] :75-77 :

\cos a={\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma )).

Apoi, conform formulei unghiului dublu (rădăcina pozitivă este luată deoarece latura este mai mică de 180 de grade):

\sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos a}{2}}}={\sqrt {\frac {\sin \beta \sin \gamma -\cos \beta \cos \gamma -\cos \alpha }{2\sin \beta \sin \gamma }}}.

Aplicând formula pentru adăugarea argumentelor și formula pentru transformarea sumei funcțiilor, obținem:

\sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {-\cos(\beta +\gamma )-\cos \alpha {2\sin \beta \sin \gamma} ))={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-\alpha )}{\sin \beta \sin \gamma }}}.

În mod similar, pentru cosinusul unei jumătăți de latură, obținem:

\cos {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos a}{2}}}={\sqrt {\frac {\cos(S-\beta) \cos(S-\gamma )}{\sin \beta \sin \gamma }}}.

De aceea

\operatorname {tg} {\frac {a}{2}}={\frac {\sin {\frac {a}{2}}}{\cos {\frac {a}{2}}} }={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-\alpha )}{\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )))}=\cos(S-\alpha ) ){\sqrt {\frac {-\cos S}{\cos(S-\alpha )\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )))}.

Duala acestei formule, adică formula pentru jumătate de unghi, poate fi obținută din ea ca de obicei - prin înlocuirea laturii cu complementul unghiului corespunzător până la 180 de grade și unghiurile cu complementele laturilor corespunzătoare în sus la 180 de grade.

Formula duală

Formulele duale la jumătate sunt formule pentru jumătate de unghi [1] :74 :

{\begin{aliniat}\operatorname {tg}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)&={\frac {1}{\sin(sa)))\cdot r\\[ 8pt]\operatorname {tg}\left({\frac {\beta }{2}}\right)&={\frac {1}{\sin(sb)))\cdot r\\[8pt]\operatorname {tg}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)&={\frac {1}{\sin(sc)))\cdot r\end{aliniat}}

Unde

$s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$

jumătate din suma laturilor unui triunghi și

$r={\sqrt {{\frac {\sin(sa)\sin(sb)\sin(sc)}{\sin s))))$

Mai mult, în acest caz, r va fi tangenta cercului înscris al triunghiului sferic [1] :74 .

O formulă similară în planimetrie este cunoscută ca teorema cotangentă .

Aplicație

Formula jumătății laturii este folosită pentru a rezolva un triunghi sferic oblic pe trei laturi, adică atunci când este necesar să se calculeze fiecare dintre unghiurile sale din laturile date [1] :102-104 . Formula semiunghiului, la rândul său, este folosită pentru a rezolva un triunghi oblic în trei unghiuri, adică atunci când este necesar să se calculeze fiecare dintre laturile sale pentru cele trei unghiuri date [1] :104-108 . Dacă un triunghi sferic are unul dintre colțurile unei linii drepte, în locul acestor formule, se folosește o regulă mnemonică Napier mai convenabilă pentru a-l rezolva .

Vezi și

Note

↑ 1 2 3 4 5 6 Stepanov N. N. Trigonometrie sferică. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 p.

Trigonometrie sferică
Noțiuni de bază	triunghi sferic triunghi polar Exces Bigon
Formule și rapoarte	Teoreme ale cosinusului Teorema sinusului Formula cu cinci elemente Formula pe jumătate regula mnemonică a lui Napier Teorema sferică a lui Pitagora formule Delambre formulele de analogie ale lui Napier teorema lui Legendre Rezolvarea triunghiurilor
subiecte asemănătoare	Sistem de coordonate sferice geometrie sferică unghi triedric