Model fucsia

Un model fuchsian este o reprezentare a unei suprafețe Riemann hiperbolice R ca suprafață factor a semiplanului superior H în raport cu grupul fuchsian . Orice suprafață Riemann hiperbolică permite o astfel de reprezentare. Conceptul este numit după Lazar Fuchs .

O definiție mai precisă

Conform teoremei de uniformizare, orice suprafață Riemann este eliptică , parabolică sau hiperbolică . Mai precis, această teoremă afirmă că o suprafață Riemann care nu este izomorfă nici sferei Riemann (în cazul eliptic), nici suprafeței factorului unei suprafețe complexe în raport cu subgrupul discret (în cazul parabolic) trebuie să fie suprafața factorului . a planului hiperbolic în raport cu subgrupul acţionând complet discontinuu şi liber . $R$ $\mathbb {H}$ $\Gamma$

În modelul Poincaré în semiplanul superior pentru planul hiperbolic, grupul de transformări biholomorfe este un grup care acționează în omografie , iar teorema de uniformizare înseamnă că există un subgrup discret fără torsiune, astfel încât suprafața Riemann este izomorf . Un astfel de grup se numește grup fuchsian, iar un izomorfism este numit model fuchsian pentru . $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ $\Gamma \subset \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ $R$ $R\cong \Gamma \backslash \mathbb {H}$ $R$

Modelele fuchsiane și spațiul Teichmüller

Fie o suprafață hiperbolică închisă și fie un grup fuchsian care este un model fuchsian pentru . Lăsa $R$ $\Gamma$ $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ $R$

A(\Gamma)=\{\rho \colon \Gamma \to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )\)

Aici , este mulțimea tuturor reprezentărilor efective și discrete cu topologie generată de convergența punctuală (uneori numită „convergență algebrică”) [1] . În acest caz particular, topologia poate fi definită cel mai simplu după cum urmează: grupul este generat finit deoarece este izomorf cu grupul fundamental . Fie un set generator, atunci oricare este determinat de elemente și putem identifica cu submulțimea maparea . Astfel, stabilim topologia subspațiului. $A(\Gamma )$ $\rho$ $\Gamma$ $R$ $g_{1},\ldots,g_{r)$ $\rho \in A(\Gamma )$ $\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r})$ $A(G)$ $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )^{r)$ $\rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r}))$

Teorema izomorfismului lui Nielsen (aceasta nu este o terminologie standard și acest rezultat nu este direct legat de teorema Dehn-Nielsen ) apoi afirmă următoarele [2] :

Pentru orice reprezentare, există un autohomeomorfism (de fapt, o mapare cvasi-conformă ) a semiplanului superior , astfel încât pentru orice .

\rho \in A(G)

h

\mathbb {H}

h\circ \gamma \circ h^{-1}=\rho (\gamma )

\gamma \in G

Dovada este foarte simplă - alegeți un homeomorfism și ridicați-l în planul hiperbolic. Luarea unui difeomorfism dă o mapare cvasi-conformă, deoarece este compactă. $R\la \rho (\Gamma)\backslash \mathbb {H}$ $R$

Aceasta poate fi văzută ca o echivalență între două modele pentru spațiul Teichmüller [1] — setul de reprezentări eficiente discrete ale grupului fundamental [3] în clase și setul de suprafețe Riemann etichetate , unde este un homeomorfism cvasiconform al echivalenței naturale. relație. $R$ $\pi _{1}(R)$ $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ $(X,f)$ $f\colon R\la X$

Vezi și

Model Klein , o construcție similară pentru colectoare 3D
Poligon fundamental

Note

↑ 1 2 Matsuzaki, Taniguchi, 1998 , p. 12.
↑ Matsuzaki, Taniguchi, 1998 , p. 12, Teorema 0,17.
↑ Mulțimea claselor de homotopie de bucle cu un produs de bucle dintr-un punct din spațiu se numește grup fundamental cu un punct marcat și se notează cu . Dacă este un spațiu legat de cale , atunci, până la izomorfism, grupul fundamental nu depinde de punctul marcat, iar pentru astfel de spații se poate scrie în loc de . Vezi grupul fundamental $x_{0}$ $X$ $x_{0}$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $X$ $\pi _{1}(X)$ $\pi _{1}(X,x_{0})$

Literatură

Matsuzaki K., Taniguchi M. Varietăți hiperbolice și grupuri kleiniene. - Oxford University Press, 1998. - ISBN 0-19-850062-9 .