Funcție aerisită

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 23 august 2022; verificările necesită 4 modificări .

Funcția Airy este o soluție particulară a ecuației diferențiale

y''-xy\,=\,0\,,

numită ecuația Airy (primată luată în considerare și investigată în 1838 de astronomul britanic George Biddell Airy ) [1] . Aceasta este cea mai simplă ecuație diferențială care are un punct pe axa reală la care forma soluției se schimbă de la oscilantă la exponențială.

De obicei, termenul de „funcție aeriană” este aplicat la două funcții speciale - funcția Airy de primul fel (care are un comportament oscilator cu o scădere treptată a amplitudinii oscilațiilor la , și scade monoton conform unei legi exponențiale la ) și funcția Airy de al 2-lea fel (care oscilează și la cu o scădere treptată a amplitudinii oscilațiilor și la crește monoton conform unei legi exponențiale ); alte soluții particulare ale ecuației Airy pot fi reprezentate ca combinații liniare ale acestor două funcții [2] . Denumirea Ai pentru prima dintre aceste funcții a fost propusă în 1928 de Harold Jeffreys , care a folosit primele două litere ale numelui de familie Airy (în engleză Airy ) [3] . În 1946, Jeffrey Miller a adăugat notația Bi pentru funcția Airy de al 2-lea fel, care a devenit și ea standard [4] . $\operatorname {Ai}\,(x)$ $x\rightarrow -\infty$ $x\rightarrow +\infty$ $\operatorname {Bi}\,(x)$ $x\rightarrow -\infty$ $x\rightarrow +\infty$

V. A. Fok a propus simbolurile U și V pentru a desemna funcțiile Ai și , respectiv, Bi .

Funcția Airy este o soluție a ecuației Schrödinger pentru o particulă dintr-un puț de potențial triunghiular .

Definiție

Pentru cele reale, funcția Airy de primul fel este definită de următoarea integrală improprie [1] : $X$

\operatorname {Ai} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\!\cos \left({ \frac {t^{3}}{3}}+xt\dreapta)\,dt\,,

Efectuând diferențierea sub semnul integral, ne asigurăm că funcția rezultată satisface cu adevărat ecuația Airy

y''-xy\,=\,0\,.

O altă soluție particulară liniar independentă a acestei ecuații este funcția Airy de al 2-lea fel , în care la oscilațiile au aceeași amplitudine ca la, dar diferă ca fază prin [5] . Pentru cele reale, funcția Airy de al 2-lea fel este exprimată prin integrala [4] : $\operatorname {Bi} \,(x),$ $x\rightarrow -\infty$ $\operatorname {Ai} \,(x),$ $\pi/2$ $X$

\operatorname {Bi} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{ \tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]\, dt\,.

Pentru cele complexe , funcția Airy este definită după cum urmează: $z$ $\operatorname {Ai} \,(z)$

\operatorname {Ai} \,(z)\,=\,\int \limits _{\gamma _{1}}\!\exp \left(pz-{\frac {p^{3}} {3}}\dreapta)\,dp\,,

unde conturul este prezentat în figura [6] . Contururile și , de asemenea, oferă o soluție pentru ecuația Airy. În ciuda faptului că există trei bucle de integrare, există încă două soluții liniar independente ale ecuației Airy, deoarece suma integralelor peste aceste trei bucle este egală cu zero. $\gamma _{1)$ $\gamma _{2)$ $\gamma _{3)$

Funcția la o valoare complexă arbitrară este legată de funcția Airy de primul fel prin relația [1] : $\operatorname {Bi} \,(z)$ $z$

\operatorname {Bi} \,(z)\,=\,i\omega ^{2}\,\operatorname {Ai} \,(\omega ^{2}z)-i\omega \,\ nume operator {Ai} \,(\omega z)\,,\quad \omega =e^{2\pi {i/3}}\,.

Proprietăți

La un punct , funcțiile și și derivatele lor prima au următoarele valori: $x=0$ $\operatorname {Ai}\,(x)$ $\operatorname {Bi}\,(x)$

{\begin{aligned}\operatorname {Ai} \,(0)\,=\,{\frac {1}{3^{2/3}\,\Gamma \left({\frac {2 }{3}}\right)}}\,\aprox \,0,355\,028\,053\,887\,817\,,,&\quad \operatorname {Ai} '\,(0)\,=\ ,-{\frac {1}{3^{1/3}\,\Gamma \left({\frac {1}{3))\right)))\,\aproximativ \,-0,258\,819\ ,403\,792\,807\,,\\\operatorname {Bi} \,(0)\,=\,{\frac {1}{3^{1/6}\,\Gamma \left({ \frac {2}{3}}\right)}}\,=\,\operatorname {Ai} \,(0)\,{\sqrt {3}}\,,&\quad \operatorname {Bi} ' \,(0)\,=\,{\frac {3^{1/6}}{\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)))\,=\,-\ operatorname {Ai} '\,(0)\,{\sqrt {3}}\,.\end{aligned}}

unde este funcția gamma [7] . Rezultă că pentru Wronskianul funcțiilor și este egal cu . $\Gamma$ $x=0$ $\operatorname {Ai}\,(x)$ $\operatorname {Bi}\,(x)$ $1/\pi$

Când este pozitiv , este o funcție convexă pozitivă care scade exponențial la 0 și este o funcție convexă pozitivă care crește exponențial. Când este negativ și oscilează în jurul zero cu frecvența crescândă și amplitudinea descrescătoare. Acest lucru este confirmat de expresiile asimptotice pentru funcțiile Airy. $X$ $\operatorname {Ai}\,(x)$ $\operatorname {Bi}\,(x)$ $X$ $\operatorname {Ai}\,(x)$ $\operatorname {Bi}\,(x)$

Expresii asimptotice

Când tindeți spre [7] : $X,$ $+\infty$

{\begin{aliniat}\mathrm {Ai} \,(x)&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}} }{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} \,(x)&{}\sim {\frac {e^{{\frac { 2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}

{\begin{aliniat}\mathrm {Ai} \,(-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+ {\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} \,(-x)&{} \sim {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}({\sqrt {\pi }} \,x^{1/4}}}.\end{aliniat}}

Argument complex

Funcția Airy poate fi extinsă la planul complex prin formulă

\mathrm {Ai} \,(z)\,=\,{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}\exp \left({\frac {t^ {3}}{3}}-zt\right)\,dt\,,

unde integrala este luată de-a lungul unui contur care începe într-un punct la infinit cu un argument și se termină într-un punct la infinit cu un argument . Se poate merge în sens invers, folosind ecuația diferențială pentru a extinde la și până la funcții întregi din planul complex. $C,$ $-{\dfrac {\pi }{3))$ ${\dfrac {\pi }{3)}$ $y''-xy=0$ $\mathrm {Ai} \,(x)$ $\mathrm {Bi} \,(x)$

Formula asimptotică pentru rămâne valabilă în plan complex dacă luăm valoarea principală și nu ne aflăm pe semiaxa reală negativă. Formula pentru este adevărată dacă x se află în sectorul pentru unele pozitive . Formulele pentru și sunt valide dacă x se află în sectorul . $\mathrm {Ai} \,(x)$ $x^{2/3}$ $X$ $\mathrm {Bi} \,(x)$ $\left\{x\in \mathbb {C} \,:\,|{\text{arg}}\,x|<{\frac {\pi -\delta }{3}}\right\ }$ $\delta$ $\mathrm {Ai} \,(-x)$ $\mathrm {Bi} \,(-x)$ $\left\{x\in \mathbb {C} \,:\,|{\text{arg}}\,x|<{\frac {2(\pi -\delta )}{3}} \dreapta\}$

Din comportamentul asimptotic al funcțiilor Airy de primul și al doilea fel rezultă că ambele au infinit de zerouri pe semiaxa reală negativă. O funcție din plan complex nu are alte zerouri, iar o funcție are infinite de zerouri în sectorul . $\mathrm {Ai} \,(x)$ $\mathrm {Bi} \,(x)$ $\left\{z\in \mathbb {C} \,:\,{\frac {\pi }{3}}<|{\text{arg}}\,z|<{\frac {\ pi }{2}}\right\}$

Relația cu alte funcții speciale

Pentru valorile argumentelor pozitive, funcțiile Airy sunt legate de funcțiile Bessel modificate :

{\begin{aliniat}\mathrm {Ai} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}x }}\,K_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\,,\\\mathrm {Bi} \,(x)\, =\,{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\ dreapta)+I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right)\,.\end{aligned}}

unde I ±1/3 și K 1/3 sunt soluții ale ecuației . $x^{2}y''+xy'-(x^{2}+1/9)y=0$

Pentru valorile negative ale argumentului, funcțiile Airy sunt legate de funcțiile Bessel :

{\begin{aliniat}\mathrm {Ai} \,(-x)\,=\,{\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left(J_{1/3 }\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/ 2}\dreapta)\dreapta)\,,\\\mathrm {Bi} \,(-x)\,=\,{\sqrt ({\frac {1}{3}}x}}\left(J_ {-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x ^{3/2}\dreapta)\dreapta)\,.\end{aliniat}}

unde J ±1/3 sunt soluții ale ecuației . $x^{2}y''+xy'+(x^{2}-1/9)y=0$

Funcțiile Scorer sunt soluții ale ecuației și pot fi exprimate și în termenii funcțiilor Airy: $y''-xy=1/\pi .$

{\begin{aliniat}\mathrm {Gi} \,(x)\,=\,\mathrm {Bi} (x)\int \limits _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int \limits _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt\,,,\\\mathrm {Hi} \,( x)\,=\,\mathrm {Bi} (x)\int \limits _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\ int \limits _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt\,.\end{aligned}}

Vezi și

Fascicul Aerisit

Note

↑ 1 2 3 Fedoryuk M. V. . Funcții aerisite // Enciclopedia matematică. T. 5 / Ch. ed. I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia sovietică , 1985. Copie de arhivă din 17 noiembrie 2020 la Wayback Machine - 1248 stb. - Stb. 939-941.
↑ Popov și Tesler, 1984 , p. 381-382.
↑ Vallee O., Soares M. . Funcții aerisite și aplicații la fizică . - Londra: Imperial College Press , 2004. - x + 194 p. — ISBN 1-86094-478-7 . Arhivat 10 iunie 2016 la Wayback Machine - P. 4.
↑ 1 2 Airy Function Ai: Introducere în funcțiile Airy . // Site-ul Wolfram Functions. Data accesului: 12 februarie 2016. Arhivat din original pe 3 iunie 2016. (nedefinit)
↑ Popov și Tesler, 1984 , p. 385.
↑ Landau și Lifshitz, 1974 , p. 736.
↑ 1 2 Popov și Tesler, 1984 , p. 386.

Literatură

Landau L. D. , Lifshitz E. M. . Mecanica cuantică. teorie nerelativista. a 3-a ed. — M .: Nauka , 1974. — 752 p. - (Fizica teoretică, vol. III).
Popov B. A., Tesler G. S. . Calculul funcțiilor pe un computer: un manual. - Kiev: Naukova Dumka , 1984. - 599 p.
Aerisit G.B. Despre intensitatea luminii în vecinătatea unei caustice // Transactions of the Cambridge Philosophical Society , 1838, 6 . - P. 379-402.
Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice / Ed. de M. Abramowitz şi I. A. Stegun. - New York: Academic Press , 1954. - xiv + 1046 p. (legătură moartă) (vezi § 10.4) .
Olver F.W.G. Capitolul 11. Ecuații diferențiale cu un parametru: Puncte de cotitură // Asimptotice și funcții speciale. - New York: Academic Press , 1974. - xvi + 571 p. — (Informatica și Matematică Aplicată). - P. 392-434.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Airy Functions (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
(downlink din 02-10-2015 [2579 zile]) Capitolul AI: Funcții aerisite și conexe în Biblioteca digitală de funcții matematice .