Temperament Egal

Temperament egal , temperament egal ( germană gleichschwebende Temperatur, gleichschwebende Stimmung ) este o scară muzicală temperată în care fiecare octavă este împărțită în intervale egale din punct de vedere matematic , în cel mai tipic caz, în douăsprezece semitonuri , fiecare dintre ele egal . O astfel de structură domină muzica profesională europeană (academică și pop) din secolul al XVIII-lea până în zilele noastre. Un avantaj important al temperamentului egal este capacitatea de a transpune o piesă la un interval arbitrar. ${\sqrt[ {12}]{2}}$

Contur istoric

Sistemul de temperament egal a apărut în contextul căutării de către oamenii de știință de diferite specialități a sistemului „ideal” pentru muzică. Din punct de vedere istoric, scalele anterioare pure și medii nu permiteau transpunerea și modularea în tonuri îndepărtate fără disonanță acustică ascuțită care să apară în armoniile consoane - în primul rând în triade și inversiunile acestora.

Predecesorul imediat al scalei de temperament egal în Europa a fost scala „bine temperată” - o familie de temperamente inegale care a făcut posibilă cântarea cu mai mult sau mai puțin succes (cu grade diferite de „puritate acustică”) în oricare dintre chei. Unul dintre teoreticienii și propagandiștii [1] ai unui astfel de sistem a fost Andreas Werkmeister . Mulți cercetători împărtășesc opinia că Clavierul bine temperat de Johann Sebastian Bach , care este bine familiarizat cu lucrările lui Werkmeister, a fost scris pentru instrumente cu un temperament atât de inegal [2] .

Este imposibil de precizat cu certitudine cine anume a „inventat” temperamentul egal. Printre primii săi teoreticieni se numără Heinrich Grammateus (1518), Vincenzo Galilei (1581) și Maren Mersenne . Simon Stevin în lucrarea sa „Despre teoria artei cântului” (c. 1585) a dat un calcul precis din punct de vedere matematic al temperamentului egal. Scrisă în limba maternă a lui Stevin (flamandă), opera sa nu a primit răspuns; Faima postumă a venit lui Stevin 300 de ani mai târziu, în 1884, când a fost publicat și apoi tradus în alte limbi.

Unul dintre primii autori care a oferit o justificare teoretică pentru temperamentul egal în 12 trepte a fost prințul chinez Zhu Zaiyu (朱載堉), într-un tratat din 1584 [3] . Cu toate acestea, ce semnificație istorică au avut calculele prințului pentru tradiția muzical-teoretică occidentală este necunoscută.

Noua ordine a avut oponenții săi (cum ar fi Giuseppe Tartini ) și propagandiștii săi (cum ar fi Johann Georg Neidhardt ). Sistemul de temperament egal a provocat abateri de la puritatea acustică („naturală”) a consonanțelor, ca urmare, au apărut bătăi mici în ele. Potrivit unora, aceste încălcări ale purității au fost o pierdere minoră, mai ales având în vedere noile oportunități pe care o astfel de acordare le-a oferit dezvoltării armoniei tonale . Alții au văzut pierderea purității „naturale” ca un atac la „puritatea” muzicii.

Inconsecvența criteriilor estetice (puritatea naturală versus libertatea de modulare și transpunerea nelimitată ) a fost reflectată în scrierile teoreticienilor muzicii. Așadar, Werkmeister a susținut că în noul acord toate acordurile (în primul rând s-au înțeles triadele) dobândesc o simetrie monotonă, în timp ce în acordurile „bune” fiecare acord avea propriul său sunet (acustic) unic. Pe de altă parte, în tratatul său de mai târziu Musikalische Paradoxal-Discourse (1707), într-o polemică cu Neidhardt, el și-a apărat prioritatea în „inventarea” temperamentului egal. Încă din secolul al XVIII-lea, ideea de desfășurare liberă a tonalității a prevalat asupra ideii de puritate naturală „acustică”. În muzica academică și pop, temperamentul egal a primit recunoaștere la nivel mondial și a devenit standardul de facto al sistemului muzical.

Calculul frecventelor sunetelor

Puteți calcula matematic frecvențele pentru întreaga scară folosind formula:

f(i)=f_{0}\cdot 2^{{i/12}}

unde f 0 este frecvența diapazonului (de exemplu , La 440 Hz), iar i este numărul de semitonuri din intervalul de la sunetul studiat la standardul f 0 .

Secvența de frecvențe calculate în acest fel formează o progresie geometrică :

de exemplu, puteți calcula frecvența sunetului pe ton (2 semitonuri ) mai jos de la diapazon La - note sol :

i=-2

f(-2)=440\,{\mathrm {Hz}}\cdot 2^{{-2/12}}\aproximativ {391.995}\,{\mathrm {Hz}}

dacă trebuie să calculați frecvența notei Sol, dar cu o octavă (12 semitonuri ) mai mare:

i=12-2=10

f(10)=440\,{\mathrm {Hz}}\cdot 2^{{10/12}}\aproximativ {783.991}\,{\mathrm {Hz}}

Frecvențele celor două note G rezultate diferă cu un factor de doi, rezultând o octavă pură.

Comparație cu acordarea naturală

O scară de temperament egal poate fi afișată ca valori ale intervalului în cenți :

Ton	C1 _	C♯ _	D	D♯	E	F	F♯ _	G	G♯ _	A	A ♯	B	C2 _
Cent	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1100	1200

Următorul tabel arată diferențele cantitative dintre intervalele egale de temperament și intervalele naturale:

Interval	Intervale temperate egale	intervale naturale	Diferența de cent
Prima	${\sqrt[{12}]{2^{0)}}=1=0\,$ cenți	${\frac {1}{1}}=1=0\,$ cenți	0
secundă minoră	${\sqrt[{12}]{2^{1}}}={\sqrt[{12}]{2}}\aproximativ 1{,}059463=100\,$ cenți	${\frac {16}{15}}\aprox 1{,}066667\aprox 111{,}73\,$ cenți	−11,73
secunda majoră	${\sqrt[{12}]{2^{2}}}={\sqrt[{6}]{2}}\aproximativ 1{,}122462=200\,$ cenți	${\frac {9}{8}}=1{,}125\aprox 203{,}91\,$ cenți	−3,91
a treia minoră	${\sqrt[{12}]{2^{3}}}={\sqrt[{4}]{2}}\aproximativ 1{,}189207=300\,$ cenți	${\frac {6}{5}}=1{,}2\aproximativ 315{,}64\,$ cenți	−15,64
a treia majoră	${\sqrt[{12}]{2^{4}}}={\sqrt[{3}]{2}}\aproximativ 1{,}259921=400\,$ cenți	${\frac {5}{4}}=1{,}25\aprox 386{,}31\,$ cenți	13.69
Quart	${\sqrt[{12}]{2^{5}}}={\sqrt[{12}]{32}}\aproximativ 1{,}334840=500\,$ cenți	${\frac {4}{3}}\aprox 1{,}333333\aprox 498{,}04\,$ cenți	1,96
Triton	${\sqrt[{12}]{2^{6}}}={\sqrt {2}}\aprox 1{,}414214=600\,$ cenți	${\frac {45}{32}}\aprox 1{,}406250\aprox 590{,}22\,$ cenți	9,78
Quint	${\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\sqrt[{12}]{128}}\aproximativ 1{,}498307=700\,$ cenți	${\frac {3}{2}}=1{,}5\aproximativ 701{,}96\,$ cenți	−1,96
A șasea minoră	${\sqrt[{12}]{2^{8}}}={\sqrt[{3}]{4}}\aproximativ 1{,}587401=800\,$ cenți	${\frac {8}{5}}=1{,}6\aproximativ 813{,}69\,$ cenți	−13,69
A șasea majoră	${\sqrt[{12}]{2^{9}}}={\sqrt[{4}]{8}}\aproximativ 1{,}681793=900\,$ cenți	${\frac {5}{3}}\aprox 1{,}666667\aprox 884{,}36\,$ cenți	15.64
A șaptea minoră	${\sqrt[{12}]{2^{10}}}={\sqrt[{6}]{32}}\aproximativ 1{,}781797=1000\,$ cenți	${\frac {16}{9}}\aprox 1{,}777778\aprox 996{,}09\,$ cenți	3,91
A șaptea grozavă	${\sqrt[{12}]{2^{11}}}={\sqrt[{12}]{2048}}\aproximativ 1{,}887749=1100\,$ cenți	${\frac {15}{8}}=1{,}875\aprox 1088{,}27\,$ cenți	11.73
Octavă	${\sqrt[{12}]{2^{12))}=2=1200\,$ cenți	${\frac {16}{8}}=2=1200\,$ cenți	0

Frecvențe estimate pentru clape de pian

Note

Valorile frecvenței sunt calculate pe baza frecvenței standard a diapazonului la 1 = 440 Hz.
Pentru fenomenul de egalitate inexactă între frecvențele calculate și reale ale unui pian acordat (extinderea intervalelor la marginile intervalului), vezi Curbe Railsback .

Subcontractave

Acoperă sunete cu frecvențe de la 16,352 Hz (inclusiv) la 32,703 Hz. Numele pașilor sunt scrise cu majuscule și numărul 2 (sau două linii) este pus în dreapta jos. În notația științifică, are numărul 0.

Numărul pasului	Frecvență, Hz	Notarea silabică după Helmholtz	Desemnarea literei conform Helmholtz	Notație americană	Notarea frecventei de coordonate
unu	16.352	Până la 2	C2 _	C0	-52
2	18.354	Re 2	D2 _	D0	-cincizeci
3	20.602	Mi 2	E 2	E0	-48
patru	21.827	Fa 2	F2 _	F0	-47
5	24.500	Sarea 2	G2 _	G0	-45
6	27.500	La 2	A2 _	A0	-43
7	30.868	C 2	H2 _	B0	-41

Controctave

Acoperă sunete cu frecvențe de la 32,703 Hz (inclusiv) la 65,406 Hz. Numele pașilor sunt scrise cu majuscule, iar în dreapta jos este pus numărul 1 (sau o singură lovitură). Este numărul 1 în notația științifică.

Numărul pasului	frecventa Hz	Notarea silabică după Helmholtz	Desemnarea literei conform Helmholtz	Notație americană	Notarea frecventei de coordonate
unu	32.703	Până la 1	C1 _	C1	-40
2	36.708	Re 1	D1 _	D1	-38
3	41.203	Mi 1	E 1	E1	-36
patru	43.654	Fa 1	F1 _	F1	-35
5	48.999	Sol 1	G1 _	G1	-33
6	55.000	La 1	A 1	A1	-31
7	61.735	C 1	H1 _	B1	-29

Octava majoră

Acoperă sunete cu frecvențe de la 65,406 Hz (inclusiv) la 130,81 Hz. Numele pașilor sunt scrise cu majuscule, fără numere sau linii suplimentare. Este numărul 2 în notație științifică.

Numărul pasului	frecventa Hz	Notarea silabică după Helmholtz	Desemnarea literei conform Helmholtz	Notație americană	Notarea frecventei de coordonate
unu	65.406	Inainte de	C	C2	-28
2	73.416	Re	D	D2	-26
3	82.406	Mi	E	E2	-24
patru	87.307	F	F	F2	-23
5	97.999	Sare	G	G2	-21
6	110.00	La	A	A2	-19
7	123,47	Xi	H	B2	-17

Octava mică

Acoperă sunete cu frecvențe de la 130,81 Hz (inclusiv) la 261,63 Hz. Numele pașilor sunt scrise cu o literă mică, fără numere sau linii suplimentare. Este numărul 3 în notație științifică.

Numărul pasului	frecventa Hz	Notarea silabică după Helmholtz	Desemnarea literei conform Helmholtz	Notație americană	Notarea frecventei de coordonate
unu	130,81	inainte de	c	C3	-16
2	146,83	re	d	D3	-paisprezece
3	164,81	mi	e	E3	-12
patru	174,61	F	f	F3	-unsprezece
5	196.00	sare	g	G3	-9
6	220.00	la	A	A3	-7
7	246,94	si	h	B3	-5

Prima octava

Include sunete cu frecvențe de la 261,63 Hz (inclusiv) la 523,25 Hz. Numele pașilor sunt scrise cu o literă mică, în dreapta sus este scris numărul 1 (sau o singură lovitură). În notația științifică, este numărul 4.

Numărul pasului	frecventa Hz	Notarea silabică după Helmholtz	Desemnarea literei conform Helmholtz	Notație americană	Notarea frecventei de coordonate
unu	261,63	pana la 1	c 1	C4	-patru
2	293,67	re 1	d1 _	D4	-2
3	329,63	mi 1	e 1	E4	-0
patru	349,23	fa 1	f1 _	F4	+0
5	392,00	sare 1	g 1	G4	+2
6	440,00	la 1	a 1	A4	+4
7	493,88	si 1	h1 _	B4	+6

Octava a doua

Include sunete cu frecvențe de la 523,25 Hz (inclusiv) la 1046,5 Hz. Numele pașilor sunt scrise cu o literă mică, numărul 2 (sau două linii) este scris în dreapta sus. Este numărul 5 în notație științifică.

Numărul pasului	frecventa Hz	Notarea silabică după Helmholtz	Desemnarea literei conform Helmholtz	Notație americană	Notarea frecventei de coordonate
unu	523,25	pana la 2	c 2	C5	+7
2	587,33	re 2	d2 _	D5	+9
3	659,26	mi 2	e 2	E5	+11
patru	698,46	fa 2	f2 _	F5	+12
5	783,99	sare 2	g2 _	G5	+14
6	880,00	la 2	a 2	A5	+16
7	987,77	si 2	h2 _	B5	+18

Octava a treia

Include sunete cu frecvențe de la 1046,5 Hz (inclusiv) la 2093,0 Hz. Numele pașilor sunt scrise cu o literă mică, numărul 3 (sau trei linii) este scris în dreapta sus. În notația științifică, are numărul 6.

Numărul pasului	frecventa Hz	Notarea silabică după Helmholtz	Desemnarea literei conform Helmholtz	Notație americană	Notarea frecventei de coordonate
unu	1046,5	pana la 3	c 3	C6	+19
2	1174,7	re 3	d3 _	D6	+21
3	1318,5	mi 3	e 3	E6	+23
patru	1396,9	fa 3	f 3	F6	+24
5	1568,0	sare 3	g 3	G6	+26
6	1760,0	la 3	a 3	A6	+28
7	1975.5	si 3	h 3	B6	+30

Octava a patra

Include sunete cu frecvențe de la 2093,0 Hz (inclusiv) la 4186,0 Hz. Numele pașilor sunt scrise cu o literă mică, numărul 4 (sau patru linii) este scris în dreapta sus. Este numărul 7 în notație științifică.

Numărul pasului	frecventa Hz	Notarea silabică după Helmholtz	Desemnarea literei conform Helmholtz	Notație americană	Notarea frecventei de coordonate
unu	2093,0	pana la 4	c 4	C7	+31
2	2349,3	re 4	d4 _	D7	+33
3	2637,0	mi 4	e 4	E7	+35
patru	2793,8	fa 4	f4 _	F7	+36
5	3136,0	sare 4	g4 _	G7	+38
6	3520,0	la 4	a 4	A7	+40
7	3951.1	si 4	h 4	B7	+42

Octava a cincea

Include sunete cu frecvențe de la 4186,0 Hz (inclusiv) la 8372,0 Hz. În notația Helmholtz, numele pașilor sunt scrise cu o literă mică, numărul 5 (sau cinci linii) este scris în dreapta sus. Este numărul 8 în notație științifică.

Numărul pasului	frecventa Hz	Notarea silabică după Helmholtz	Desemnarea literei conform Helmholtz	Notație americană	Notarea frecventei de coordonate
unu	4186,0	pana la 5	de la 5	C8	+43
2	4698,6	re 5	d5 _	D8	+45
3	5274,0	mi 5	e 5	E8	+47
patru	5587,7	fa 5	f5 _	F8	+48
5	6271,9	sare 5	g5 _	G8	+50
6	7040,0	la 5	un 5	A8	+52
7	7902.1	si 5	h 5	B8	+54

Variante de temperament egal

Temperamentul egal (RT) cel mai comun și răspândit este cel în 12 trepte (informația dată mai sus era cea care îi corespundea).

Există însă și variante de temperament egal cu un număr diferit de diviziuni ale octavei ( n ). În acest caz, formula pentru frecvențe este modificată în

f(i)=f_{0}\cdot 2^{i/n)

Pentru a scrie mai scurt expresia „ n -stage RT” se introduce abrevierea „ n -tRT” , unde numarul n corespunde numarului de pasi pe octava. Există piese muzicale scrise în 19-tRT [4] , 24-tRT, 31-tRT [5] și chiar 53-tRT [6] . La începutul secolului XXI, P. A. Chernobrivets lucrează la studiul temperamentului egal în 20 de trepte [7] .

Alegerea valorii n = 12 ca principală se datorează faptului că, pentru sunetul clar acustic al lucrărilor muzicale polifonice, este deosebit de importantă sunetul pur al cvintelor (ca cea mai „consoană”, în afară de octavă, intervale). ), iar în mod ideal, raportul de frecvență al notelor care formează a cincea ar trebui să fie egal cu 3/2. Cu RT, „a cincea” pentru fiecare n corespunde unui astfel de număr k care , și este posibil să se verifice prin enumerare că pentru n = 12 (cu k = 7 este cel mai apropiat număr întreg de ln(3/2)/ln( 2) n ) cea mai bună aproximare se realizează decât pentru n mai mic sau puțin mai mare (ar fi mai precis pentru n = 41 sau n = 53, dar n prea mare este incomod din punct de vedere practic) [8] . $2^{k/n}\aprox 3/2$

Temperamentele egale pot împărți și un alt interval, nu doar o octavă, într-un număr întreg de pași egali. Pentru a evita ambiguitatea, în literatura engleză, de exemplu, expresia „equal divides of an octave” sau forma sa scurtă EDO este utilizată pe scară largă. În rusă, expresia „diviziuni egale ale octavei” sau RDO transmite același sens. Prin urmare, 12-tRT poate fi denumit și 12RDO, 19-tRT ca 19RDO și așa mai departe [9] .

Temperament egal și alte acorduri

Alături de sistemul de temperare uniform dominant acum, existau și alte sisteme. Savantul rus în muzică din secolul al XIX-lea Vladimir Odoevski , de exemplu, a scris:

Cântă foarte fidel un om de rând rus cu talent muzical, a cărui ureche nu a fost încă stricată de ghilele de stradă sau de opera italiană; și, după propriul său instinct, ia intervalul foarte distinct, desigur, nu în scara noastră urâtă temperată <...> am înregistrat-o din vocea [celebrului nostru cântăreț rus Ivan Evstratievich Molchanov, un om cu o minunată organizare muzicală] un cântec foarte interesant: „La Trinity, la Sergius, era lângă Moscova” <…> am observat că Si -ul cântăreței nu se potrivește în niciun fel cu pianul meu Si ; și Molchanov a observat și că ceva nu era în regulă aici <...> Acest lucru m-a condus la ideea de a aranja un pian netemperat într-un astfel de sistem ca unul obișnuit. Am luat ca bază gama naturală calculată prin logaritmi acustici folosind metoda Prony; în această clavicină enarmonică toate cvintele sunt pure, dièsele marcate cu roșu sunt separate de bemol și, din cauza unei imposibilități în mecanismul instrumentului în sine, am sacrificat fa $\apartament$ și ut $\apartament$ pentru a păstra si $\sharp$ și mi $\sharp$ , deoarece cântăreții noștri populari. - dintr-un motiv oarecare nu înțeleg, cântă mai mult în tonuri ascuțite decât plate

— V. F. Odoevski [10]

O mișcare de amploare a muzicienilor autentici practică reproducerea muzicii din trecut în acordurile în care a fost scrisă muzica pe care o cântă.

În muzica tradițională non-europeană se păstrează practica folosirii scalelor care diferă de temperamentul egal – în toate genurile și formele puternicei tradiții makamo – mugham [11] , precum și în cea indiană [12] , etc.

Note

↑ Vezi Werckmeister A. Musicae mathematicae hodegus curiosus… (1687), Musikalische Temperatur, oder… (1691)
↑ Bach, J.S. JS Bach: The Well-Tempered Clavier (neopr.) / Palmer, Willard A.. - Los Angeles, CA: Alfred Music Publishing, 2004. - P. 4. - ISBN 0882848313 .
↑ Hart R. Quantifying Ritual: Political Cosmology, Courtly Music, and Precision Mathematics in Seventeenth-Century China Arhivat 5 martie 2012.
↑ Nine Preludes for Two Pianas in 19-Tone Temperament Arhivat 26 februarie 2012 la Wayback Machine de Joel
↑ Concertul nr. 2 pentru două viori și orchestră Arhivat la 1 septembrie 2012 la Wayback Machine de Henk Badings , 1969
↑ Scrisoare de la B. Cicovacki către P. Scaruffi Arhivată 14 decembrie 2011 la Wayback Machine :
... Josip Slavensky a scris o lucrare pentru instrumente electronice numită „Music in the Natural Tonal System” (1937). Sunt două părți în ea, prima este scrisă pentru armoniul Bosanquet cu 53 de tonuri pe octava..."

(" ...JOSIP STOLCER SLAVENSKI <...> a compus o compoziție pentru instrumente electronice cu titlul Muzică în natură. Sistem tonal (1937). Include două mișcări: prima mișcare este scrisă pentru enarmoniul Bosanquet cu 53 de tonuri într-o octavă ").
↑ Chernobrivets P. A. Relații sunet-ton și caracteristici ale formării sistemului în condiții de temperament uniform de douăzeci de tonuri. Jurnalul Societății de Teoria Muzicii. Nr 8. 2014/4. . Preluat la 29 iulie 2022. Arhivat din original la 3 martie 2022. (nedefinit)
↑ Voloshinov, A.V. Matematică și artă (cap. 9: „Algebra armoniei – temperamentul”) . - Moscova: Educație , 1992. - ISBN 5090027056 . (Rusă)
↑ I. Aliyeva _ _ _
↑ Odoevski V. F. [„Plebe ruși...”]. Cit. din colecția lui V. F. Odoevski. Moștenire muzicală și literară.- M .: Editura Muzicală de Stat, 1956. - p. 481-482
↑ În știința domestică , acest lucru a fost subliniat, începând de la sfârșitul anilor 1920, de remarcabilul muzicolog și etnograf V. M. Belyaev ; vezi, de exemplu, operele sale: muzica turkmenă. Volumul 1. M., 1928 (cu V. A. Uspensky); Ghid pentru măsurarea instrumentelor muzicale populare, M., 1931; Instrumente muzicale din Uzbekistan, M., 1933; Sisteme de fret în muzica popoarelor URSS // V. M. Belyaev. [Sam. articole]. M.: Sov. compozitor, 1990. Printre publicațiile moderne se numără raportul lui S. Agayeva și Sh. Hajiyev „Despre problemele studierii sistemului de înălțime al mughams-ului azer”. VII Intern. simpozion de cercetare științifică grupul „Makam” la Internațional. Consiliul pentru Trad. muzică UNESCO. Baku. 2011. S. 20-32; vezi și articolul menționat Arhivat 15 ianuarie 2013 pe Wayback Machine a lui I. Aliyeva . Pentru o scurtă trecere în revistă și bibliografie a literaturii străine pe acest subiect, a se vedea O. Wright et al. Muzica arabă. I. Muzică de artă // The New Grove Dictionary of Music and Musicians . Londra, New York, 2001; H. Farhat. Iranul. II. tradiție clasică. 2. Teoria intervalelor și scalelor, 3. Sistemul modal. // ibid. Vezi și „Issam El-Mallah. Muzică și notație muzicală arabă. Hans Schneider Verlag. Tutzing. 2001; S. Marcus. Interfața dintre teorie și practică: intonație în muzica arabă. Muzică asiatică vol. 24, nr. 2 (1993), pp. 39-58; H. Farhat. Scale and Intervals: Theory and Practice, Irish Musical Studies, i (1990), pp. 216-26.
↑ Pentru un rezumat și bibliografie a literaturii străine pe această temă, vezi Powers H. and Widdess R. India, subcontinent of. III. Teoria și practica muzicii clasice. 1. Sisteme tonale // The New Grove Dictionary of Music and Musicians . Londra, New York, 2001.

Literatură

Barbour JM Tuning și temperament: un studiu istoric. East Lansing, 1951; Mineola, 2004;
Lindley M. Laute, viole și temperamente. Cambridge, 1984;
Lindley M. Stimmung und Temperatur // Geschichte der Musiktheorie. bd. 6. Darmstadt, 1987, p. 109-331.
Lindley M., Turner-Smith R. Modele matematice ale scalelor muzicale: O nouă abordare. Bonn, 1993;
Auhagen W. Stimmung und Temperatur // Die Musik in Geschichte und Gegenwart . Sachteil. bd. 8. Kassel; Basel, 1998, Sp. 1831-1847.
Rasch R. Tuning and temperament // Istoria Cambridge a teoriei muzicii occidentale. Cambridge, 2002, p.193-222.

Link -uri

Zubov A. Yu. Temperamentul // Marea Enciclopedie Rusă. T. 32. M., 2016, p. 27

Dicționare și enciclopedii	mare danez Brockhaus și Efron Britannica (online)

scara muzicala
Sistemul pitagoreic acordare naturală Tonul mijlociu Temperament Egal