Fermă privată

În teoria numerelor, câtul Fermat pentru un întreg a ≥ 2 peste o bază simplă p este o fracție [1] [2] [3] [4]

q_{p}(a)={\frac {a^{p-1}-1}{p)).

Dacă a este coprim pentru p , atunci Teorema Mică a lui Fermat afirmă că q p ( a ) va fi un număr întreg. Privat este numit după Pierre de Fermat .

Proprietăți

Din definiţie este evident că

q_{p}(1)\equiv 0{\pmod {p)}

q_{p}(-a)\equiv q_{p}(a){\pmod {p))

În 1850, Gotthold Eisenstein a demonstrat că dacă a și b sunt ambele relativ prime pentru p , atunci: [5]

q_{p}(ab)\equiv q_{p}(a)+q_{p}(b){\pmod {p))

;

q_{p}(a^{r})\equiv rq_{p}(a){\pmod {p))

;

q_{p}(a+p)\equiv q_{p}(a)-{\frac {1}{a}}{\pmod {p}}

;

q_{p}(p-1)\equiv 1{\pmod {p))

;

q_{p}(p+1)\equiv -1{\pmod {p))

Eisenstein a comparat primele două relații cu proprietățile logaritmilor.

Din aceste proprietăți rezultă

q_{p}(1/a)\equiv -q_{p}(a){\pmod {p))

;

q_{p}(a/b)\equiv q_{p}(a)-q_{p}(b){\pmod {p))

În 1895, Dmitri Mirimanov (Dmitri Mirimanoff) a subliniat că aplicarea consecventă a regulilor lui Eisenstein duce la [6]

q_{p}(a+np)\equiv q_{p}(a)-n\cdot {\frac {1}{a}}{\pmod {p}}.

De aici rezultă că [7]

q_{p}(a+np^{2})\equiv q_{p}(a){\pmod {p)).

Ocazii speciale

Eisenstein a descoperit că raportul lui Fermat la baza 2 este comparabil modulo p cu suma reciprocelor numerelor de la 1 la , adică un număr armonic : ${\frac {p-1}{2}}$ $H_{\frac {p-1}{2}}$

-2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {1}{k}}\equiv H_{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}.

Autorii mai recenti au arătat că numărul de elemente dintr-o astfel de reprezentare poate fi redus de la 1/2 la 1/4, 1/5 sau chiar 1/6:

-3q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{4}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\ pmod {p}}.

[opt]

4q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{10}}\ rfloor }{\frac {1}{k}}+\sum _{k=\lfloor {\frac {3p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {4p}{10}} \rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.

[9]

2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{6}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\ rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.

[10] [11]

Complexitatea comparațiilor lui Eisenstein crește pe măsură ce baza parțialelor lui Fermat crește, primele exemple sunt:

-3q_{p}(3)\equiv 2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{ \pmod{p}}.

[12]

-5q_{p}(5)\equiv 4\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+ 2\sum _{k=\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k} }{\pmod{p}}.

[13]

Prime Wieferich generalizate

Dacă q p ( a ) ≡ 0 (mod p ), atunci a p −1 ≡ 1 (mod p 2 ). Primele pentru care acest lucru este adevărat pentru a = 2 se numesc prime de Wieferich . Într-un caz mai general, ele sunt numite prime Wieferich cu o bază primă a. Soluții cunoscute q p ( a ) ≡ 0 (mod p ) pentru a mic : [2]

A	p	secvența OEIS
2	1093, 3511	A001220
3	11, 1006003	A014127
5	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801	A123692
7	5, 491531	A123693
unsprezece	71
13	2, 863, 1747591	A128667
17	2, 3, 46021, 48947, 478225523351	A128668
19	3, 7, 13, 43, 137, 63061489	A090968
23	13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329	A128669

Cea mai mică soluție q p ( a ) ≡ 0 (mod p ) cu a = al n -lea prim

1093, 11, 2, 5, 71, 2, 2, 3, 13, 2, 7, 2, 2, 5, … secvența A174422 în OEIS .

O pereche ( p , r ) de numere prime astfel încât q p ( r ) ≡ 0 (mod p ) și q r ( p ) ≡ 0 ( mod r ) se numește pereche Wieferich .

Note

^ Weisstein , Eric W. Fermat Quotient pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ 1 2 Fermat Quotient la The Prime Glosar
↑ Paulo Ribenboim , 13 Prelegeri despre ultima teoremă a lui Fermat (1979), în special paginile 152, 159-161.
↑ Paulo Ribenboim , My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory (2000), p. 216.
↑ Gotthold Eisenstein , „Neue Gattung zahlentheoret. Funktionen, die v. 2 Elementen abhangen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definit werden,” Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königl. Presa. Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1850, 36-42
↑ Dmitri Mirimanoff , „Sur la congruence ( r p − 1 − 1): p = qr(mod p )," Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895): 295-300
↑ Paul Bachmann , Niedere Zahlentheorie , 2 vol. (Leipzig, 1902), 1:159.
↑ James Whitbread Lee Glaisher , „On the Residues of r p - 1 to Modulus p 2 , p 3 , etc.”, Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 32 (1901): 1-27.
↑ Ladislav Skula, „O notă despre unele relații între sume speciale de reciproce modulo p ”, Mathematica Slovaca 58 (2008): 5-10.
↑ Emma Lehmer, „On Congruences involving Bernoulli Numbers and the Quotients of Fermat and Wilson”, Annals of Mathematics 39 (1938): 350–360, pp. 356 și urm.
^ Karl Dilcher și Ladislav Skula, „Un nou criteriu pentru primul caz al ultimei teoreme a lui Fermat”, Mathematics of Computation 64 (1995): 363-392.
↑ James Whitbread Lee Glaisher , „A General Congruence Theorem relating to the Bernoullian Function”, Proceedings of the London Mathematical Society 33 (1900-1901): 27-56, la pp. 49-50.
↑ Mathias Lerch , „Zur Theorie des Fermatschen Quotienten…”, Mathematische Annalen 60 (1905): 471-490.

Link -uri

Gottfried Helms. Fermat-/Euler-quote ( a p -1 – 1)/ p k cu k arbitrar .
Richard Fischer. Coeficienti Fermat B^(P-1) == 1 (mod P^2) .