A paisprezecea problemă a lui Hilbert

Cea de-a paisprezecea problemă a lui Hilbert  este a paisprezecea dintre problemele puse de David Hilbert în celebra sa cuvântare la cel de -al doilea Congres Internațional al Matematicienilor de la Paris, în 1900. Este dedicat problemei generației finite de inele care apar sub anumite construcții. Setarea originală a lui Hilbert a fost motivată de munca lui Maurer, care a afirmat că algebra invarianților acțiunii liniare a unui grup algebric pe un spațiu vectorial este generată finit; De fapt, întrebarea lui Hilbert se referea la inelul obținut prin intersecția unui subcâmp din domeniul funcțiilor raționale cu un inel polinomial. [unu]

Cu toate acestea, la scurt timp după raport, s-a dovedit că lucrarea lui Maurer conținea o eroare, iar întrebarea lui Hilbert a început să fie considerată o întrebare despre generarea finită de algebre ale invarianților grupurilor algebrice liniare. În mod neașteptat, răspunsul la această întrebare s-a dovedit a fi negativ: în 1958, la un congres din Edinburgh , M. Nagata i-a prezentat un contraexemplu [1] [2] . El a construit [3] un subgrup în GL(n) a cărui algebră invariantă nu este generată finit. Această construcție a fost apoi simplificată [1] de Steinberg în lucrarea sa din 1997 [4] .

Formulări

Formularea originală a lui Hilbert

14. Dovada caracterului finit al unui sistem complet de funcții.

<...> Maurer a reușit recent să extindă teoremele de finitate demonstrate de Jordan și de mine în teoria invarianților la cazul în care invarianții sunt determinați nu de un grup proiectiv general, ca în teoria invariantă obișnuită, ci de subgrupul său arbitrar. <<...>

Să fie dat un număr m de funcții raționale întregi ale variabilelor :

Orice legătură rațională întreagă între , dacă aceste valori sunt introduse în ea, evident, reprezintă și o întreagă funcție rațională a . Totuși, pot exista funcții raționale fracționale ale lui , care, după înlocuirea (S), vor conduce la funcții întregi ale lui . Voi numi fiecare astfel de funcție <...> o funcție relativ întreagă a . <...> Problema, așadar, se exprimă în următoarele: să se stabilească dacă este întotdeauna posibil să se găsească un astfel de sistem finit în raport cu funcții întregi ale lui , prin care orice altă funcție relativ întreagă este exprimată integral și rațional. cale. <<...> [5]

Cu alte cuvinte, aceasta este întrebarea generației finite a algebrei , unde  este câmpul generat . Deoarece fiecare câmp intermediar este generat finit ca o extensie a lui k, în cele din urmă, în limbajul modern, formularea originală a lui Hilbert sună astfel:

Fie  un câmp care conține câmpul principal k. Este adevărat că o algebră este generată finit? [unu]

Generarea finită a algebrei invarianților

Literatură

1. ↑ 1 2 3 4 Note ale cursului lui I. Arzhantsev „ Algebrele invarianților și problema a 14-a Hilbert ”
2. ↑ Dieudonné J. , Carroll J., Mumford D. Geometric invariant theory. - M., Mir, 1974. - c. 74-81
3. ↑ M. Nagata, Prelegeri despre a Paisprezecea problemă a lui Hilbert. Institutul Tata, 1965.
4. ↑ R. Steinberg, exemplul lui Nagata. În: Grupuri algebrice Lie Groups, Austral. Matematică. soc. Lect. Seria 9 Cambr. University Press (1997), 375-384.
5. ↑ Traducerea raportului lui Hilbert din germană - M. G. Shestopal și A. V. Dorofeev , publicat în cartea Problemele lui Hilbert / ed. P. S. Alexandrova . - M . : Nauka, 1969. - S. 45-47. — 240 s. — 10.700 de exemplare. Copie arhivată (link indisponibil) . Consultat la 27 martie 2010. Arhivat din original la 17 octombrie 2011. (nedefinit) 

• I. V. Arzhantsev. Algebre gradate și a 14-a problemă a lui Hilbert. - M. : MTSNMO, 2009. - 64 p. - 1000 de exemplare.  - ISBN 978-5-94057-491-0 .
• Problemele lui Hilbert / ed. P. S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 p. — 10.700 de exemplare. Arhivat pe 17 octombrie 2011 la Wayback Machine