A treisprezecea problemă a lui Hilbert

A treisprezecea problemă a lui Hilbert  este una dintre cele 23 de probleme pe care David Hilbert le-a propus la 8 august 1900 la al II-lea Congres Internațional al Matematicienilor . A fost motivat de aplicarea metodelor nomografice la calculul rădăcinilor ecuațiilor de grade înalte și a vizat reprezentabilitatea funcțiilor mai multor variabile, în special, soluția unei ecuații de gradul șapte în funcție de coeficienți, ca o suprapunere a mai multor funcţii continue a două variabile.

Problema a fost rezolvată de V. I. Arnold împreună cu A. N. Kolmogorov , care au demonstrat că orice funcție continuă a oricărui număr de variabile poate fi reprezentată ca o suprapunere de funcții continue a unei și două variabile (și, în plus, că o astfel de reprezentare poate fi dispensată de , pe lângă funcțiile continue ale unei variabile, singura funcție a două variabile - adunarea ): [1] [2]

Funcțiile și , fără a număra cele zero, necesită cel mult 15, pentru trei variabile, nu mai mult de 28.

Enunțul problemei

Ecuațiile de grade până la gradul al patrulea inclusiv sunt rezolvabile în radicali : există formule explicite pentru soluțiile lor ( formula Cardano și metoda Ferrari pentru ecuațiile de gradul al treilea și, respectiv, al patrulea). Pentru ecuațiile de grade, începând cu a cincea, insolubilitatea lor în radicali este afirmată de teorema Abel-Ruffini . Cu toate acestea, transformările Tschirnhaus fac posibilă reducerea ecuației generale de grad n>4 la o formă lipsită de coeficienți la , și ; pentru n=5 acest rezultat a fost obținut de Bring în 1786 , iar pentru cazul general de Gerard în 1834 . [3] . Astfel (după renormalizare suplimentară), soluția ecuațiilor de gradele 5, 6 și 7 a fost redusă la rezolvarea ecuațiilor de forma

în funcție de unul, doi și, respectiv, trei parametri.

Nereprezentabilitatea cu păstrarea clasei de netezime

Rezolvare: teoremele lui Kolmogorov și Arnold

Literatură

1. ↑ V. I. Arnold, Selected-60, M.: Fazis, 1997. P. 18, Teorema 4.
2. ↑ Despre o demonstrație constructivă a teoremei de suprapunere a lui Kolmogorov (downlink) . Data accesului: 21 septembrie 2010. Arhivat din original pe 4 martie 2016. (nedefinit) 
3. ^ Weisstein , Eric W. Tschirnhausen Transformation  pe site- ul Wolfram MathWorld .

• V. I. Arnold. Favorite-60. - M. : Fazis, 1997.
• V. I. Arnold. Despre reprezentarea funcţiilor continue a trei variabile prin suprapuneri de funcţii continue a două variabile  // Matem. Sâmbătă - 1959. - T. 48 (90) , Nr. 1 . - S. 3-74 .
• A. N. Kolmogorov. Despre reprezentarea funcțiilor continue ale mai multor variabile ca suprapuneri de funcții continue ale unei variabile și adunare // DAN SSSR. - 1957. - T. 114 , nr. 5 . - S. 953-956 .
• A. G. Vituşkin. A 13-a problemă a lui Hilbert și probleme conexe  // Uspekhi Mat . - 2004. - T. 59 , nr. 1 (355) . — S. 11–24 .
• V. V. Prasolov . Polinoame . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 p. — ISBN 5-94057-077-1 .
• V. I. Arnold. Invarianții topologici ai funcțiilor algebrice. II  // Funct. analiza şi aplicaţiile acesteia.- 1970. - Problema. 2 , nr. 4 . - S. 1-9 .
• V. I. Arnold. Despre clasele de coomologie ale funcţiilor algebrice păstrate sub transformările Tschirnhausen  // Funct. analiza şi aplicaţiile acesteia.- 1970. - Problema. 1 , nr 4 . - S. 84-85 .
• G. N. Chebotarev. Despre problema rezolvată  // Uchen. aplicația. Kazan. stat universitate - 1954. - T. 114 , nr 2 . - S. 189-193 .
• Problemele lui Hilbert / ed. P. S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 p. — 10.700 de exemplare. Arhivat pe 17 octombrie 2011 la Wayback Machine
• David Hilbert . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900  (germană)  (link inaccesibil) . — Textul raportului citit de Hilbert la 8 august 1900 la al II-lea Congres Internaţional al Matematicienilor de la Paris. Consultat la 27 august 2009. Arhivat din original la 8 aprilie 2012.