A șaptea problemă a lui Hilbert

A șaptea problemă a lui Hilbert  este una dintre cele 23 de probleme pe care David Hilbert le-a propus la 8 august 1900 la al II-lea Congres Internațional al Matematicienilor . Problema este legată de demonstrarea și studiul transcendenței și iraționalității unor numere.

Enunțul problemei

Mai jos este un extras din raportul lui Hilbert [1] dedicat celei de-a șaptea probleme.

Teoremele funcției exponențiale aritmetice ale lui Hermite și dezvoltarea lor de către Lindemann vor rămâne fără îndoială uimitoare pentru matematicienii din toate generațiile. Dar acum se pune problema - să mergem mai departe pe calea pavată, așa cum a făcut deja Hurwitz în cele două studii interesante ale sale „Despre proprietățile aritmetice ale anumitor funcții transcendentale” [2] . Prin urmare, aș dori să subliniez clasa de probleme care, în opinia mea, ar trebui considerate ca fiind cele mai apropiate în această direcție. Când aflăm că anumite funcții transcendentale speciale , care joacă un rol esențial în analiză , iau valori algebrice pentru anumite valori algebrice ale argumentului, atunci această împrejurare ni se pare deosebit de surprinzătoare și demnă de studiat în continuare. Ne așteptăm întotdeauna ca funcțiile transcendentale să ia, în general vorbind, valori transcendentale pentru valorile algebrice ale argumentelor și, deși suntem bine conștienți că există chiar și astfel de funcții transcendentale întregi care iau valori raționale pentru toate valorile algebrice . a argumentului, considerăm încă foarte probabil ca o astfel de funcție ca, de exemplu, exponențială , care, evident, pentru toate valorile raționale ale argumentului ia valori algebrice, pe de altă parte, va lua întotdeauna valori transcendentale pentru toate valorile iraționale algebrice. Această afirmație poate primi, de asemenea, o formă geometrică, după cum urmează. Dacă într-un triunghi isoscel raportul dintre unghiul de la bază și unghiul de la vârf este un număr algebric, dar nu rațional, atunci raportul dintre bază și latură este un număr transcendental . În ciuda simplității acestei propoziții, precum și a asemănării sale cu problemele rezolvate de Hermite și Lindemann, demonstrarea ei mi se pare extrem de dificilă, precum și dovada că gradul unei baze algebrice și al unui exponent algebric irațional  - cum ar fi un număr sau  - există întotdeauna fie un număr transcendental, fie cel puțin unul irațional. Se poate fi sigur că rezolvarea acestei probleme și a unor probleme similare ar trebui să ne conducă la noi puncte de vedere asupra esenței numerelor speciale iraționale și transcendentale [3] .

Soluție

Hilbert însuși a considerat a șaptea problemă foarte dificilă. Karl Siegel îl citează pe Hilbert [4] , în care el atribuie timpul de rezolvare a celei de-a șaptea probleme mult mai departe decât demonstrarea ipotezei Riemann și a teoremei lui Fermat .

Cu toate acestea, o soluție parțială legată de transcendența raportului dintre baze și latura laterală a unui triunghi isoscel a fost obținută de A. O. Gelfond deja în 1929 [5] , iar transcendența numărului a fost dovedită de R. O. Kuzmin în 1930 [6] ] . În 1934, Gelfond a obținut soluția finală a problemei [7] : a demonstrat că un număr de forma unde  este un număr algebric altul decât și a  este un număr algebric irațional este întotdeauna transcendental [8] (numărul a primit chiar mai târziu numele constantei lui Gelfond ). Puțin mai târziu, soluția a fost obținută și de Theodor Schneider [9] .

Note

1. ↑ Hilbert, David .   Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900  (germană)  (link inaccesibil) . — Textul raportului citit de Hilbert la 8 august 1900 la al II-lea Congres Internaţional al Matematicienilor de la Paris. Consultat la 27 august 2009. Arhivat din original la 8 aprilie 2012.
2. ↑ Hurwitz, Adolf .  Über arithmetische Eigenschaften gewisser transscendenten Functionen  (germană)  // Mathematische Annalen . - Berlin: Springer, 1883. - Bd. 22 , nr. 2 . - S. 211-229 .  (link indisponibil)
3. ↑ Traducerea raportului lui Hilbert din germană - M. G. Shestopal și A. V. Dorofeev , publicat în cartea Hilbert's Problems / Ed. P. S. Alexandrova . - M . : Nauka, 1969. - S. 36-37. — 240 s. — 10.700 de exemplare. Arhivat pe 17 octombrie 2011 la Wayback Machine
4. ↑  Siegel C.L. Numerele transcendentale . - Princeton: Princeton University Press, 1949. - Vol. 16. - 102 p. - (Anale de studii de matematică). — ISBN 0-691-09575-2 . Arhivat 12 noiembrie 2012 la Wayback Machine  - P. 84.
5. ↑ Gelfond A.  Sur les nombres transcendants  (franceză)  // Comptes Rendus de l'Académie des sciences. - Paris, 1929. - Vol. 189 . - P. 1224-1228 .
6. ↑ Kuzmin R. O.  Despre o nouă clasă de numere transcendentale  // Buletinul Academiei de Științe a URSS. Seria VII. Catedra de Științe Fizice și Matematice. - 1930. - Nr 6 . - S. 585-597 .
7. ↑ Gelfond A. O.  Despre a șaptea problemă a lui Hilbert // Rapoarte ale Academiei de Științe a URSS. - 1934. - T. 2 . - S. 1-6 .
8. ↑ Rybnikov K. A.  . Istoria matematicii. a 2-a ed. - M. : Editura Moscovei. un-ta, 1974. - 455 p.  - S. 304.
9. ↑ Schneider T.  Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen  (germană)  // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1934. - Bd. 172 . - S. 65-69 .

Literatură

• Gelfond A. O.  . Despre a șaptea problemă a lui Hilbert // Problems of Hilbert / ed. P. S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 p. — 10.700 de exemplare. Arhivat17 octombrie 2011 laWayback Machine - pp. 121-127.
• Feldman N. I. . A șaptea problemă a lui Hilbert. - M. : Editura Universității de Stat din Moscova, 1982. - 312 p.
• Bolibrukh A. A.  . A șaptea problemă a lui Hilbert: numere iraționale // Probleme Hilbert (100 de ani mai târziu) . - M. : MTSNMO , 1999. - 24 p. - ( Biblioteca „Educația matematică” , nr. 2). - 3000 de exemplare.
• Tikhomirov V. M. , Uspensky V. V.  Matematica sovietică a anilor 30 (II): A. O. Gelfond și L. G. Shnirelman, partea „Alexander Osipovich Gelfond și a șaptea problemă a lui Hilbert”  // Educația matematică , seria nr. 3. - 2000. - Emisiune. 4 . - S. 33-48 .