Numerele de pisot

Numărul Pisot [1] [2] (sau numărul Pisot–Vijayaraghavan [3] [4] , sau numărul PV ) este orice număr întreg algebric mai mare decât unu, modulele tuturor ale căror conjugate sunt strict mai mici decât unu. Aceste numere au fost descoperite de Axel Thue în 1912 [5] , au fost studiate de Godfrey Hardy din 1919 în legătură cu aproximările diofantine [6] , dar au devenit celebre după publicarea disertației lui Charles Pisot în 1938 [7] . Cercetările au fost continuate de Thirukkannapuram Vijayaraghavan și Raphael Salem în anii 1940.

Numerele Salem sunt strâns legate de numerele Pisot : acesta este un număr astfel încât modulele tuturor conjugatelor sale nu sunt mai mari de 1 și printre ele există o unitate.

Proprietăți

Cu cât exponentul natural al numărului PV este mai mare, cu atât acest grad se apropie mai mult de un număr întreg. Piso a demonstrat că printre numerele algebrice pozitive neîntregi, al căror modul este mai mare decât 1, această proprietate este excepțională pentru numerele PV: dacă un număr real este astfel încât șirul distanțelor [8] de la puterile sale la mulțimea numerelor întregi aparține lui $\alpha >1$ $\|\alpha ^{n}\|$ $l_{2}$ [ clarifica ] , atunci este un număr Pisot (și, în special, un număr algebric). $\alfa$ $\alfa$

Cel mai mic număr Pisot este singura rădăcină reală a ecuației cubice , cunoscută sub numele de număr plastic . [2] $x^{3}-x-1=0$

Iraționalități cuadratice care sunt numere Pisot:

Sens	polinom	Valoare numerica
${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	$x^{2}-x-1$	1,618034… ( proporția de aur )
$1+{\sqrt {2}}$	$x^{2}-2x-1$	2.414214… ( secțiune de argint )
${\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$	$x^{2}-3x+1$	2.618034… A104457
$1+{\sqrt {3}}$	$x^{2}-2x-2$	2.732051… A090388
${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$	$x^{2}-3x-1$	3.302776… A098316 ( secțiune de bronz )
$2+{\sqrt {2}}$	$x^{2}-4x+2$	3,414214…
${\frac {3+{\sqrt {17}}}{2}}$	$x^{2}-3x-2$	3.561553.. A178255 .
$2+{\sqrt {3}}$	$x^{2}-4x+1$	3.732051… A019973
${\frac {3+{\sqrt {21}}}{2}}$	$x^{2}-3x-3$	3.791288… A090458
$2+{\sqrt {5}}$	$x^{2}-4x-1$	4.236068… A098317

Note

↑ A. Egorov. Numere de pisot // Kvant . - 2005. - Nr 5 . - S. 8-13 .
A. Egorov. Numere de pisot (sfârșit) // Kvant . - 2005. - Nr 6 . - S. 9-13 .
↑ 12 Terr , David; Weisstein, Eric W. Pisot Number (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
↑ V. N. Berestovsky, Iu G. Nikonorov. Fracții continuate, grupul GL(2,Z) și numerele Pisot // Matematicheskie trudy. - 2007. - T. 10 , nr 1 . — p. 97–131 .
↑ J. W. S. Cassels . Introducere în teoria aproximărilor diofantine. — 1961.
↑ Axel Thue, „Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann”, Christiania Vidensk. selsk. Skrifter, voi. 2, 1912, p. 1-15.
↑ Godfrey H. Hardy, „A problem of diophantine approximation”, Journal Ind. Matematică. Soc., voi. 11, 1919, pp. 205-243.
↑ Charles Pisot, „ La repartition modulo 1 et les nombres algébriques ”, Ann. Sc. normă. Super. Pisa, II, Ser. 7, 1938, p. 205-248.
↑ Aici denotă distanța de la până la , adică unde este partea fracționară a numărului . $\|a\|$ $A$ $\mathbb {Z}$ $\min(\{a\},1-\{a\})$ $\{a\}$ $A$

Numerele algebrice
Soiuri	numere întregi algebrice noduri Chebyshev numere constructive întregul lui Eisenstein numere întregi gaussiene Inel Kummer numerele Perron Numerele Piso-Vijayaraghavan Iraționalitate pătratică ℚ Rădăcini din unitate Numerele Salem
Specific	Conway constantă 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2