Secțiune de argint

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 august 2022; verificarea necesită 1 editare .

Numere iraționale ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π și π
Notaţie	Estimarea numărului δs
Binar	10.0110101000001001111…
Zecimal	2.4142135623730950488…
hexazecimal	2.6A09E667F3BCC908B2F…
Fracție continuă	$2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{\ddots ))))))))))$

Secțiunea de argint este o constantă matematică care exprimă un anumit raport geometric, distins din punct de vedere estetic . Spre deosebire de raportul de aur , prin care este numit, raportul de argint nu are o singură definiție. Cel mai consistent este următorul:

Două valori sunt în „secțiunea de argint” dacă raportul dintre suma valorii mai mici și de două ori mai mare față de cea mai mare este același cu raportul dintre valoarea mai mare și cea mai mică.

Raportul de argint este un număr irațional (dar algebric ) egal cu sau aproximativ 2,4142135623. Pentru utilizarea în diviziunea procentuală, se folosește un raport apropiat de acest număr - 71/29 (acestea se adună până la 100). $1+{\sqrt {2}}$

Cel puțin recent, unii artiști și arhitecți consideră această atitudine „frumoasă”. Poate că se bazează pe teoria dreptunghiurilor dinamice Jay Hembridge . Matematicienii cercetează raportul de argint încă din zilele științei grecești antice (deși un astfel de nume poate să fi apărut doar recent), deoarece este asociat cu rădăcina pătrată a lui 2 , convergentele sale , numerele triunghiulare pătrate , numerele Pell , octogonul , etc.

Să notăm în continuare secțiunea de argint prin (nu există o notație general acceptată). Relația descrisă în definiția de mai sus este scrisă algebric după cum urmează: $\delta _{S}$

{\frac {b+2a}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}\,.

Această ecuație are o singură rădăcină pozitivă.

Dovada:

\frac{b+2a}{a}=\frac{a}{b}.

b^{2}+2ab=a^{2}.

b^2 + 2ab + a^2 = 2a^2.

(a+b)^{2}=2a^{2}.

a+b=\pm a{\sqrt {2)).

b=(\pm {\sqrt {2}}-1)\cdot a.

{\frac {a}{b}}={\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}-1}}={\frac {\pm {\sqrt {2}}+1 }{(\pm {\sqrt {2}}-1)(\pm {\sqrt {2}}+1)))=\pm {\sqrt {2}}+1.

Doar rădăcina este pozitivă . ${\sqrt {2}}+1=\delta _{S}$

\delta _{S}\aprox 2{,}414\,213\,562\,373

(secvența A014176 în OEIS )

Figura din dreapta oferă o dovadă geometrică că rădăcina a doi este irațională, în timp ce rapoartele . ${\frac {AB}{BE}}={\frac {AC}{FC}}=\delta _{S}$

Formule

2,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 02494413 41 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 82158212822 947284

Primele 1000 de cifre ale δ s calculate de calculator în 2008 (1 mai mult decât √ 2 ) [1] .

$\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}\approx 2{,}414\,213\,562\,373\,095\,048\,801\,688\,724\,210$ . Aceasta rezultă din $(\delta _{S}-1)^{2}=2\,.$

$\delta _{S}=[2;2,2,2,\dots ]$ - sub forma unei fractii continuate :

\delta _{S}=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots ))))))\,.

convergentele acestei fracții continue (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, ...) sunt rapoarte ale numerelor Pell succesive . Aceste fracții oferă aproximări raționale bune ale raportului de argint, similar cu modul în care raportul de aur este aproximat prin rapoarte ale numerelor Fibonacci succesive .

Sub formă de radicali imbricați infiniti:

$\delta_S = 2\sqrt{\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{4}+...))}$
$\delta _{S}={\sqrt {1+2{\sqrt {1+2{\sqrt {1+...}))))))))$

Alte definiții

Există și alte definiții ale secțiunii de argint .

De exemplu, pornind de la definirea secțiunii de aur printr-o fracție continuă, orice fracții continuate în care numitorii sunt constanți se numesc argint:

[n;n,n,n,\puncte]

Literatură

Arakelyan G. B. Numere și cantități în fizica modernă. Erevan: Ed. AN, 1989, 300 p. — S. 90-95, 252.

Note

↑ Rădăcina pătrată a doi, la 5 milioane de cifre

Link -uri

Explicația mijloacelor de argint
Weisstein, Eric W. Silver Ratio (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Numerele Pell
număr de plastic
ratia de aur
Vera de Spinadel (1999) The Family of Metallic Means , Vismath 1(3) de la Institutul de Matematică al Academiei Sârbe de Științe și Arte

Numere cu nume proprii

Constante matematice

Algebric

Transcendental ,
probabil transcendental

Grade de o mie

numere vechi rusești

Alte puteri de zece

Puterile de doisprezece

Altele întregi

Alte numere

unitate imaginară

Numere irationale
Constanta Apéry ( ζ(3) ) Constanta Erdős-Borwein ( E ) Constantele Feigenbaum vis sofomorian Constanta numărului prim (ρ) Număr de plastic (ρ) Logaritm de doi (ln 2) Rădăcina a 12-a a lui 2 ( 12 √ 2 ) Rădăcină pătrată a lui 2 ( √ 2 ) Rădăcină pătrată a lui 3 ( √ 3 ) Rădăcină pătrată a lui 5 ( √5 ) Raportul de aur (φ) Super raport de aur (ψ) Secțiune de argint ( δS ) e π Constanta Gelfond ( e π ) Constanta Gelfond-Schneider ( 2 √ 2 ) constanta Fibonacci inversă (ψ)
transcendental Trigonometric

ratia de aur
Cifre „de aur”.	dreptunghi auriu Triunghiul de Aur romb de aur elipsa de aur Triunghiul Kepler colț de aur spirală aurie gnomon de aur
Alte secțiuni	Super proporție de aur secțiune de argint sectiune de bronz
Alte	numerele Fibonacci Regula treimilor metoda secțiunii de aur Raportul de aur din pentagramă