Minge

Mingea este un corp geometric ; ansamblul tuturor punctelor din spațiu situate la o distanță de centru , nu mai mult decât unul dat. Această distanță se numește raza bilei . O minge se formează prin rotirea unui semicerc în jurul diametrului său fix . Acest diametru se numește axa mingii , iar ambele capete ale diametrului specificat se numesc polii mingii . Suprafața unei bile se numește sferă : o bilă închisă include această sferă , o bilă deschisă o exclude.

Definiții înrudite

Dacă planul de tăiere trece prin centrul bilei, atunci secțiunea bilei se numește cerc mare . Alte secțiuni plane ale mingii sunt numite cercuri mici . Aria acestor secțiuni este calculată prin formula πR².

Formule geometrice de bază

Suprafața și volumul unei bile cu raza (și diametrul ) sunt determinate de formulele: $S$ $V$ $r$ $d = 2r$

$S=\ 4\pi r^{2}$

$S=\ \pi d^{2}$

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

Dovada

Să luăm un sfert de cerc de rază R centrat în punctul . Ecuația circumferinței acestui cerc este : , de unde . $\left(0;0\dreapta)$ $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ $y^{2}=R^{2}-x^{2}$

Funcția este continuă, descrescătoare, nenegativă. Când un sfert de cerc se rotește în jurul axei Ox, se formează o emisferă, prin urmare: $y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}},x\in (0;R)$

${1 \over 2}V=\pi \int \limits _{0}^{R}(R^{2}-x^{2})dx=\pi \cdot {\Bigl .}\left(R ^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right){\Bigr |}_{0}^{R}=\pi \cdot (R^{3}-{\ frac {R^{3}}{3}})={\frac {2}{3}}\pi R^{3}$

Unde Ch. t. $V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}$

$V={\frac {\pi d^{3}}{6}}$

Dovada

$d=2r, V={4 \over 3} \pi r^3 = {4 \over 3} \pi \left ( {d \over 2} \right )^3 = {4 \over 3} \pi \ frac {d^3} {8} = \frac {\pi d^3} {6}$ H. t. d.

Conceptul de minge într-un spațiu metric generalizează în mod natural conceptul de minge în geometria euclidiană .

Definiții

Să fie dat un spațiu metric . Apoi $(X,\rho)$

O bilă (sau bilă deschisă ) cu un centru într-un punct și o rază este un set $x_{0}\în X$ $r>0$

B_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<r\}.

O minge închisă cu centrul la și raza este un set $x_{0}$ $r$

D_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})\leqslant r\}.

Note

O bilă cu raza centrată se mai numește și vecinătate a unui punct . $r$ $x_{0}$ $r$ $x_{0}$

Proprietăți

Mingea este un set deschis în topologia generată de metrică . $\rho$
O bilă închisă este un set închis în topologia generată de metrica . $\rho$
Prin definiția unei astfel de topologii, bile deschise cu centre în orice punct sunt baza acesteia . $X$
Evident . Cu toate acestea, în general, închiderea unei mingi deschise poate să nu coincidă cu o minge închisă: $B_{r}(x_{0})\subset D_{r}(x_{0})$ $\overline {B_{r}(x_{0})}\neq D_{r}(x_{0}).$
- De exemplu: fie un
spațiu metric discret și constă din mai mult de două puncte. Atunci pentru oricare avem: $(X,\rho)$ $X$ $x\în X$

B_{1}(x)=\{x\},\;\overline {B_{1}(x)}=\{x\},\;D_{1}(x)=X.

Volumul

Volumul unei bile n-dimensionale cu raza R în spațiul euclidian n - dimensional: [1]

V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)))R^{n},

unde Γ este funcția gamma Euler (care este extinderea factorialului la câmpul numerelor reale și complexe ). Folosind reprezentări particulare ale funcției gamma pentru valori întregi și semiîntregi , se pot obține formule pentru volumul unei bile n-dimensionale care nu necesită o funcție gamma:

V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!)}}R^{2k}

V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={ \frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}

Familiar !! aici se notează factorialul dublu .

Aceste formule pot fi, de asemenea, reduse la una generală:

V_{n}(R)={\frac {2^{\left[{\frac {n+1}{2}}\right]}\pi ^{\left[{\frac {n} {2}}\right]}}{n!!}}R^{n}

Funcția inversă pentru exprimarea dependenței razei de volum:

R_{n}(V)={\frac {\Gamma (n/2+1)^{1/n)} {\sqrt {\pi })}V^{1/n)

Această formulă poate fi, de asemenea, împărțită în două, pentru spații cu un număr de dimensiuni par și impar, folosind factorial și factorial dublu în loc de funcția gamma:

R_{2k}(V)={\frac {(k!V)^{1/2k)} {\sqrt {\pi ))}

R_{2k+1}(V)=\left({\frac {(2k+1)!!V}{2^{k+1}\pi ^{k))}\right)^{ 1/(2k+1)}

. Recursiune

Formula de volum poate fi exprimată și ca o funcție recursivă . Aceste formule pot fi dovedite direct sau derivate din formula de bază de mai sus. Cel mai simplu mod de a exprima volumul unei bile n - dimensionale este în termeni de volum al unei bile dimensionale (presupunând că au aceeași rază): $n-2$

V_{n}(R)={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R)

Există, de asemenea, o formulă pentru volumul unei bile n - dimensionale în funcție de volumul unei bile ( n − 1)-dimensionale de aceeași rază:

V_{n}(R)=R{\sqrt {\pi )}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)}}}{\Gamma ({\frac {n }{2}}+1)}}V_{n-1}(R)

La fel fără funcția gamma:

{\begin{aligned}V_{2k}(R)&=R\pi {\frac {(2k-1)!!}{2^{k}k!}}V_{2k-1}( R)=R\pi {\frac {(2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2)) V_{2k-1}(R),\\V_{2k+1}(R)&=2R{\frac {2^{k}k!}{(2k+1)!!}}V_{2k} (R)=2R{\frac {(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}{(2k+1)(2k-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}V_ {2k}(R).\end{aliniat}}

Spații de dimensiuni mai mici

Formule de volum pentru unele spații de dimensiuni mai mici:

Numărul de măsurători	Volumul unei sfere cu raza R	Raza bilei de volum V
unu	$2R$	$V/2$
2	$\pi R^{2}$	${\frac {V^{1/2}}{\sqrt {\pi }}}$
3	${\frac {4\pi }{3}}R^{3}$	$\left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{1/3}$
patru	${\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}$	${\frac {(2V)^{1/4}}{\sqrt {\pi }}}$
5	${\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}$	$\left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\right)^{1/5}$
6	${\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}$	${\frac {(6V)^{1/6}}{\sqrt {\pi }}}$
7	${\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}$	$\left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}}\right)^{1/7}$
opt	${\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}$	${\frac {(24V)^{1/8}}{\sqrt {\pi }}}$
9	${\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}$	$\left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}}\right)^{1/9}$
zece	${\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}$	${\frac {(120V)^{1/10}}{\sqrt {\pi }}}$

Spații de dimensiuni mai mari

Pe măsură ce numărul de dimensiuni tinde spre infinit, volumul unei sfere cu rază unitară tinde spre zero. Acest lucru poate fi dedus din reprezentarea recursivă a formulei de volum.

Exemple

Fie un spațiu euclidian cu distanța euclidiană obișnuită. Apoi $\mathbb{R}^d$

dacă (spațiul este o linie dreaptă ), atunci $d=1$

B_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|<r\}=\left(x_{0}-{r} ,x_{0}+{r}\dreapta),

D_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|\leq r\}=\left[x_{0}-{r },x_{0}+{r}\dreapta].

sunt segmente deschise și , respectiv, închise.

dacă (spațiu - plan ), atunci $d=2$ $B_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in {\mathbb {R}}^{2}\mid {\sqrt {(x-x_ {0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<r\right\},$ $D_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in {\mathbb {R}}^{2}\mid {\sqrt {(x-x_ {0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\leq r\right\}$

sunt discuri deschise și , respectiv, închise.

dacă , atunci $d=3$ $B_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb {R}}^{3}\mid { \sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}<r\right\},$ $D_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb {R}}^{3}\mid { \sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}\leq r\right\}$

sunt o sferă stereometrică deschisă și , respectiv, închisă.

În alte valori, mingea poate avea o formă geometrică diferită. De exemplu, să definim o metrică în spațiul euclidian după cum urmează: $\mathbb{R}^d$ $\rho (x,y)=\sum \limits _{{i=1}}^{d}\|x_{i}-y_{i}\|,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{d})^{{\top }},y=(y_{1},\ldots ,y_{d})^{{\top }}\in {\mathbb {R}}^{d} .$

Apoi

dacă , atunci este un pătrat deschis cu un centru într-un punct și laturi de lungime situate în diagonală față de axele de coordonate. $d=2$ $U_{r}(x_{0})$ $x_{0}$ ${\sqrt {2}}$
dacă , atunci este un octaedru tridimensional deschis . $d=3$ $U_{r}(x_{0})$

Vezi și

Note

↑ Ecuația 5.19.4, Biblioteca digitală NIST de funcții matematice. http://dlmf.nist.gov/ , Versiunea 1.0.6 din 2013-05-06.

Literatură

Ball, corp geometric // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.

Link-uri către calculatoare online

Calculul volumului și ariei unei sfere (link inaccesibil) . Preluat la 12 martie 2012. Arhivat din original la 8 august 2011. (nedefinit)
Calculatoare online (link indisponibil) . Preluat la 2 iulie 2019. Arhivat din original la 9 ianuarie 2019. (nedefinit)
Studii matematice (link inaccesibil) . Consultat la 20 octombrie 2011. Arhivat din original pe 18 octombrie 2011. (nedefinit) Volumul sferei desen animat