Varietate brută

O varietate brută sau netedă este o varietate topologică care nu permite o structură netedă. Mai precis, o varietate topologică nu este homeomorfă cu nicio varietate netedă.

Exemple

E 8 -soi
Take -dimensional Milnor manifold , ; este paralelizabilă, semnătura sa este , iar limita sa este echivalentă homotopic cu o sferă . Lipirea de con duce la spațiu . Mai mult, deoarece există o sferă liniară pe bucăți (a se vedea conjectura generalizată Poincare ), atunci o bilă liniară pe bucăți, la fel este și o varietate liniară pe bucăți . Pe de altă parte, există o varietate brută, deoarece semnătura sa este 8, iar semnătura unei varietăți dimensionale netede aproape paralelizabile (adică, paralelizabilă după perforarea unui punct) este un multiplu de , care crește exponențial ca . $4k$ ${\displaystyle W^{4k))$ $k>1$ ${\displaystyle W^{4k))$ $opt$ $M=\partial W^{4k)$ $S^{4k-1}$ ${\displaystyle W^{4k))$ $C(M)$ $\partial W^{4k)$ $P^{4k)$ $M$ $C(M)$ $P^{4k)$ $P^{4k)$ $4k$ $\sigma _{k)$ $k$
- În special, rezultă din aceasta că varietatea nu este difeomorfă cu sfera . $M$ $S^{4k-1}$

Un criteriu pentru netezimea unei varietăți liniare pe bucăți

Fie un grup ortogonal , a fie un grup de homeomorfisme liniare pe bucăți care păstrează originea . Includerea induce un mănunchi , unde este spațiul de clasificare al grupului . Pentru , obținem un mănunchi a cărui fibră se notează cu . O varietate liniară pe bucăți are un pachet normal liniar stabil , clasificat printr-o mapare . Dacă este o varietate netedă (netezită), atunci are un pachet normal vectorial stabil , clasificat prin mapare și . Această condiție este, de asemenea, suficientă, adică $Pe}$ $PL_{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $O_{n}\la PL_{n}$ $BO_{n}\la BPL_{n}$ $BG$ $G$ $n\la\infty$ $p:BO_{n}\la BPL_{n}$ $M/O$
$X$ $\nu$ $\nu :X\la BPL_{n}$
$X$ ${\bar {\nu ))$ ${\bar {\nu }}:X\la BO_{n}$ $p\circ {\bar {\nu }}=\nu$

O varietate liniară închisă pe bucăți este netezibilă dacă și numai dacă pachetul său normal stabil liniar pe bucăți admite reducerea vectorială, adică atunci când maparea „se ridică” în (adică există astfel încât ). $X$ $\nu :X\la BPL_{n}$ $BO_{n}$ ${\bar {\nu }}:X\la BO_{n}$ $p\circ {\bar {\nu }}=\nu$

Vezi și

Sfera lui Milnor

Literatură

Milnor J., Stashef J. Clasele caracteristice, trad. din engleză, - M. , 1979.
Kervaire M. „Comentariu, matematică, helv.”, 1960, or. 34, p. 257-70;