Spațiu finit-dimensional

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 septembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Un spațiu finit-dimensional este un spațiu vectorial în care există o bază finită - un sistem generator (complet) liniar independent de vectori. Cu alte cuvinte, într-un astfel de spațiu există un sistem finit liniar independent de vectori a cărui combinație liniară poate reprezenta orice vector al spațiului dat.

O bază este (simultan) atât un sistem generator minim (complet) cât și un sistem maximal de vectori liniar independent. Toate bazele conțin același număr de elemente, care se numește dimensiunea spațiului vectorial .

Un spațiu finit-dimensional în care este introdus produsul scalar al elementelor sale se numește euclidian . Un spațiu finit-dimensional în care este introdusă norma elementelor sale se numește spațiu normat finit-dimensional . Prezența unui produs sau a unei norme interne generează o metrică într-un spațiu finit-dimensional .

Proprietăți ale spațiilor finite-dimensionale

Orice element al unui spațiu finit-dimensional poate fi reprezentat unic în formă $X$ $X$

x=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+...+a_{n}e_{n},

$a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {P}$ unde este câmpul (deseori sau ) peste care este considerat spațiul , sunt elementele bazei. Aceasta rezultă din definiția unei baze. ${\mathbb P}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $X$ $e_{1},e_{2},...,e_{n}\in X$

De asemenea, orice bază din spațiul euclidian poate fi făcută ortonormală folosind ortogonalizarea Schmidt .

Toate bazele unui spațiu finit-dimensional constau din același număr de elemente. Această proprietate oferă corectitudinea definiției dimensiunii spațiului .
Fie un spațiu cu dimensiuni finite și un sistem de elemente liniar independent . Atunci acest sistem poate fi întotdeauna completat la o bază . $X$ $\{x_{1},x_{2},...,x_{k}\}$
Toate spațiile cu dimensiuni finite de aceeași dimensiune sunt izomorfe între ele.
În orice spațiu finit-dimensional peste un câmp , un produs interior poate fi introdus . De exemplu, într-un spațiu cu bază fixă, dimensiunea , se poate introduce produsul scalar după regula: , unde sunt componentele vectorilor și, respectiv. Din această proprietate rezultă că într-un spațiu finit-dimensional peste un câmp se poate introduce o normă și o metrică . În consecință, se poate obține: $\mathbb {R}$ $X$ $n$
${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X,(x_{1},x_{2})=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{ k))$ $\{a_{k}\},\{b_{k}\}$ $x_{1}$ $x_{2}$
$\mathbb {R}$
- $X$ este un spațiu reflexiv [1] .
- Spațiul
dual cu un spațiu finit-dimensional este finit-dimensional și dimensiunea lui coincide cu cea a lui . $X^{*}$ $X$ $X$
Pentru orice subspațiu al unui spațiu finit-dimensional , există un subspațiu [2] astfel încât și se descompune într-o sumă directă a și , . $M\subset X$ $X$ $M^{\perp }\subset X$ $\forall x\in M,\forall y\in M^{\perp },x\perp y$ $X$ $M$ $M^{\perp )$ $X=M\oplus M^{\perp )$

În spațiul euclidian fiecare secvență slab convergentă converge puternic.

Toate normele dintr-un spațiu finit-dimensional peste un câmp sunt echivalente. Convergența în spațiul euclidian este echivalentă cu convergența în funcție de coordonate.

\mathbb {R}

Fiecare operator liniar continuu într-un spațiu finit-dimensional poate fi reprezentat ca o matrice .

Spațiul peste un câmp este finit-dimensional dacă și numai dacă operatorul de identitate este complet continuu .

X

\mathbb {R}

I:X\rightarrow X

Un spațiu este finit-dimensional dacă și numai dacă există un operator complet continuu inversabil care acționează asupra lui .

X

X

Un spațiu este finit-dimensional dacă și numai dacă bilă unitară este precompactă. Această proprietate poate fi reformulată după cum urmează: un spațiu este finit-dimensional dacă și numai dacă orice mulțime mărginită în este precompactă.

X

X

X

X

Orice operator liniar definit într-un spațiu finit-dimensional este continuu și chiar complet continuu .

A:X\rightarrow Y

X

Într-un spațiu finit-dimensional, fiecare operator este unitar dacă și numai dacă este izometric, adică păstrează produsul scalar.

Exemple

Spatiul euclidian are o dimensiune de 3, pentru baza lui se poate alege un triplu de vectori ${\mathbb E}^{3}$

\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}),{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}),{\begin {pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}

Un caz mai general este spațiile de dimensiune n . Norma în ele este de obicei stabilită într-unul dintre următoarele moduri ( ): $\mathbb {R} ^{n}$ $1\leq p<\infty$

\|x\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{|x_{i}|^{p))))

\|x\|_{\infty }=\max _{i=1,2,\dots ,n}{|x_{i}|}.

Dacă introducem norma și produsul scalar, atunci spațiul va fi euclidian. $\|x\|_{2)$ $(x,y)={\sum _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i))},$

$P^{n}$ este spațiul tuturor polinoamelor de grad cel mult . Dimensiunea acestui spațiu este de . Polinoamele formează o bază în ea. $n$ $n+1$ $1,x,x^{2},...,x^{n)$
Fie un spațiu liniar arbitrar și fie un sistem de vectori liniar independent . Atunci intervalul liniar acoperit de acest sistem este un spațiu finit-dimensional. $X$ $\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$

Vezi și

Spațiu infinit

Note

↑ Acest fapt poate fi obținut atât cu ajutorul teoremei Riesz-Fréchet , cât și prin calcule directe, fără a folosi teoria spațiilor Hilbert.
↑ este adesea numit complement ortogonal la $M^{\perp )$ $M$

Literatură

Trenogin V. A. Analiza functionala. — M .: Nauka , 1980 . — 495 p.
Halmos P. Spații vectoriale cu dimensiuni finite = Spații vectoriale cu dimensiuni finite. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 p.
Shilov G.E. Analiza matematică. Curs special. - al 2-lea. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 p.

Dimensiunea spațiului
Spații după dimensiune	Zero-dimensionale unidimensional 2D 3D patru dimensionale cinci dimensiuni În șase dimensiuni Șapte-dimensionale octal Nouă-dimensionale n-dimensională Dimensiunea negativă
Politopuri și figuri	Simplex hipercub tesseract Hiperdreptunghi (ortotop) Semihipercub Cross-politope hipersferă
Tipuri de spații	spațiu finit-dimensional Spațiul euclidian spatiu afin spațiu proiectiv Modul gratuit Manifold Dimensiunea unei variabile algebrice spațiu timp
Alte concepte dimensionale	dimensiunea Krull Dimensiunea Lebesgue Dimensiunea inductivă Dimensiunea fracțională ( dimensiunea Minkowski , dimensiunea Hausdorff ) dimensiune fractală Grade de libertate
Matematica