Axiomatica lui Hilbert

Axiomatica lui Hilbert este un sistem de axiome ale geometriei euclidiene . Dezvoltat de Hilbert ca fiind mai complet decât sistemul de axiome al lui Euclid .

Concepte nedefinite

Conceptele indefinibile în axiomele Hilbert sunt: punct , dreaptă , plan . Există, de asemenea, 3 relații elementare :

Lie between , aplicabil la puncte;
Conține , aplicabil punctelor și liniilor, punctelor și planurilor sau liniilor și planurilor;
Congruența (egalitatea geometrică), aplicabilă segmentelor de dreaptă , unghiurilor sau triunghiurilor , de exemplu, și este notă cu simbolul infix ≅.

Se presupune că toate punctele, liniile și planurile sunt diferite, dacă nu se specifică altfel.

Axiome

Sistemul de 20 de axiome este împărțit în 5 grupe:

axiome de membru:
- planimetric:
  1. Oricare ar fi două puncte A și B, există o dreaptă a căreia îi aparțin aceste puncte.
  2. Oricare ar fi două puncte diferite A și B, există cel mult o linie căreia îi aparțin aceste puncte.
  3. Fiecare linie a conține cel puțin două puncte. Există cel puțin trei puncte care nu aparțin aceleiași linii.
- stereometric:
  1. Oricare ar fi cele trei puncte A, B și C care nu aparțin aceleiași drepte, există un plan α căruia îi aparțin aceste trei puncte. Fiecare plan conține cel puțin un punct.
  2. Oricare ar fi cele trei puncte A, B și C care nu aparțin aceleiași drepte, există cel mult un plan căruia îi aparțin aceste trei puncte.
  3. Dacă două puncte diferite A și B aparținând unei drepte a aparțin unui plan α, atunci fiecare punct aparținând dreptei a aparține planului specificat.
  4. Dacă există un punct A care aparține două plane α și β, atunci mai există cel puțin un punct B care aparține ambelor plane.
  5. Există cel puțin patru puncte care nu aparțin aceluiași plan.
axiome de ordine:
- liniar:
  1. Dacă punctul B al unei linii a se află între punctele A și C ale aceleiași linii, atunci A, B și C sunt puncte diferite ale dreptei indicate și B se află, de asemenea, între C și A.
  2. Oricare ar fi două puncte distincte A și C, pe linia pe care o definesc există cel puțin un punct B astfel încât B se află între A și C și cel puțin un punct D astfel încât C se află între A și D.
  3. Dintre oricare trei puncte situate pe aceeași linie, există întotdeauna unul și doar un punct între celelalte două.
- Planimetric:
  1. Axioma lui Pașa : Fie A, B, C trei puncte care nu sunt pe aceeași dreaptă și a o dreaptă în plan (ABC) care nu trece prin niciunul dintre punctele A, B, C; dacă în acest caz dreapta a trece printr-un punct al segmentului AB, atunci cu siguranță trece printr-un punct al segmentului AC sau un punct al segmentului BC.
axiome de congruență:
- liniar:
  1. Dacă A și B sunt două puncte pe dreapta a , A' este un punct pe aceeași dreaptă sau pe o altă dreaptă a' , atunci pe latura dreptei a' dată din punctul A ' există și, în plus, numai unul, punctul B' astfel încât segmentul A'B' este congruent cu segmentul AB. Fiecare segment AB este congruent cu segmentul BA.
  2. Dacă segmentele A’B’ și A”B” sunt congruente cu același segment AB, atunci ele sunt congruente între ele.
  3. Fie AB și BC două segmente ale unei drepte a care nu au puncte interioare comune, A'B' și B'C' să fie două segmente ale aceleiași drepte sau o altă dreaptă a' care, de asemenea, nu au puncte interioare comune. Atunci, dacă segmentul AB este congruent cu segmentul A'B', iar segmentul BC este congruent cu segmentul B'C', atunci segmentul AC este congruent cu segmentul A'C'.
- planimetric:
  1. Având în vedere unghiul ∠ABC în planul a și raza B'C' în planul a' , atunci în planul a ' există exact o rază B'D pe o anumită latură a lui B'C' (și, în consecință, o a doua rază B'E pe cealaltă parte de B'C') astfel încât ∠DB'C' ≅ ∠ABC (și, în consecință, ∠EB'C' ≅ ∠ABC). Corolar: Fiecare unghi este congruent cu el însuși
  2. Dacă pentru două triunghiuri ABC și A'B'C' există congruențe: AB≅A'B', AC≅A'C', ∠BAC ≅ ∠B'A'C', atunci există întotdeauna congruențe: ∠ABC ≅ ∠A'B'C', ∠ACB ≅ ∠A'C'B'.
axioma paralelismului , pentru care Hilbert a ales nu formularea euclidiană , ci o axiomă echivalentă, dar mai simplă a lui Proclu :
- planimetric
  1. Fie a o dreaptă arbitrară și A un punct în afara ei; apoi în planul definit de punctul A și linia a , puteți trage cel mult o dreaptă care trece prin A și nu intersectează a .
axiome de continuitate
- liniar
  1. Axioma lui Arhimede . Având în vedere un segment CD și o rază AB, atunci există n și n puncte A 1 ,…,A n pe AB astfel încât: A j A j+1 ≅ CD, , A 0 coincide cu A, iar B se află între A și un ._ _ $0\leqslant j<n$
  2. „Plenătatea liniei”. Adăugarea a cel puțin un punct suplimentar la o linie dreaptă va provoca o contradicție cu una dintre axiomele de apartenență, ordine, primele două axiome de congruență sau axioma lui Arhimede .

Axioma 21

Hilbert inițial (1899) a inclus a 21-a axiomă:

„Orice patru puncte de pe linie pot fi numite A, B, C și D, astfel încât punctul B se află între punctele A și C și între A și D; punctul C este între A și D și, de asemenea, între B și D.

Eliakim Hastings Moore și Robert Lee Moore au demonstrat în mod independent în 1902 că această axiomă este redundantă.

Completitudine și consecvență

După cum a demonstrat Alfred Tarski (1951), axiomatica lui Hilbert este completă din punct de vedere logic , adică orice afirmație (formală) despre conceptele geometrice pe care le conține poate fi dovedită sau infirmată. Este de asemenea consecvent dacă aritmetica [1] [2] este consecventă .

Istorie

Schema axiomatică a geometriei euclidiene a fost publicată de David Hilbert în 1899 în volumul festiv „Festschrift”, dedicat deschiderii la Göttingen a unui monument dedicat lui Carl Friedrich Gauss și prietenului său, fizicianul Wilhelm Weber . Acum, „Fundamentals of Geometry” a fost publicat în multe limbi ale lumii, una dintre cele două ediții în limba rusă este indicată mai jos în link-uri.

Alte sisteme de axiome

Creatorii sistemelor pre-Hilbert:

Euclid
pash
Shur
Peano (include conceptul de „ mișcare ”)
Veronese
M. Pieri (1899)

Hilbert înrudit:

Axiome mai moderne:

axiomatica lui Alexandrov
axiomatica lui Tarski
Axiomatica lui Birghoff - conține „axioma conducătorului ” și „axioma raportorului ”. Variantele sale sunt folosite în majoritatea manualelor școlare americane; axiomatica lui Pogorelov este aproape de aceasta .
Axiomatica lui Weil - operează cu concepte nedefinite de punct și vector liber . O linie și un plan sunt definite ca seturi de puncte.

Link -uri

D. Gilbert . Bazele geometriei. Traducere din germană, editată de A. V. Vasiliev. L., „Semănătorul”, 1923-152 p.
Herman Weil. David Hilbert și lucrările sale matematice.
Curs optional de matematica. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M . : Educaţie , 1991. - S. 356-363. — 383 p. — ISBN 5-09-001287-3 .

Note

↑ Enciclopedia de matematică elementară (în 5 volume). - M. : Fizmatgiz, 1963. - T. 4. Geometrie. - S. 41-48. — 568 p.
↑ Sistemul Hilbert de axiome . Preluat la 10 septembrie 2017. Arhivat din original la 20 iulie 2018. (nedefinit)

Contribuția lui David Hilbert la știință
spatii	Spațiul Hilbert Spațiul pre-Hilbert Cărămidă Gilbert
axiomatica	axiomatica lui Hilbert
Teoreme	Teorema lui Hilbert 90 Teorema de bază a lui Hilbert Teorema nulă a lui Hilbert Teorema Hilbert-Schmidt
Operatori	Transformarea Hilbert operator Hilbert-Schmidt
Relativitatea generală	Ecuații Einstein-Hilbert „ Hilbert și ecuațiile câmpului gravitațional ”
Alte	Probleme Hilbert curba Hilbert matricea Hilbert Problema Hilbert-Arnold Seria Hilbert și polinomul Hilbert Paradoxul „Grand Hotel”