Geometria lui Alexandru

Geometria lui Alexandru este o dezvoltare particulară a abordării axiomatice în geometria modernă. Ideea este de a înlocui o anumită egalitate în axiomatica spațiului euclidian cu o inegalitate.

Istorie

Prima definiție sintetică a constrângerilor de curbură superioară și inferioară a fost dată de Abraham Wald în lucrarea sa de licență scrisă sub supravegherea lui Carl Menger . [1] Această lucrare a fost uitată până în anii '80.

Definiții similare au fost redescoperite de Aleksandr Danilovici Aleksandrov . [2] [3] El a dat, de asemenea, primele aplicații semnificative ale acestei teorii, în special problemelor de încorporare și îndoire a suprafețelor.

O definiție strâns legată a spațiilor metrice de curbură nepozitivă a fost dată aproape simultan de Herbert Busemann . [patru]

Cercetarea lui Alexandrov și a studenților săi s-a desfășurat în două direcții principale:

Spații bidimensionale cu curbură limitată de jos;
Spații de dimensiune arbitrară cu curbură delimitată de sus.
- Hiperbolicitatea în sensul lui Gromov este o extensie a acestei teorii pentru spațiile discrete. Are aplicații semnificative în teoria grupurilor .

Spațiile de dimensiune arbitrară cu curbură delimitată mai jos au început să fie studiate abia la sfârșitul anilor 1990. Impulsul pentru aceste studii a fost teorema de compactitate a lui Gromov . Lucrarea fundamentală a fost scrisă de Yuri Dmitrievich Burago , Mihail Leonidovici Gromov și Grigory Yakovlevich Perelman . [5]

Definiții de bază

Un triunghi de comparație pentru un triplu de puncte dintr- un spațiu metric este un triunghi în plan euclidian cu aceleași lungimi de laturi; acesta este $xyz$ $X$ $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ $\mathbb {E} ^{2}$

{\begin{aligned}|{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|xy|_{X},\\ |{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|yz|_{X},\\|{\tilde {z}}- {\tilde {x}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|zx|_{X}.\end{aligned}}

Unghiul de la vârful triunghiului de comparație se numește unghi de comparație al triplului și se notează . ${\tilde x}$ $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ $xyz$ ${\tilde {\measuredangle }}(x\,_{z}^{y})$

În geometria Aleksandrov, spațiile metrice complete cu metrică intrinsecă sunt considerate cu una dintre următoarele două inegalități pentru 6 distanțe între 4 puncte arbitrare. $X$

Prima inegalitate este următoarea: pentru 4 puncte arbitrare , luați în considerare o pereche de triunghiuri de comparație , iar apoi pentru un punct arbitrar , inegalitatea $x,y,p,q\in X$ $[{\tilde {x}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ $[{\tilde {y}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ ${\tilde {z}}\in [{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$

|xy|_{X}\leq |{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}+|{\tilde {y}} -{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}.

În acest caz, se spune că spațiul satisface inegalitatea -. Un spațiu complet care satisface inegalitatea se numește spațiu Hadamard . În cazul îndeplinirii locale a acestei inegalități, se spune că spațiul are curbură nepozitivă în sensul Alexandrov . $\mathrm {CAT} [0]$ $\mathrm {CAT} [0]$

A doua inegalitate este următoarea: pentru 4 puncte arbitrare , inegalitatea $p,x,y,z\in X$

{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{y}^{x})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{z}^{y})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{x}^{z})\leq 2\cdot \pi .

În acest caz, se spune că spațiul satisface inegalitatea - sau se spune că spațiul are curbură nenegativă în sensul Alexandrov . $\mathrm {CBB} [0]$

Restricții generale privind curbura

În loc de planul euclidian, puteți lua spațiu - planul de curbură model . Acesta este $\mathbb {M} [k]$ $k$

$\mathbb {M} [0]$ este planul euclidian ,
$\mathbb {M} [k]$ când există o sferă de rază , $k>0$ $1/{\sqrt {k)}$
$\mathbb {M} [k]$ la este planul de curbură Lobaciovski . $k<0$ $k$

Apoi definițiile de mai sus se transformă în definiții ale spațiilor CAT[k] și CBB [k] și spațiilor cu curbură și în sensul Alexandrov . $\leq k$ $\geq k$ $k>0$ $(xyz)$

|xy|_{X}+|yz|_{X}+|zx|_{X}<2\cdot \pi /{\sqrt {k)}

Teoreme de bază

Lema lui Alexandrov este o afirmație tehnică importantă despre unghiurile de comparație

Teorema de lipire a lui Reshetnyak — permite construirea de spații CAT(k) prin lipirea spațiilor CAT(k) peste mulțimi convexe.

Teorema majorizării Reshetnyak oferă o definiție convenabilă echivalentă a spațiilor CAT(k).

Teorema globalizării pentru spațiile CAT(k) este o generalizare a teoremei Hadamard-Cartan .

Teorema globalizării pentru spațiile CBB(k) este o generalizare a teoremei de comparație a lui Toponogov .

Note

↑ Wald, A. Begründung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flächen (germană) // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. - 1935. - Bd. 6 . - S. 24-46 .
↑ Aleksandrov A. D. Geometria internă a suprafețelor convexe. - Gostekhizdat, 1948.
↑ Alexandrov A. D. O teoremă asupra triunghiurilor într-un spațiu metric și unele dintre aplicațiile sale // Tr. MIAN URSS. - 1951. - T. 38 . - S. 5-23 . (Rusă)
↑ Busemann, Herbert Spații cu curbură nepozitivă. ActaMath. 80, (1948). 259–310.
↑ Yu. D. Burago, M. L. Gromov, G. Ya. Perelman. Spații Aleksandrov cu curburi mărginite mai jos // Uspekhi Mat. - 1992. - T. 47 , nr. 2 (284) . - S. 3-51 . (Rusă)

Literatură

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Curs de geometrie metrică. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .
Cursul 5, Geometria lui Alexandrov
Serghei Ivanov . Geometrie metrică și spații Alexandrov . Lectorium ( 10.02.11 ). (nedefinit)
Serghei Ivanov . Geometria spațiilor Alexandrov . Lectorium (04.07.17). (nedefinit)
Anton Petrunin, prelegeri video de geometrie Alexander
Alexandru, Stefania; Kapovitch, Vitali & Petrunin, Anton, Invitation to Alexandrov geometry: CAT[0] spaces, arΧiv : 1701.03483 [math.DG].