Continuare analitică

O continuare analitică în analiza complexă este o funcție analitică care coincide cu o funcție dată în domeniul său original C și este definită în domeniul D care conține C , care este o continuare analitică a funcției . Continuarea analitică este întotdeauna unică . $f$ $f$

Conceptul a fost introdus de Karl Weierstrass în 1842 , el a dezvoltat și tehnica corespunzătoare pentru construirea unor astfel de extensii.

Un caz special pentru funcțiile holomorfe este extensia holomorfă .

Definiție

Unicitate

În orice caz, o continuare analitică nu există, dar este întotdeauna unică : oricare două funcții analitice extinse din aceeași funcție coincid întotdeauna. Pentru funcțiile holomorfe (un caz special de funcții analitice), unicitatea poate fi derivată din următorul fapt: dacă o funcție f este identic egală cu zero , atunci oricare dintre extensiile sale este zero peste tot. Deoarece funcțiile holomorfe formează un spațiu liniar , acest lucru este suficient pentru unicitatea extensiei holomorfe.

Modalități de a construi

Metode elementare

Pentru cele mai elementare funcții, cum ar fi funcția de putere și exponențiala , continuarea analitică este aproape simplă. Acest lucru se datorează faptului că continuarea analitică în astfel de cazuri se realizează dintr-un set de un tip foarte specific, care este linia reală - acest set nu are puncte interioare complexe .

Pentru cazuri mai complexe se folosesc metode mai artificiale. De exemplu, luați în considerare unele serii Taylor care converg într-un cerc , unde este raza de convergență a acestei serii. Conform uneia dintre definițiile echivalente, se obține astfel funcția analitică din cerc . Ce înseamnă? Acest lucru nu înseamnă că în orice moment în afara funcției rezultate nu va mai fi analitică, acest lucru este momentan necunoscut, înseamnă pur și simplu că există un punct astfel încât seria diverge în acest punct. Cu toate acestea, puteți alege un anumit punct - deoarece în acest moment funcția este analitică, poate fi extinsă într-o serie care converge într-un anumit cerc . Dacă relația este satisfăcută pentru noua rază de convergență , atunci vor exista deja puncte care aparțin dar nu lui , iar din aceasta, în virtutea teoremei unicității, va rezulta că funcția, definită inițial doar în , este extinsă la un set mai mare și anume la . Dacă acest lucru nu este posibil, atunci cercul va fi granița naturală a continuării analitice. $\Delta _{a}=\{z\colon |za|<\rho \}$ $\rho$ $\Delta _{a}$ $f(z)$ $\Delta _{a}$ $z_{0}\colon |z_{0}-a|=\rho$ $b\în \Delta _{a}$ $f(z)$ $\Delta _{b}=\{z\colon |zb|<\theta \}$ $\theta$ $\theta >\rho -|ab|$ $\Delta _{b}$ $\Delta _{a}$ $\Delta _{a}$ $\Delta _{a}\cup \Delta _{b}$ $\partial \Delta _{a}$

Pentru multe funcții speciale, continuarea analitică este efectuată folosind o ecuație funcțională. Este luată o zonă în care soluția acestei ecuații este evident analitică, iar rezultatele sunt transferate într-o zonă mai mare. Practic, continuările funcțiilor speciale ale analizei reale sunt construite în acest fel - de exemplu, funcția gamma și funcția zeta Riemann .

Continuare analitică de-a lungul unui lanț de domenii

Pentru a construi continuări analitice în cazuri non-triviale, se utilizează conceptul de element analitic .

Elementele și se numesc continuare analitică între ele printr-un lanț de domenii dacă există o succesiune de elemente și sunt îndeplinite următoarele trei condiții: $P=(G,f)$ $Q=(H,g)$ $\{\Delta \}_{1}^{n}$ $P_{k}=(G_{k},f_{k}),\,k=0,1,\dots ,n$

$P_{0}=P,\,P_{n}=Q$ ;
Pentru domenii succesive arbitrare din lanț, intersecția lor este nevidă și este componenta sa conexă definită; $D_{k}\cap D_{{k+1}}$ $\Delta _{k}$
Elementul este o continuare analitică prin mulțime . $P_{{k+1}}$ $P_{k}$ $\Delta _{k}$

Un germen poate fi privit ca un element analitic format dintr-un cerc de convergență și o funcție analitică proprie, suma unei serii. Elementele de acest tip au propriul nume - elemente canonice și sunt notate ca , unde este cercul de convergență al seriei și este suma acestuia. Centrul cercului de convergență al seriei care îl definește se numește centrul unui element canonic. $(Ce faci)$ $K$ $f$

Continuare analitică de-a lungul unei căi

Pentru a construi o continuare analitică de-a lungul drumului către dezvoltarea tehnicii construcției „discrete” în raport cu un lanț de domenii, este necesar să se facă o tranziție, într-un sens similar cu trecerea de la o secvență la o funcție.

Considerăm un element canonic centrat într-un punct și o curbă Jordan continuă ( ) cu proprietatea . $P_{0}=(K_{0},f_{0})$ $z=z_{0}$ $\varphi (t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\Gamma =\varphi([0;1])$ $z_{0}=\varphi(0)$

Să presupunem că există o familie de elemente canonice cu raze de convergență diferite de zero astfel încât să fie centrul elementului și pentru un arbitrar există o astfel de vecinătate (înțeleasă în sensul de vecinătăți pe linia reală) care satisface condiția ; atunci, dacă pentru oricare elementul este o continuare imediată a elementului , atunci elementul este astfel considerat a fi continuat analitic de-a lungul căii . $\{P_{t}\}_{{t\in [0;1]}}$ $\varphi (t)$ $P_{t}$ $t_{0}\în [0;1]$ ${{\mathcal U}}_{{t_{0}}}\subset [0;1]$ $\varphi ({{\mathcal U}}_{{t_{0}}})\subset K_{{t_{0}}}$ $t\in {{\mathcal U}}_{{t_{0}}}$ $P_{t}$ $P_{{t_{0}}}}$ $P_0$ $\Gamma$

Familia de regiuni poate fi aleasă în mod arbitrar, deoarece se poate dovedi că rezultatul continuării analitice nu depinde de alegerea familiei de regiuni.

O proprietate destul de interesantă are și o funcție - raza cercului de convergență . Pentru familia menționată în definiția continuării pe o cale, funcția va fi continuă în sensul analizei reale pe . $R(t)\colon [0;1]\to (0;+\infty )$ $K_{{t}}.$ $R(t)$ $[0;1]$

Să presupunem că elementul canonic este obținut din element prin continuarea analitică de-a lungul unui drum prin familia intermediară de elemente . Apoi, dacă alegem o secvență crescătoare de elemente ale segmentului , unde cercurile și se vor intersecta, atunci elementul va fi o continuare analitică a elementului prin lanțul de regiuni . $Q$ $P$ $\varphi (t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\{P_{t}\}_{{t\in [0;1]}}$ $0,t_{1},t_{2},\dots ,t_{n},1$ $[0;1]$ $K_k$ $K_{{k+1}}$ $Q=P_{1}$ $P=P_{0}$ $K_{{t_{1}}},K_{{t_{2}}},\dots ,K_{{t_{n}}}$

Unul dintre cele mai interesante rezultate va fi teorema privind invarianța homotopică a continuării analitice și corolarul acesteia, teorema monodromiei .

Funcție analitică completă

După ce au dezvoltat aparatul de continuare analitică de-a lungul căilor, acum este posibil să trecem de la funcția analitică originală prin elemente analitice și canonice la un concept mai general - funcția analitică completă . Acest termen va desemna ansamblul tuturor elementelor canonice obținute din orice element inițial prin metoda continuării analitice în raport cu toate curbele Jordan posibile care permit o astfel de extindere și își au originea în punctul - centrul elementului . $P$ $z_{0}$ $P$

Structura internă a unui astfel de concept foarte abstract este clarificată de teorema Poincaré-Volterra , care spune că în fiecare punct al domeniului său de definiție, o funcție analitică completă poate avea cel mult un set numărabil de elemente centrate în acest punct.

Importanţa conceptului de funcţie analitică completă constă în faptul că permite studierea conceptului de punct singular dintr-un punct de vedere mai general . Și anume, punctele singulare pentru o funcție analitică completă sunt pur și simplu punctele graniței domeniului său de definiție. În funcție de comportamentul funcției în vecinătatea acestor puncte, caracterul acestora este determinat.

Luați în considerare un punct singular pentru o funcție analitică completă și o parte din vecinătatea ei perforată , care aparține domeniului definiției . Alegem o curbă Jordan închisă . Dacă continuarea analitică de-a lungul unei curbe are ca rezultat același element, atunci punctul se numește punct singular cu o singură valoare și este interpretat pur și simplu ca un punct singular izolat ; dacă rezultatul continuării analitice este deja un alt element, atunci punctul se numește punct singular al unui caracter cu mai multe valori sau punct de ramură . $z_{0}$ $\mathbf {f}$ ${\punct {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}$ $\mathbf {f}$ $\Gamma \subset {\dot {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}$ $\Gamma$

Teorema lui Hadamard

Pentru seria de putere

f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k

pentru care aproape toți coeficienții sunt egali cu zero, în sensul că șirul de numere de coeficienți nenuli satisface $k(i)$

\lim_{i\to\infty} \frac{k(i+1)}{k(i)} > 1 + \delta \,

pentru unele fixe δ > 0 , cercul cu centrul z 0 și raza egală cu raza de convergență este o limită naturală — continuarea analitică a funcției definite de o astfel de serie este imposibilă în afara cercului.

Generalizări și concepte înrudite

Continuarea analitică poate fi considerată pe domenii nu numai în planul complex, ci și pe suprafețele Riemann și, mai general, pe varietăți complexe : D trebuie să fie o varietate complexă și C o submulțime a acesteia. Dacă C este un domeniu în D și pentru orice domeniu C′ : C ⊂ C′ ⊂ D' există o funcție care este holomorfă pe C dar nu poate fi extinsă la C′ , atunci C se numește domeniu holomorf . În cazul complex-unidimensional, fiecare domeniu este un domeniu al holomorfiei; în cazul multidimensional, acesta nu este cazul.

Se poate lua în considerare și continuarea analitică din mulțimile C care nu sunt regiuni, de exemplu, din linia reală . În acest caz, funcția f este definită inițial pe o mulțime deschisă (dependentă de funcție) care conține C .

Vezi și

Literatură

Evgrafov M. A. Funcții analitice. - Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare — M .: Nauka , 1968 . — 472 p.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Metode ale teoriei funcțiilor unei variabile complexe. - a 4-a ed. — M .: Nauka , 1972 .
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka , 1969 . — 577 p.