Biquaternion

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 octombrie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Biquaternionii sunt o complexificare (extensie) a cuaternionilor obișnuiți (reali) .

Definiție

Biquaternionii pot fi descriși ca seturi de numere de forma „ ”, unde w, x, y, z sunt unul sau altul „ numere complexe speciale ”. O metodă alternativă de introducere este procedura Cayley-Dixon : acestea sunt numere hipercomplexe de forma " ", unde a, b sunt orice cuaternioni , iar I este " unitatea de extensie imaginară ". Sunt cunoscute trei tipuri diferite de biquaternioni, în funcție de tipul de numere „complexe” pe care se bazează această reprezentare (cu alte cuvinte, care sunt proprietățile operației de multiplicare extensibilă pentru numărul „ I ”): $w+xi+yj+zk$ $a+Ib$

eliptică (obișnuită) (dacă ); $I^{2}=-1$
parabolic (dual) (dacă ); $I^{2}=0$
hiperbolic (dublu) (dacă ) $I^{2}=+1.$

Istoric și aplicații

Hamilton a scris despre biquaternii obișnuiți în 1844 (vezi Proceedings of the Royal Irish Academy 1844 and 1850 p. 388). Cei mai proeminenți susținători ai acestor biquaternioni ar trebui să includă Alexander Macfarlane , Arthur W. Conway , Ludwik Silberstein și Cornelius Lanczos . Cvasifera unității biquaternion oferă o reprezentare a grupului Lorentz , pe care se bazează relativitatea specială .

Cuaternionii dubli au fost studiati de William Clifford . Cuaternionii duali oferă instrumental o analiză non-standard a cuaternionilor obișnuiți. Mai departe, dacă nu este specificat, vorbim despre biquaternioni obișnuiți.

Proprietăți

„Algebra biquaterniilor” este produsul tensor al algebrelor ⊗ (preluat numerelor reale ), unde este una sau alta algebră a numerelor complexe și este algebra cuaternionilor obișnuiți (reale) . Ca o algebră, biquaternionii sunt izomorfi cu algebra matricelor complexe 2x2 M 2 ( ). $\mathbb {C}$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$

Reprezentare matrice

Există trei matrice complexe cu o unitate imaginară , pentru care: = În plus, pătratul fiecăreia dintre aceste matrice este „minus matricea de identitate ”, iar dacă produsul acestor matrici este comparat cu produsul numerelor . Obținem că subgrupul grupului de matrice generat de aceste matrici este izomorf cu grupul de cuaternion . Prin urmare, dacă atribuim un biquaternion unei matrice , atunci pentru o matrice complexă 2×2 dată, există întotdeauna cantități complexe în această formă. Cu alte cuvinte, inelul matricelor complexe este izomorf [1] cu inelul biquaternionilor (obișnuiți). $h$ ${\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}.$ $ij=k;ji=-k$ ${\begin{pmatrix}u+iv&w+ix\\-w+ix&u-iv\end{pmatrix}}$ $q=u+iv+jw+kx$ $u,v,w,x$

Reprezentare scalară-vectorală

Un biquaternion arbitrar este suma (mănunchiul) unui număr cu valori complexe ("scalar") și a unui vector tridimensional [2] : $A$ $\alpha =Sc(A)$ $\mathbf {a} =Vc(A)$

A=\alpha +\mathbf {a} =(\alpha ,\mathbf {a} )

Sunt posibile două tipuri de reprezentare scalară-vectorală, în funcție de tipul de produs al doi biquaternioni. Ambele reprezentări sunt echivalente. În cazul reprezentării standard , produsul și are forma [3] : $A=(\alpha ,\mathbf {a} )$ $B=(\beta,\mathbf {b} )$

AB=(\alpha \beta -(\mathbf {a} \mathbf {b}), \alpha \mathbf {b} +\beta \mathbf {a} +[\mathbf {a} \mathbf {b} } ])

unde și sunt produsele scalare și , respectiv, vectoriale . $(\mathbf {a} \mathbf {b} )$ $[\mathbf {a} \mathbf {b} ]$

În cazul unei reprezentări complexe [4] :

AB=(\alpha \beta +(\mathbf {a} \mathbf {b}), \alpha \mathbf {b} +\beta \mathbf {a} +i[\mathbf {a} \mathbf { b} ])

Produsul definit în acest fel pentru doi biquaternioni reali dă în general un biquaternion cu valoare complexă.

Biquaternionul conjugat la dat este: $A=(\alpha ,\mathbf {a} )$

{\overline {A}}=(\alpha ,-\mathbf {a} )

Pătratul modulului unui biquaternion este un număr complex: $A=(\alpha ,\mathbf {a} )$

|A|^{2}=A{\overline {A}}={\overline {A}}A=\alpha ^{2}-\mathbf {a} ^{2}

Acesta din urmă are proprietatea multiplicativă:

|AB|^{2}=|A|^{2}|B|^{2}

Operațiile de conjugare și conjugare complexă aplicate produsului biquaternionilor modifică ordinea factorilor:

{\overline {AB}}={\overline {B}}{\overline {A}}

(AB)^{*}=B^{*}A^{*}

Toți biquaternionii sunt subdivizați în cuaternioni nuli - cu un modul zero pătrat, iar restul - biquaternioni non- zero . Fiecare dintre aceste clase este închisă sub operația de înmulțire.

Subalgebre

Când se consideră biquaternionii (obișnuiți) ca o algebră peste câmpul numerelor reale, mulțimea formează o bază , această algebră are o dimensiune spațială reală de opt. În plus, pătratele tuturor elementelor sunt egale . Aceasta înseamnă că subalgebra reală , formată din , este izomorfă cu inelul , care este format din numere duble (cu o structură algebrică similară cu cea construită peste hiperbola unității ). Elementele definesc aceleași subalgebre. $\mathbb {R}$ $\{1,I,i,Ii,j,Ij,k,Ik\}$ $Ii,Ij,Ik$ $+1$ $\lbrace x+y(Ii):x,y\in R\rbrace$ $Ij,Ik$

Elementele formează o subalgebră izomorfă cu numerele bicomplexe . $\lbrace x+yj:x,y\în C\rbrace$

Al treilea fel de subalgebră, așa-numita. „ coquaternions ”, se generează , deoarece subspațiul liniar real cu o bază este închis în înmulțire (la urma urmei , . Baza indicată formează grupul diedric al pătratului, iar coquaternions sunt izomorfe la algebra matricelor reale 2x2. $Ij,Ik$ $\{1,i,Ij,Ik\}$ $Ij\cdot Ik=-i$

Mecanica cuantică și algebra spinorului tratează biquaternionii ( sau negația lor) considerându-i în reprezentare ca matrici Pauli . $Ii,Ij,Ik$ $M(2,C)$

Note

↑ Leonard Dickson (1914) Linear Algebras , § 13 „Echivalența algebrelor complexe de cuaternion și matrice”, p.13
↑ L. Silberstein, Quaternionic Form of Relativity , Philos. Mag. S., 6, voi. 23, nr. 137, p. 790-809, 1912.
↑ A. A. Alekseeva, Algebra diferențială a biquaternionilor. Transformările Lorentz ale ecuațiilor biunde , Mathematical Journal, Almaty, voi. 10, nr. 35, 2010, p.33-41
↑ S. Ya. Kotkovsky, Null vector algebra , Hypercomplex numbers in geometry and physics, 12:2(23), 2015, p.59-172

Link -uri

Biquaternioane (obișnuite) - expunere populară
Vladislav V Kravchenko Analiza Cuaternionica Aplicata . Heldermann 2003, - 134p. ISBN 3-88538-228-8 ( vezi )
Biquaternioni - concepte și proprietăți de bază ale biquaternionilor, cu un exemplu de aplicare a acestora în limbajul de programare JavaScript.

Sisteme numerice
Seturi numărabile	numere naturale ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ numere întregi ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rațional ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebric ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioadele Calculabil Aritmetic
Numerele reale și extensiile lor	Real ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Complex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Cuaternioni ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Numerele Cayley (octave, octooni) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alterniuni Dual Hipercomplex Superreale Hipermaterial ireal
Instrumente de extensie numerică	Procedura Cayley-Dixon Teorema Frobenius Teorema Hurwitz
Alte sisteme numerice	numere cardinale Numere ordinale (transfinite, ordinale) p-adic Numere supranaturale numere de interval
Vezi si	numere duble Numere irationale numerele transcendentale fascicul numeric Biquaternion