Potențialul vectorial al câmpului electromagnetic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 martie 2021; verificările necesită 9 modificări .

Potențialul vectorial al câmpului electromagnetic
${\vec A}$
Dimensiune	MLT -2 I -1
Unități
SI	Tl m $\,\cdot \,$
GHS	Gf cm $\,\cdot \,$
Note
Cantitatea de vector

Potențial vectorial al unui câmp electromagnetic, A (potențial vectorial, potențial magnetic) - în electrodinamică , potențial vectorial , al cărui rotor este egal cu inducția magnetică :

\mathbf {B} =\operatorname {putrezire} \mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {A} .

Definit până la gradientul unei funcții scalare arbitrare . Se măsoară în T m (SI) sau G cm (CGS). $\nabla \psi$ $\cdot$ $\cdot$

Potențialul vectorial (A) este componenta spațială a 4-vectorului potențialului electromagnetic .

Ecuațiile lui Maxwell

O modalitate de a scrie ecuațiile lui Maxwell este de a le formula în termeni de potențiale vectoriale și scalare.

În acest caz, ecuația este satisfăcută automat. $\operatorname {div}{\mathbf B}=0$

Înlocuirea expresiei pentru in ${\mathbf A}$

\operatorname {rot}{\mathbf E}=-{\frac {\partial {\mathbf B}}{\partial t}}

conduce la ecuație

\operatorname {putrezire} \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right)=0,

conform căruia, la fel ca în electrostatică , se introduce un potențial scalar. Cu toate acestea, acum atât potențialul scalar, cât și cel vectorial contribuie la: $\mathbf {E}$

\mathbf {E} =-\operatorname {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t)).

Din ecuație rezultă $\operatorname {rot}{\mathbf H}={\mathbf j}+{\frac {\partial {\mathbf D)){\partial t))$

\operatorname {putrecerea} \;\operatorname {putrecerea} \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\ parțial }{\partial t))\left(-\operatorname {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right).

Folosind egalitatea , ecuațiile pentru potențialele vectoriale și scalare pot fi scrise ca $\operatorname {rot}\;\operatorname {rot}{\mathbf A}=\operatorname {grad}\;\operatorname {div}{\mathbf A}-\nabla ^{2}{\mathbf A}$

\Delta \mathbf {A} -\operatorname {grad} \left(\operatorname {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2)}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t))\right)-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2 }}}=-\mu _{0}\mathbf {j} ,

\Delta \varphi +{\frac {\partial }{\partial t))\operatorname {div} \mathbf {A} =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0)}}.

Potențial vectorial și flux magnetic

În conformitate cu teorema Stokes , fluxul magnetic printr-un circuit este ușor exprimat în termeni de circulație a unui potențial vectorial de -a lungul acestui circuit: $\Phi$ $L$ $\mathbf {A}$

\Phi =\oint \limits _{L}\mathbf {A} \cdot \mathbf {dl} .

Calibrarea potențialului vectorial

Este ușor de verificat că transformările

\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi ,

\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t)),

unde este o funcție scalară arbitrară de coordonate și timp, nu modificați ecuațiile lui Maxwell ( invarianța gauge , conform teoremei lui Noether, corespunde legii conservării sarcinii electrice ). Pentru comoditatea rezolvării acestor ecuații, se impune o condiție artificială suplimentară, numită potențial gauge . Când rezolvați o altă clasă de probleme, una sau alta calibrare este mai convenabilă. Două sunt utilizate pe scară largă - ecartamentul Coulomb și ecartamentul Lorentz. $\psi$

Calibrare Coulomb

Calibrul Coulomb se numește expresia:

\operatorname {div} \mathbf {A} =0.

Această calibrare este convenabilă pentru luarea în considerare a problemelor magnetostatice (cu curenți constanti în timp).

ecartament Lorentz

Gabaritul Lorentz este condiția ca 4-divergența potențialului să fie egală cu zero (în SI):

\nabla _{\mu }A_{\mu }=\operatorname {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t }}=0.

În acest caz, ecuațiile sunt rescrise ca D'Alembertians :

\square \mathbf {A} \equiv \Delta \mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} } {\partial t^{2))}=-\mu _{0}\mathbf {j} ,

\square \varphi \equiv \Delta \varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}} }=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.

Ecuațiile scrise în această formă sunt mai convenabil de utilizat pentru rezolvarea problemelor non-staționare.

Semnificația fizică a potențialului vectorial

De obicei se crede că potențialul vectorial este o mărime care nu are o semnificație fizică directă, introdusă doar pentru comoditatea calculelor. Cu toate acestea, a fost posibil să se înființeze experimente care au arătat că potențialul vectorial este accesibil măsurării directe. Așa cum potențialul electrostatic este legat de conceptul de energie , potențialul vectorial este strâns legat de conceptul de impuls .

Defazare mecanică cuantică

Influența unui câmp magnetic asupra mișcării unei particule cuantice duce la o schimbare de fază [1] [2] :

\Delta \varphi _{H}={\frac {e}{\hbar c}}\int _{{S}}^{{}}({\mathbf {A}),\;d{\mathbf { l}}),

unde este sarcina electronului , este viteza luminii în vid, este constanta Planck redusă , este potențialul vectorial al câmpului magnetic și este elementul traiectoriei particulei. $e$ $c$ $\hbar$ $\mathbf {A}$ $d{\mathbf {l}}$

În acest caz, apare și o schimbare de fază atunci când particula trece prin regiuni în care , nu este doar egal cu zero . De exemplu, acest lucru se întâmplă când se observă efectul Aharonov-Bohm [3] . ${\mathbf B}=0$ ${\mathbf A}$

Momentul generalizat

Când o particulă se mișcă într-un câmp electromagnetic, impulsul total nu este doar , ci . În consecință, atunci când o particulă se mișcă într-un câmp pur magnetic, tocmai această cantitate este conservată. Există o analogie cu energia totală a unei particule , care poate fi considerată suma energiei cinetice și potențiale . ${\mathbf {P}}$ ${\mathbf {p}}={\frac {m{\mathbf {v}}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$ ${\mathbf {p}}+q{\mathbf {A}}$ $E=T+U={\frac {mc^{2}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}+q\varphi$

Momentul unei particule în timpul unei opriri rapide a câmpului magnetic

Dacă o particulă încărcată este situată în apropierea unei surse de câmp magnetic, care este oprită rapid la un anumit moment în timp, atunci capătă un impuls suplimentar chiar dacă a fost zero în punctul în care a fost localizată particula (de exemplu, de la exteriorul solenoidului). În special, dacă particula era în repaus înainte ca câmpul să fie oprit, atunci începe să se miște cu un impuls egal cu . Astfel, avem posibilitatea de a măsura direct potențialul vectorial într-un sistem macroscopic. $\Delta {\mathbf {p}}=q{\mathbf {A}}$ $\mathbf {B}$ $q{\mathbf {A}}$

Concluzie

Când potențialul vectorial se modifică, apare un câmp electric:

\mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t)).

Scriem a doua lege a lui Newton într-o formă generalizată:

{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=\mathbf {F} ,

{\frac {d\mathbf {p} {dt)}=q\mathbf {E} +q[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]=-q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+q[\mathbf {v} \times [\nabla \times \mathbf {A} ]].

Dacă câmpul este oprit suficient de repede și viteza particulelor este scăzută, atunci

{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\gg [\mathbf {v} \times [\nabla \times \mathbf {A} ]],

iar derivata parțială în funcție de timp coincide practic cu totalul:

{\frac {d\mathbf {A} {dt)}={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\ mathbf {A} \aprox {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t)).

Total avem:

{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=-q{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}.

Integram in timp:

\mathbf {p} '-\mathbf {p} =-q(\mathbf {A} '-\mathbf {A}).

Și de când primim ${\mathbf {A}}'=0$ $\Delta \mathbf {p} =q\mathbf {A} .$

Unități de măsură

În sistemul SI , unitatea de potențial vectorial este weber pe metru ( Wb/ m , dimensiunea - V s / m = kg m s −2 A −1 ) .

Vezi și

Note

↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Lectures on Physics. - M . : Mir, 1966. - T. 6. - 344 p.
↑ Feynman R., Hibs A. Mecanica cuantică și integralele de cale. — M .: Mir, 1968. — 382 p.
↑ Aharonov, Y. și D. Bohm. Semnificația potențialelor electromagnetice în teoria cuantică // Fiz. Rev.. - 1959. - T. 115 .

Literatură

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoria câmpului. - (" Fizica teoretică ", Volumul II).
Savelev I. V. Curs de fizică. T.2. electricitate și magnetism. Val. Optica.- 1982. - 496 p.