Spatiu complet deconectat

În topologie și ramurile conexe ale matematicii , un spațiu total deconectat ( deconectat ereditar , dispersat ) este un spațiu topologic care nu are submulțimi conectate non-triviale . În orice spațiu topologic, mulțimea goală și mulțimile cu un punct sunt conectate. Într-un spațiu complet deconectat, acestea sunt singurele subseturi conectate.

Un exemplu important de spațiu complet deconectat este setul Cantor . Un alt exemplu care joacă un rol cheie în teoria numerelor algebrice este câmpul p - adic al numărului . ${\mathbb {Q}}_{p}$

Definiție

Se spune că un spațiu topologic X este complet deconectat dacă doar mulțimi de un punct sunt componente conectate ale lui X.

Exemple

Spațiu discret
Set de numere raționale
Multe numere iraționale
Mulțimea numerelor p -adice .
- Mai general, complet deconectate sunt grupurile profinite
Setul Cantor
Spațiul Baer (Teoria mulțimilor)
Direct Sorgenfrey
Spațiul Hausdorff zero-dimensional
T 1 -spaţiu zero-dimensional
Spațiu Hausdorff extrem de deconectat
Space space
Ventilatorul Knaster-Kuratowski este un exemplu de spațiu conectat care devine complet deconectat atunci când este îndepărtat un singur punct.

Proprietăți

Subspațiile , produsele și coprodusele spațiilor complet deconectate sunt complet deconectate.
Spațiile complet deconectate sunt spații T 1 dacă punctele sunt închise .
Sub o mapare continuă , imaginea unui spațiu total deconectat este, în general, nu neapărat complet deconectată.
Un spațiu Hausdorff compact local este zero-dimensional dacă și numai dacă este complet deconectat.
Orice spațiu metric compact complet deconectat este homeomorf la un subset al unui produs numărabil al spațiilor discrete .

Construcția unui spațiu deconectat

Fie un spațiu topologic arbitrar. Fie dacă și numai dacă (unde denotă submulțimea maximă conectată care conține ). Evident, relația este o relație de echivalență , prin urmare, se poate construi spațiul de coeficient corespunzător Topologia on este indusă în mod natural de topologia on , și anume, submulțimile deschise sunt exact acele mulțimi de clase de echivalență a căror imagine inversă sub maparea de factorizare este deschisă. în Cu puțin efort, se poate arăta ceea ce este destul de incoerent. Avem, de asemenea, următoarea proprietate universală : dacă este o mapare continuă într-un spațiu complet deconectat, atunci este reprezentabilă în mod unic în forma în care maparea este continuă și este maparea de factorizare. $X$ $x\sim y$ $y\in {\mathrm {conn}}(x)$ ${\mathrm {conn}}(x)$ $X$ $\sim$ $X/{\sim }.$ $X/{\sim }$ $X,$ $X/{\sim }$ $X.$ $X/{\sim }$ $f:X\rightarrow Y$ $f={\breve {f}}\circ m,$ ${\breve {f}}:(X/\sim )\rightarrow Y$ $m$

Vezi și

Link -uri

Spațiu total deconectat - Encyclopedia of Mathematics , ISBN 1402006098 .