Curbă convexă

O curbă convexă  este o curbă în planul euclidian care se află pe o parte a oricărei linii tangente.

Limita unei mulțimi convexe mărginite este întotdeauna o curbă convexă.

Definiții

Definirea cu linii de sprijin

Orice linie dreaptă împarte planul euclidian în două semiplane , care la unire dau întregul plan și a căror intersecție coincide cu , curba „se află pe o parte a ” dacă este complet cuprinsă în unul dintre aceste semiplane. O curbă plană se numește convexă dacă se află pe o parte a oricăreia dintre liniile sale tangente [1] . Cu alte cuvinte, o curbă convexă este o curbă care are o linie de sprijin în fiecare punct al curbei.

Definiție cu mulțimi convexe

O curbă convexă poate fi definită ca granița unei mulțimi convexe în planul euclidian . Aceasta înseamnă că o curbă convexă este întotdeauna închisă (adică nu are puncte finale) [2] .

Uneori se folosește o definiție mai slabă în care o curbă convexă este o submulțime a limitei unei mulțimi convexe. în acest exemplu de realizare, curba convexă poate avea puncte de capăt.

Curbă strict convexă

O curbă strict convexă  este o curbă convexă care nu conține segmente . În mod echivalent, o curbă strict convexă este o curbă care intersectează orice linie în maximum două puncte [3] [4] , sau o simplă curbă închisă într-o poziție convexă , ceea ce înseamnă că niciun punct de pe curbă nu poate fi reprezentat ca o combinație convexă orice altă submulțime a punctelor sale.

Proprietăți

Orice curbă convexă are o lungime finită bine definită . Astfel, o curbă convexă este un subset de curbe rectificabile [2] .

Conform teoremei celor patru vârfuri, orice curbă are cel puțin patru vârfuri , puncte în care se atinge un minim sau maxim local de curbură [4] [5] .

Tangente paralele

O curbă închisă este convexă dacă și numai dacă nu există trei puncte distincte pe curbă, astfel încât tangentele din aceste puncte să fie paralele.

Monotonia unghiului de înclinare

O curbă se numește simplă dacă nu se intersectează. O curbă simplă în plan regulat închis este convexă dacă și numai dacă curbura sa este fie întotdeauna pozitivă, fie întotdeauna negativă. Adică, unghiul său de pantă (unghiul tangentei la curbă în raport cu axa) este o funcție slab monotonă a parametrizării curbei [1] .

Cifre aferente

Curbele netede convexe cu simetrie axială sunt uneori numite ovale [6] . Cu toate acestea, în geometria proiectivă finită , ovalele sunt definite ca mulțimi în care orice punct are o singură tangentă, ceea ce este adevărat în geometria euclidiană în cazul curbelor netede închise strict convexe.

Vezi și

• Listă de subiecte după convexitate

Note

1. ↑ 1 2 A. Gri. Geometrie diferențială modernă a curbelor și suprafețelor. — al 2-lea. - New-York: CRC Press, 1997. - S. 163-165. — ISBN 0849371643 .
2. ↑ 1 2 V. A. Toponogov. Geometria diferențială a curbelor și suprafețelor: manual pentru universități. - M . : Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .
3. ↑ J. Dieudonne. Tratat de analiză. - New York: Academic Press, 1988. - T. IV. - (Matematică pură și aplicată). - ISBN 0-12-215504-1 (v.4).
4. ↑ 1 2 Christian Bar. Geometrie diferențială elementară. - Cambridge University Press, 2010. - P. 49. - ISBN 9780521896719 .
5. ↑ D. DeTruck, H. Gluck, D. Pomerleano, DS Vick. Teorema celor patru vârfuri și inversul său // Notices of the American Mathematical Society. - 2007. - T. 54 , nr. 2 . - S. 9268 . — Cod biblic . — arXiv : math/0609268 .
6. ↑ Steven Schwartzman. Cuvintele matematicii: un dicționar etimologic al termenilor matematici utilizați în engleză . - Mathematical Association of America, 1994. - P.  156 . — (spectrul MAA). — ISBN 9780883855119 .