Functie convexa

O funcție convexă ( funcție convexă în sus ) este o funcție pentru care segmentul dintre oricare două puncte ale graficului său din spațiul vectorial nu se află mai mare decât arcul corespunzător al graficului. În mod echivalent: convex este o funcție al cărei subgraf este o mulțime convexă .

O funcție concavă ( funcția convexă în jos ) este o funcție a cărei coardă între oricare două puncte ale graficului nu este mai mică decât arcul format al graficului sau, în mod echivalent, a cărei epigraf este o mulțime convexă.

Conceptele de funcții convexe și concave sunt duale , în plus, unii autori definesc o funcție convexă ca fiind concavă, și invers [1] . Uneori, pentru a evita neînțelegerile, se folosesc termeni mai explici: funcție convexă în jos și funcție convexă în sus.

Conceptul este important pentru analiza matematică clasică și analiza funcțională , unde funcționalele convexe sunt studiate în special , precum și pentru aplicații precum teoria optimizării , unde se distinge o subsecțiune specializată - analiza convexă .

Definiții

O funcție numerică definită pe un anumit interval (în general, pe o submulțime convexă a unui spațiu vectorial ) este convexă dacă pentru oricare două valori ale argumentului și pentru orice număr , inegalitatea lui Jensen este valabilă : $X$ $y$ $t\in\left[0,1\right]$

f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y) \dreapta)

Note

Dacă această inegalitate este strictă pentru toți și , atunci se spune că funcția este strict convexă . $t\in\left(0,1\right)$ $x\ney$
Dacă inegalitatea inversă este valabilă, se spune că funcția este concavă (respectiv, strict concavă în cazul strict).
Dacă pentru unii inegalitatea mai puternică este valabilă $\varepsilon >0$ $f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y) \right)-\varepsilon t\left(1-t\right)\left|xy\right|^{2}$

atunci se spune că funcția este puternic convexă .

Proprietăți

O funcție care este convexă pe un interval este continuă pe tot , diferențiabilă pe orice , cu excepția cel mult unui set numărabil de puncte și diferențiabilă de două ori aproape peste tot . $f$ ${\mathbb {I}}$ ${\mathbb {I}}$ ${\mathbb {I}}$
Orice funcție convexă este subdiferențiabilă (are o subdiferențială ) pe întregul domeniu de definiție.
O funcție convexă are un hiperplan de sprijin al epigrafului său care trece prin orice punct .
O funcție continuă este convexă dacă și numai dacă inegalitatea $f$ ${\mathbb {I}}$ $x,y\în {\mathbb {I}}$ $f\left({\dfrac {x+y}{2}}\right)\leqslant {\frac {f\left(x\right)+f\left(y\right)}{2}}$
O funcție diferențiabilă continuu a unei variabile este convexă pe un interval dacă și numai dacă graficul său nu se află sub tangentei ( hiperplanul de referință ) desenat la acest grafic în orice punct al intervalului de convexitate.
O funcție convexă a unei variabile pe un interval are derivate din stânga și din dreapta; derivata stângă într-un punct este mai mică sau egală cu derivata dreaptă; derivata unei funcții convexe este o funcție nedescrescătoare.
O funcție de două ori diferențiabilă a unei variabile este convexă pe un interval dacă și numai dacă derivata a doua a acesteia este nenegativă pe acest interval. Dacă derivata a doua a unei funcții diferențiabile de două ori este strict pozitivă, atunci o astfel de funcție este strict convexă, dar inversul nu este adevărat (de exemplu, funcția este strict convexă pe , dar derivata a doua într-un punct este egală cu zero) . $f\left(x\right)=x^{4)$ $\stanga[-1,1\dreapta]$ $x=0$
Dacă funcțiile , sunt convexe, atunci oricare dintre combinațiile lor liniare cu coeficienți pozitivi , este de asemenea convexă. $f$ $g$ $af+bg$ $A$ $b$
Minimul local al unei funcții convexe este și minimul global (respectiv, pentru funcțiile convexe în sus, maximul local este maximul global).
Orice punct staționar al unei funcții convexe va fi un extremum global.

Note

↑ Klyushin V. L. Matematică superioară pentru economiști / ed. I. V. Martynova. - Ediție educațională. - M. : Infra-M, 2006. - S. 229. - 448 p. — ISBN 5-16-002752-1 .

Literatură

Convexitate și concavitate / Telyakovsky S. A. // Marea Enciclopedie Rusă : [în 35 de volume] / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.
Convexitate și concavitate // Kazahstan. Enciclopedia Națională . - Almaty: Enciclopedii kazahe , 2004. - T. I. - ISBN 9965-9389-9-7 . (Rusă) (CC BY SA 3.0)