Hiperbola lui Cypert

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 6 februarie 2020; verificările necesită 2 modificări .

O hiperbolă Kiepert este o hiperbolă definită de un triunghi dat . Dacă acesta din urmă este un triunghi în poziție generală, atunci această hiperbolă este singura secțiune conică care trece prin vârfurile sale, ortocentrul și centroidul .

Definiție prin conjugare izogonală

O hiperbolă Kiepert este o curbă conjugată izogonal cu o dreaptă care trece prin punctul Lemoine și centrul cercului circumscris unui triunghi dat.

Linia dreaptă care trece prin centrul cercului circumscris și punctul Lemoine se numește axa lui Brocard . Punctele Apollonius se află pe el . Cu alte cuvinte, o hiperbolă Kiepert este o curbă conjugată izogonal cu axa Brocard a unui triunghi dat.

Definiție în termeni de triunghiuri în coordonate triliniare

Definiție în termeni de triunghiuri în coordonate triliniare [1] :

Dacă trei triunghiuri , și construite pe laturile triunghiului , sunt similare , isoscele cu baze pe laturile triunghiului original și situate în mod egal (adică toate sunt construite fie din exterior, fie din interior), atunci linii și se intersectează într-un punct .

XBC

YCA

ZAB

ABC

AX

BY

CZ

N

Atunci hiperbola Kiepert poate fi definită ca locul punctelor (vezi Fig.).

N

Dacă unghiul comun la bază este , atunci vârfurile celor trei triunghiuri au următoarele coordonate triliniare: $\theta$

$X(-\sin \theta:\sin(C+\theta):\sin(B+\theta))$
$Y(\sin(C+\theta):-\sin \theta:\sin(A+\theta))$
$Z(\sin(B+\theta):\sin(A+\theta):-\sin \theta)$

Coordonatele triliniare ale unui punct arbitrar N situat pe hiperbola Kiepert

(\operatorname {cosec} (A+\theta):\operatorname {cosec} (B+\theta):\operatorname {cosec} (C+\theta ))

Ecuația hiperbolei Kiepert în coordonate triliniare

Locul punctelor când unghiul se schimbă la baza triunghiurilor între și este o hiperbolă Kiepert cu ecuația $N$ $\theta$ $-\pi /2$ $\pi/2$

{\frac {\sin(BC)}{x}}+{\frac {\sin(CA)}{y}}+{\frac {\sin(AB)}{z}}=0

unde , , sunt coordonatele triliniare ale unui punct din triunghi. $X$ $y$ $z$ $N$

Puncte cunoscute pe hiperbola Kiepert

Printre punctele aflate pe hiperbola Kiepert, există puncte atât de importante ale triunghiului [2] :

Sens $\theta$	Punct $N$
$0$	$G$ , centroid triunghiular (X2) $ABC$
$\pi/2$ (sau ) $-\pi /2$	$O$ , triunghi ortocentru (X4) $ABC$
$\operatorname {arctg} [\operatorname {tg} (A/2)\operatorname {tg} (B/2)\operatorname {tg} (C/2)]$ [3]	Spieker Center (X10)
$\pi /4$	Puncte Vecten (X485)
$-\pi /4$	Puncte Vecten (X486)
$\pi /6$	$N_1$ , primul punct al lui Napoleon (X17)
$-\pi /6$	$N_2$ , al doilea punct Napoleon (X18)
$\pi /3$	$F_{1}$ , primul punct Fermat (X13)
$-\pi /3$	$F_{2}$ , al doilea punct Fermat (X14)
$-A$ (dacă ) (dacă ) $A<\pi /2$ $\pi -A$ $A>\pi /2$	Vertex $A$
$-B$ (dacă ) (dacă ) $B<\pi /2$ $\pi -B$ $B>\pi /2$	Vertex $B$
$-C$ (dacă ) (dacă ) $C<\pi /2$ $\pi -C$ $C>\pi /2$	Vertex $C$

Lista punctelor situate pe hiperbola Kiepert

Hiperbola Kiepert trece prin următoarele centre ale triunghiului X(i) [3] :

pentru i=2, ( centroid triunghiular ),
i=4 ( Ortocentru ),
i=10 ( Centrul Spieker ; adică incentrul unui triunghi cu vârfuri la mijlocul laturilor triunghiului dat ABC [1] ),
i=13 (primul punct Fermat ), i=14 (al doilea punct Fermat ),
i=17 ( primul punct Napoleon ), i=18 ( al doilea punct Napoleon ),
i=76 (al treilea punct Brocard ),
i=83 (punct izogonal conjugat la mijlocul dintre punctele Brocard [1] ),
i=94, 96,
i=98 ( Punctul tarry = Punct tarry),
i=226, 262, 275, 321,
i=485 ( Punctul extern al lui Vecten ), i=486 ( Punctul intern al lui Vecten ),
i=598, 671, 801, 1029, 1131, 1132,
i=1139 (punct interior pentagon), i=1140 (punct exterior pentagon),
i=1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593,
i=2671 (primul punct de aur arbelos=primul punct de aur arbelos),
i=2672 (al doilea punct de aur arbelos=al doilea punct de aur arbelos),
i=2986, 2996

Generalizarea teoremei lui Leicester sub forma teoremei lui B. Gibert (2000)

B. Teorema lui Gibert (2000) generalizează teorema cercului lui Leicester și anume: orice cerc al cărui diametru este o coardă a hiperbolei Kiepert a unui triunghi și este perpendicular pe dreapta lui Euler trece prin punctele lui Fermat [4] [5] .

Istorie

Această hiperbolă a fost numită după matematicianul german Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert , care a descoperit-o (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846-1934) [1] .

Proprietăți

Hiperbola lui Kiepert este echilaterală sau echilaterală (adică asimptotele sale sunt perpendiculare), prin urmare, centrul său, indicat în Enciclopedia Centrelor Triunghiului ca X (115), se află pe cercul Euler .

Vezi și

Note

↑ 1 2 3 4 Eddy, Fritsch, 1994 , p. 188-205.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Proprietățile geometrice ale curbelor de ordinul doi. - Ed. a II-a, Suplimentar - 2011. - S. 125-126.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
↑ B. Gibert (2000): [Mesajul 1270] . Intrare în forumul online Hyacinthos, 22-08-2000. Accesat pe 2014-10-09.
↑ Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations Arhivat la 7 octombrie 2021 la Wayback Machine . Forum Geometricorum, volumul 10, paginile 175-209. MR : 2868943

Literatură

Eddy R. H., Fritsch R. . Conicile lui Ludwig Kiepert: O lecție cuprinzătoare în geometria triunghiului // Math Magazine , 1994, 67 . - P. 188-205.