Operator hipoeliptic

Un operator hipoeliptic este un operator diferențial parțial a cărui soluție fundamentală aparține clasei în toate punctele din spațiu, cu excepția originii. ${\displaystyle C^{\infty ))$

Definiție

Fie un polinom real în variabile $P(\xi )$ $\xi =(\xi _{1},\ldots,\xi _{n}):$

P(\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\ alfa }\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n)),

unde si . $\alpha =(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})\in \mathbb {Z} _{+}^{n)$ $|\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n)$

Definim operatorul diferential corespunzator:

P(D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }D^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha } {\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},

Unde

D=(D_{1},\ldots,D_{n}),\quad D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j))},\quad j=1, \ldots ,n.

O functie generalizata se numeste solutie fundamentala a operatorului diferential daca este o solutie a ecuatiei in care este functia delta Dirac . Un operator se numește hipoeliptic dacă aparține clasei pentru toți . [1] [2] ${\mathcal {E}}(x)$ $P(D)$ $P(D){\mathcal {E}}(x)=\delta (x),$ $\delta(x)$ $P(D)$ ${\mathcal {E}}(x)$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $x\neq 0$

Proprietăți

Următorul criteriu pentru hipoelipticitate este adesea folosit ca definiție a unui operator hipoeliptic: [1]

Teorema 1. Un operator este hipoeliptic dacă și numai dacă pentru orice domeniu deschis orice soluție (funcție generalizată) a ecuației $P(D)$ $U\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $u(x)$

P(D)\,u(x)=f(x),\quad x\in U,

cu orice latură dreaptă aparține de asemenea clasei $f\in C^{\infty }(U)$ $u\in C^{\infty}(U).$

Următorul criteriu algebric pentru hipoelipticitate, stabilit de Hörmander , este de asemenea valabil : [1]

Teorema 2. Un operator este hipoeliptic dacă și numai dacă $P(D)$

{\frac {P^{(k)}(-i\xi )}{P(-i\xi )}}\,\to \,0,\quad \ |\xi |\to \infty ,

pentru toti unde este unitatea imaginara . $k=(k_{1},\ldots,k_{n})\in \mathbb {Z} _{+}^{n},\,\ |k|\geq 1,$ $i$

Exemple

Orice operator eliptic este hipoeliptic, cum ar fi operatorul Laplace [2] .
Operatorul de căldură este hipoeliptic dar nu eliptic [2] .
Operatorul d'Alembert nu este hipoeliptic [2] .

Note

↑ 1 2 3 Hörmander L. Analiza operatorilor diferențiale parțiale liniare. - Moscova: Mir, 1986-1988.
↑ 1 2 3 4 Vladimirov V.S. Funcții generalizate în fizica matematică. - Moscova: Nauka, 1979.

Literatură

Hormander L. Analiza operatorilor diferenţiali liniari cu derivate parţiale. - Moscova: Mir, 1986-1988.
Vladimirov V.S. Funcții generalizate în fizica matematică. - Moscova: Nauka, 1979.
Yu.V. Egorov , M.A. Shubin. Ecuații diferențiale parțiale liniare. Bazele teoriei clasice . — Rezultatele științei și tehnologiei. Ser. Modern prob. mat. Fundam. directii. - Moscova: VINITI, 1988. - T. 30. - S. 5-255.
J. Trev. Prelegeri despre ecuații diferențiale parțiale liniare cu coeficienți constanți. - Moscova, 1965.

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare