Simetria oglindă omologică este o presupunere matematică propusă de Maxim Kontsevich . Ea a apărut ca o încercare de a dezvălui natura matematică a unui fenomen observat pentru prima dată de fizicieni în teoria corzilor .
Într-un mesaj către Congresul Internațional de Matematică din 1994 de la Zurich , Kontsevich a sugerat că simetria în oglindă pentru o pereche de varietati Calabi-Yau X și Y poate fi explicată ca o echivalență a unei categorii triangulate , obținută prin metodele geometriei algebrice ( derivata a categoriei snopi coerente pe X ) și o altă categorie triangulată, construită folosind geometria simplectică (derivata categoriei Fukaya pe Y ).
Edward Witten a descris inițial răsucirea topologică a teoriei câmpului supersimetric N=(2,2) în ceea ce el a numit modelele A și B ale teoriei topologice a corzilor . Aceste modele iau în considerare mapările suprafețelor Riemann în așa-numitele spații țintă , de obicei varietăți Calabi-Yau. Cele mai multe dintre predicțiile matematice ale simetriei oglinzii se încadrează în cadrul echivalenței modelului A pe Y și a modelului B pe oglinda sa X , cunoscută din fizică . Suprafețele Riemann, care sunt varietăți fără graniță, pot fi foaia mondială a unui șir închis. Pentru a descrie cazul șirurilor deschise, mai trebuie să specificați condițiile la limită care, în plus, păstrează supersimetria. În modelul A, aceste condiții la limită iau forma subvarietăților lagrangiene ale lui Y cu o structură suplimentară (uneori numită structură brană). În modelul B, aceste condiții la limită iau forma unor subvariete holomorfe ale lui X cu un mănunchi de vector holomorf pe ele. Aceste obiecte sunt folosite pentru a construi categoriile triangulate descrise. Ele sunt numite A- și, respectiv, B-brane. Morfismele din aceste categorii sunt toate șiruri deschise fără masă întinse între două brane.
Pentru șirurile închise, modelele A și B acoperă doar sectorul topologic, o mică parte din întreaga teorie a corzilor. În mod similar, branele din aceste modele sunt doar aproximări topologice la obiectul dinamic complet - D-branele . Într-un fel sau altul, matematica, chiar și în acest mic sector al teoriei corzilor, este atât profundă, cât și dificilă.
Matematicienii au putut testa această ipoteză doar cu câteva exemple. În mesajul său original, Kontsevich a menționat că presupunerea ar putea fi dovedită pentru curbele eliptice folosind funcții theta . În urma acestei sugestii, Eric Zaslow și un alt matematician au prezentat o dovadă a acestei conjecturi pentru curbele eliptice. Kenji Fukaya a dat fragmente din dovezi pentru soiurile abeliene . Mai târziu, Kontsevich și Jan Soibelman au oferit o dovadă a unei părți esențiale a conjecturii în discuție pentru pachetele torice non-singulare peste varietăți afine folosind ideile conjecturii SYZ . În 2003, Paul Seidel a demonstrat conjectura quartică .
Tabelul de mai jos se numește diamantul Hodge. Aici h p , q — dimensiunile spațiilor ( p , q )-forme diferențiale — sunt dispuse astfel încât coordonatele ( p , q ) să formeze laturile rombului. În cazul tridimensional, p și q rulează valori întregi de la zero la trei, iar rombul Hodge, de exemplu, pentru o varietate complexă bidimensională arată astfel:
h 2,2 h 2,1 h 1,2 h 2,0 h 1,1 h 0,2 h 1,0 h 0,1 h 0,0În cazul unei curbe eliptice , care este o varietate complexă unidimensională Calabi-Yau, diamantul Hodge este deosebit de simplu:
unu unsprezece unuÎn cazul unei suprafețe K3 , care este o varietate complexă bidimensională Calabi-Yau, deoarece numerele sale Betti sunt {1, 0, 22, 0, 1}, diamantul Hodge arată astfel:
unu 0 0 1 20 1 0 0 unuVarietățile Calabi-Yau de dimensiunea complexă trei sunt primul exemplu non-trivial de simetrie în oglindă. Perechile care sunt simetrice în oglindă între ele (să le numim M și W) sunt mapate una în cealaltă cu simetrie în jurul unei linii verticale.
Rombul Hodge al varietatii M :
unu 0 0 0 la 0 1 b b 1 0 la 0 0 0 unuRombul Hodge al varietatii W :
unu 0 0 0 b 0 1 a a 1 0 b 0 0 0 unuM și W corespund modelelor A și B din teoria corzilor. Simetria în oglindă nu schimbă doar numerele Betti, ci schimbă structurile simplectice și complexe ale varietăților simetrice în oglindă. Aceasta este esența simetriei oglinzii omologice.