Spațiul Calabi-Yau

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 14 aprilie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Spațiul Calabi-Yau ( varietatea Calabi-Yau ) este o varietate complexă compactă cu o metrică Kähler pentru care tensorul Ricci dispare. În teoria superstringurilor , uneori se presupune că dimensiunile suplimentare ale spațiu -timpului iau forma unei varietăți Calabi-Yau cu 6 dimensiuni, ceea ce duce la ideea de simetrie a oglinzii . Numele a fost inventat în 1985 [1] , în onoarea lui Eugenio Calabi , care a sugerat pentru prima dată [2] [3] că ar putea exista asemenea dimensiuni, și Yau Shintuna , care în 1978 a dovedit [4] conjectura lui Calabi .

Un spațiu Calabi-Yau complex -dimensional este o varietate Riemanniană -dimensională cu o metrică Ricci-plată și o structură simplică suplimentară . $n$ $2n$

Orientabilitate și orientabilitate holomorfă

Varietățile netede sunt împărțite în orientabile și neorientabile. Din punct de vedere istoric, primul exemplu de varietate neorientabilă a fost banda Möbius (și într-un sens acesta este cel mai important exemplu: o varietate netedă bidimensională este neorientabilă dacă și numai dacă conține o bandă Möbius). În ceea ce privește formele diferențiale , condiția de orientabilitate se formulează astfel: o varietate este orientabilă dacă și numai dacă admite o formă diferențială de cel mai înalt grad care nu dispare nicăieri ( forma de volum ). În geometrie, varietățile neorientabile sunt mai mult o curiozitate, deoarece orice varietate neorientabilă admite o acoperire dublă al cărei spațiu total este orientabil (așa-numita acoperire orientativă). Este convenabil să-l construiți folosind teoria pachetelor vectoriale . Și anume, trebuie să luăm în considerare cel mai înalt grad exterior al mănunchiului cotangent - cu alte cuvinte, atârnând peste fiecare punct o linie reală care parametriză toate formele posibile de volum pe spațiul tangent în acest punct, alegeți în fiecare strat produsul scalar (pentru de exemplu, folosind împărțirea unității ), și apoi luând în considerare în ea vectori de lungime unitară (adică doi vectori deasupra fiecărui punct). Spațiul tangent în punctul , unde p este un punct al varietății noastre și a este un element de volum diferit de zero, este proiectat izomorf pe , iar prin introducerea unui element de volum în el egal cu , obținem o formă disparibilă nicăieri de cel mai înalt grad pe spațiul total al acestui înveliș. O construcție similară, atunci când fiecare punct este înlocuit cu un spațiu care parametrizează tot felul de structuri de o anumită natură în acest punct (în acest caz, o pereche de puncte), apoi se introduce o structură pe spațiul fibros rezultat, în mai mult. cazurile complexe se numesc o construcție twistor . $(p,\nu )$ $\nu \in \Lambda ^{n}T_{p}^{*}$ $T_{p}$ $\nu$

Toate cele de mai sus se aplică numai varietăților netede reale (adică constând din hărți, funcțiile de tranziție între care sunt diferențiabile la infinit). În geometria complexă se pot da următoarele

Definiție. Fie o varietate complexă de dimensiune complexă . Un fascicul holomorf a cărui fibră într-un punct este o putere exterioară complexă se numește fascicul canonic . Dacă o varietate admite o secțiune holomorfă degenerată nicăieri a fasciculului canonic, se numește o varietate Calabi-Yau , iar această secțiune este numită o formă de volum holomorfă . $X$ $n$ $K_{X}$ $K_{x)$ $x\în X$ $\Lambda _{\mathbb {C} }^{n}T_{x}^{*}$ $X$

De exemplu, când este o curbă complexă sau o suprafață Riemann , fascicul canonic este doar un fascicul cotangent holomorf. Secțiunile sale sunt forme 1 holomorfe sau diferențiale abeliene . Singura suprafață Riemann care permite o diferență abeliană fără zerouri este torul, adică curba eliptică . $X$

În același timp, există o oarecare confuzie în terminologie (care va fi explicată mai jos): uneori soiurile Calabi-Yau sunt necesare pentru a dispărea (sau cel puțin finit) grupul fundamental. Unii autori merg chiar mai departe și referă definiția lui „Calabi-Yau” doar la acele varietăți pentru care numerele Hodge sunt toate egale cu zero la (adepții unei convenții mai slabe numesc astfel de varietăți „strict Calabi-Yau”). Aproape toți autorii solicită condiția Kähleriană , care a priori nu are legătură cu prezența unei forme de volum holomorfe. În cele din urmă, pentru matematicieni, cu excepția cazului în care se specifică altfel, se presupune că varietățile Calabi-Yau sunt compacte, dar varietățile Calabi-Yau necompacte sunt de asemenea importante în aplicații: în astfel de cazuri, este obișnuit să se includă în definiție o condiție asupra asimptoticului. comportarea formei volumului holomorf la infinit. Există și alte variații ale definiției asociate cu proprietățile geometrice diferențiale ale varietăților Calabi-Yau. În legătură cu toate acestea, varietățile care satisfac definiția de mai sus sunt uneori numite „orientabile holomorf” în jargon . De acum înainte, prin termenul „Calabi-Yau” înțelegem o varietate compactă Kähleriană orientabilă holomorfic. $h^{p,0}$ $0<p<n$

Dintr-o varietate complexă generală care nu este orientabilă holomorfic, este imposibil să se obțină o varietate Calabi-Yau prin orice construcție simplă ca o acoperire de orientare. Într-adevăr, clasa caracteristică a unui pachet complex este prima clasă Chern . Pentru a avea o formă de volum holomorfă (adică trivializare ), este necesar să anulăm această clasă. Prin comparație, clasele caracteristice ale fasciculelor de linii reale, clasele Stiefel-Whitney , iau valoare în , grupul de coomologie cu coeficienți în inelul de reziduuri modulo doi și, nu este surprinzător, dispar după o acoperire dublă adecvată. $K$ $c_{1}(K_{X})\in H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ $K_{X}$ $H^{1}(X,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

Ricci-flat metric

Pe varietățile Kähleriene , curbura Ricci are o proprietate remarcabilă: dacă este un operator al unei structuri complexe, atunci forma 2 definită ca este închisă și se află în clasa de coomologie , clasa Chern a fasciculului canonic. Acest lucru poate fi verificat, de exemplu, printr-un calcul de coordonate explicit al curburii fasciculului canonic pe o varietate Kähler și demonstrat folosind teoria Chern-Weil . Forma se numește forma Ricci . $eu$ $\rho (x,y)=\mathrm {Ric} (Ix,y)$ $c_{1}(K)$ $\rho$

Ipoteza lui Calabi (1954, 1957) a fost practic rezolvată de el – doar un moment analitic extrem de subtil, care nu avea nicio legătură directă cu geometria, nu i-a cedat. După ce această afirmație analitică a fost dovedită de Yau (1977, 1978), este pe bună dreptate numită teorema Calabi-Yau (sau soluția lui Yau la conjectura Calabi ).

Teorema. Fie o varietate Kähler compactă, forma sa Kähler și o formă reprezentând prima clasă Chern. Apoi , există o metrică Kähler astfel încât forma sa Kähler să aparțină aceleiași clase de coomologie ca (adică, forma este exactă), iar forma Ricci a metricii este . $(X,g)$ $\omega$ $R\in c_{1}(K_{X})$ $X$ ${\tilde {g)}$ ${\tilde {\omega ))$ $\omega$ ${\tilde {\omega }}-\omega$ ${\tilde {g)}$ $R$

Pentru o varietate Calabi-Yau cu , se poate aplica teorema la forma , și se poate obține un non-trivial $c_{1}(K_{X})=0$ $R=0$

Consecinţă. Pe o varietate Calabi-Yau, fiecare clasă Kahler admite o metrică Ricci-flat.

În același timp, dispariția curburii Ricci a unei varietăți Kähler nu implică încă trivialitatea fasciculului canonic (și, în consecință, prezența unei forme de volum holomorf): desigur, clasa formei Ricci în Coomologia de Rham va fi zero, dar acest lucru nu exclude faptul că clasa Chern integrală este o clasă diferită de zero în subgrupul de torsiune al lui . Uneori, astfel de soiuri sunt incluse și în definiția soiurilor Calabi-Yau. $[\rho]\in H_{\mathrm {dR} }^{2}(X)$ $c_{1}(K_{X})$ $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$

Legătura Levi-Civita a unei metrici Kahleriene Ricci-plată păstrează nu numai structura hermitiană în spații tangente (adică holonomia ei se află nu numai în grupul $\mathrm {U} (n)$ ), așa cum se întâmplă pe orice varietate Kahleriană, ci și forma volumului holomorf ( adică holonomia se află în grup ${\mathrm {SU}}(n)$ ) . Acesta este unul dintre grupurile din tabelul Berger și acesta constituie definiția geometrică diferențială a varietăților Calabi-Yau. Geometrii diferențiali refuză în mod obișnuit numele „Calabi-Yau” varietăților în care grupul de holonomie de conexiune Levi-Civita este strict conținut (ca în cazul metricilor plate pe un tor, de exemplu), și nu este exact egal cu acest grup. . ${\mathrm {SU}}(n)$

Exemple și clasificare

În cazul unidimensional, orice spațiu Calabi-Yau este un tor , care este tratat ca o curbă eliptică . În general, un tor complex de orice dimensiune este o varietate Calabi-Yau. O metrică Ricci-flat în acest caz este pur și simplu o metrică plată, iar acesta este singurul caz cunoscut în care poate fi scrisă într-o formulă digerabilă. $\mathbf {T} ^{2)$

Toate spațiile bidimensionale Calabi-Yau sunt tori și așa-numitele suprafețe K3 . Clasificarea în dimensiuni superioare nu este completă, inclusiv în cazul important tridimensional. Un exemplu de varietate Calabi-Yau -dimensională este o suprafață netedă de grad B ( sau, în general, un divizor anticanonic neted - adică nivelul zero al secțiunii pachetului dual cu cel canonic - pe orice varietate în care fasciculul anticanonic admite secţiuni). $\mathbf {T} ^{4)$ $n$ $n+2$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n+1}$

Teorema de descompunere a lui Bogomolov

Un rezultat structural important al teoriei varietăților Calabi-Yau este teorema de descompunere a lui Bogomolov (uneori Beauville - Bogomolov) .

Teorema. Orice varietate Kähler compactă având o formă de volum holomorfă (și, în consecință, o metrică Ricci-plată) admite o acoperire finită care se descompune într-un produs ortogonal , unde: $X$ $X'\la X$ $X'=T\times \prod _{i=1}^{m}Y_{i}\times \prod _{j=1}^{k}Z_{j)$

$T$ este un tor complex cu o metrică plată,
$Y_{i}$ sunt varietăți stricte Calabi-Yau, adică astfel încât pentru și , $h^{p,0}(Y_{i})=0$ $0<p<\dim Y_{i)$ $h^{0,0}(Y_{i})=h^{\dim Y_{i},0}(Y_{i})=1$
$Z_{j)$ sunt varietăți simplectice holomorf ireductibil , adică astfel încât și . $h^{2p,0}(Z_{j})=1$ $h^{2p+1,0}(Z_{j})=0$

Iată numerele lui Hodge . Varietățile simplectice holomorfe sunt cunoscute și în geometria diferențială sub numele de varietăți hiperkähler (nomenclatura în acest caz, ca și în cazul varietăților Calabi-Yau, este oarecum confuză). $h^{p,q)$

O teoremă anterioară a lui Calabi, dovedită sub ipoteza numelui său, a afirmat un fapt similar, dar fără a face distincția între Calabi-Yau strict și varietăți ireductibile holomorfic simplectice. [5] Teorema a fost dovedită (fără o notă între paranteze, nestabilită încă la acel moment) în 1974 de Bogomolov în lucrarea sa Despre descompunerea varietăților Kähleriene cu o clasă canonică trivială . [6] În 1978, Bogomolov a folosit acest rezultat pentru a demonstra că clasa de varietati simplectice holomorfe este epuizată de suprafețele K3 . Această dovadă s-a dovedit a fi eronată: în 1983, Beauville a dat exemple de varietăți simplectice holomorf ( schema Hilbert a punctelor de pe o suprafață K3 sau schema Hilbert a punctelor de pe o suprafață abeliană care însumează cu zero, așa-numita Kummer generalizată ). varietate ). În același timp, a dat o altă demonstrație, geometrică diferențială, a teoremei lui Bogomolov, bazată pe soluția lui Yau la conjectura Calabi. [7] $n$ $n+1$

Utilizare în teoria corzilor

Teoria corzilor folosește varietăți tridimensionale (dimensiunea reală 6) Calabi-Yau ca strat de compactare spațiu-timp , astfel încât fiecare punct din spațiu-timp cu patru dimensiuni să corespundă unui spațiu Calabi-Yau.

Se știe că peste 470 de milioane de spații 3D Calabi-Yau [8] îndeplinesc cerințele de dimensiune suplimentară ale teoriei corzilor.

Una dintre principalele probleme ale teoriei corzilor (dată fiind starea actuală de dezvoltare) este un astfel de eșantion din subsetul satisfăcător indicat de spații tridimensionale Calabi-Yau, care ar oferi cea mai adecvată justificare pentru numărul și componența familiilor tuturor. particule cunoscute. Fenomenul liberei alegeri a spațiilor Calabi-Yau și apariția unui număr mare de false vacuumuri în teoria corzilor în acest sens, este cunoscut ca problema peisajului teoriei corzilor . În același timp, dacă evoluțiile teoretice din acest domeniu conduc la selectarea unui singur spațiu Calabi-Yau care să satisfacă toate cerințele pentru dimensiuni suplimentare, acesta va deveni un argument foarte ponderal în favoarea adevărului teoriei corzilor [9] .

Note

↑ Candelas, Filip; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew & Witten, Edward (1985), Vacuum configurations for superstrings , Nuclear Physics B Vol. 258: 46–74 , DOI 10.1016/0550-3213(85)90602-9
↑ Calabi, Eugenio (1954), Spațiul metricii Kähler, Proc. Internat. Matematica Congresului. Amsterdam , p. 206–207
↑ Calabi, Eugenio (1957), Despre varietățile Kähler cu clasă canonică dispărută, Geometrie și topologie algebrică. Un simpozion în onoarea lui S. Lefschetz , Princeton University Press , p. 78-89, MR : 0085583
↑ Yau, Shing Tung (1978), Despre curbura Ricci a unei varietăți Kähler compacte și ecuația complexă Monge-Ampère. I , Communications on Pure and Applied Mathematics vol. 31 (3): 339-411, MR : 480350 , ISSN 0010-3640 , DOI 10.1002/cpa.3160310304
↑ E. Calabi. Pe varietățile Kähler cu clasa canonică disparibilă, geometrie algebrică și topologie. Un simpozion în onoarea lui S. Lefschetz, pp. 78–89. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1957.
↑ F. A. Bogomolov. Despre descompunerea varietăților Kähleriene cu o clasă canonică trivială Arhivat 27 iulie 2013 la Wayback Machine Mat. sat. , 1974, volumul 93(135), numărul 4, paginile 573-575
↑ A. Beauville. Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle Arhivat 21 decembrie 2019 la Wayback Machine , J. Differential Geom., Volumul 18, Numărul 4 (1983), 755-782.
↑ Shintan Yau , Steve Nadis. Teoria corzilor și dimensiunile ascunse ale Universului. - Sankt Petersburg. : Editura Piter, 2016. - 400 p. - ISBN 978-5-496-00247-9 .
↑ B. Green Elegant Universe. Superstringuri, dimensiuni ascunse și căutarea teoriei supreme . Pe. din engleză, general ed. V. O. Malyshenko, - M . : EditorialURSS, 2004. - 288 p. — ISBN 5-354-00161-7 .

Literatură

Tian, Gang & Yau, Shing-Tung (1990), Varietăți complete Kähler cu curbură Ricci zero, I , Amer. Matematică. soc. Vol. 3 (3): 579–609 , DOI 10.2307/1990928
Tian, Gang & Yau, Shing-Tung (1991), Varietăți complete Kähler cu curbură Ricci zero, II , Invent. Matematică. V. 106 (1): 27–60 , DOI 10.1007/BF01243902