Grupuri de homotopie

Grupurile de homotopie sunt un invariant al spațiilor topologice, unul dintre conceptele de bază ale topologiei algebrice .

Informal vorbind, ei clasifică mapările din sfere multidimensionale într-un spațiu topologic dat până la deformare continuă. Deși ușor de definit, grupurile de homotopie sunt foarte greu de calculat, chiar și pentru sfere. Acest lucru le diferențiază de grupurile de omologie , care sunt mai ușor de numărat, dar mai greu de definit. Cel mai simplu caz special al grupurilor de homotopie este grupul fundamental .

Definiție

Fie un spațiu topologic, ; este un cub unitar, adică , și este limita acestui cub, adică un set de puncte ale cubului astfel încât sau 1 pentru unele . Setul de clase de homotopie de mapări continue , pentru care este notat (mai mult , merge la un punct pentru toate mapările și homotopiile). Pe acest set, multiplicarea elementelor poate fi definită după cum urmează: $X$ $x_{0}\în X$ $I^{n}\subset \mathbb{R} ^{n}$ $I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}):0\leqslant t_{i}\leqslant 1\}$ $\partial I^{n}$ $t_{i}=0$ $i$ $[f]$ $f\colon I^{n}\la X$ $f(\partial I^{n})=x_{0}\in X$ $\pi _{n}(X,x_{0})$ $\partial I^{n}$ $x_{0}$

[f][g]=[f*g]

Unde

f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=f(2t_{1},t_{2},\ldots t_{n})

, dacă

0\leqslant t_{1}\leqslant {\frac {1}{2))

f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots t_{n})

, dacă

{\frac {1}{2}}\leqslant t_{1}\leqslant 1

Deoarece la limita cubului , înmulțirea este definită corect. Este ușor de verificat că depinde doar de clasa de homotopie și . Această înmulțire satisface toate axiomele grupului . În cazul în care se obține o compoziție de căi închise și deci este un grup fundamental . Pentru n>1 ele se numesc grupuri de homotopie superioare. $f=g=x_{0}$ $[f*g]$ $[f]$ $[g]$ $n=1$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi _{n}(X,x_{0})$

O mapare continuă a spațiilor corespunde unui homomorfism , iar această corespondență este functorială , adică produsul mapărilor continue corespunde produsului homomorfismelor grupurilor de homotopie , iar maparea identică corespunde homomorfismului identic . Dacă maparea este homotopică , atunci . $F\coloană (X,x_{0})\la (Y,y_{0})$ $F_{*}\colon \pi _{n}(X,x_{0})\to \pi _{n}(Y,y_{0})$ $(FG)_{*}=F_{*}G_{*}$ $(id)_{*}=id_{*}$ $F$ $G$ $F_{*}=G_{*}$

Dependența punctului de pornire

Spre deosebire de grupurile de omologie , definiția grupurilor de homotopie include un punct distinctiv . De fapt, în cazul spațiilor legate de trasee , grupurile de homotopie nu depind de alegerea unui punct, deși în cazul general nu există izomorfism canonic. $H_{n}(X)$ $\pi _{n}(X,x_{0})$ $x_{0}$

Abelianitatea grupurilor superioare de homotopie

În timp ce grupul fundamental este în general non- abelian , pentru toate n>1 ele sunt abeliene, adică . O dovadă vizuală a acestui fapt poate fi văzută în următoarea figură (zonele albastre deschise sunt mapate la un punct ): $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi _{n}(X,x_{0})$ $[f][g]=[g][f]$ $x_{0}$

Grupuri de homotopie relativă și secvențe exacte de homotopie

Grupurile de homotopie relativă sunt definite pentru un spațiu , subspațiul său și un punct distinct . Fie un cub unitar ( ), să fie limita acestui cub și să fie a fața cubului definit de ecuația . Setul de clase de homotopie de mapări continue , pentru care și pe celelalte fețe este notat (mai mult , merge la , și la un punct pentru toate mapările și homotopiile). $X$ $A\subset X$ $x_{0}\în X$ $I^{n}\subset \mathbb{R} ^{n}$ $I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots t_{n}):0\leqslant t_{i}\leqslant 1\}$ $\partial I^{n}$ $I^{{n-1}}\subset \partial I^{n}$ $t_{n}=0$ $[f]$ $f\colon I^{n}\la X$ $f\colon I^{{n-1}}\la A$ $f\colon \partial I^{n}\setminus \operatorname {Int}(I^{{n-1}})\to x_{0}$ $\pi _{n}(X,A,x_{0})$ $eu^{{n-1}}$ $A$ $\partial I^{n}\setminus \operatorname {Int}(I^{{n-1}})$ $x_{0}$

În același mod ca și înainte, putem demonstra că pentru această mulțime formează un grup, grupul de homotopie relativă de ordin . Dacă , atunci figura anterioară demonstrează că este abelian. (Pentru n=2, demonstrația eșuează, deoarece punctele pot merge în alte puncte decât .) $n\geqslant 2$ $n$ $n\geqslant 3$ $\pi _{n}(X,A,x_{0})$ $I^{1}=\{x:x_{2}=0\}$ $A$ $x_{0}$

Încorporarea induce un homomorfism , iar încorporarea (aici ar trebui să fie înțeleasă ca ) induce un homomorfism . Orice element este definit printr-o mapare care, în special, se mapează cu , iar f este identic egal cu , definind un element din . Astfel obținem o mapare care este un homomorfism. Avem următoarea succesiune de grupuri și homomorfisme: $i\coloană (A,x_{0})\la (X,x_{0})$ $i_{*}\colon \pi _{n}(A,x_{0})\to \pi _{n}(X,x_{0})$ $j\colon (X,x_{0})\la (X,A,x_{0})$ $(X,x_{0})$ $(X,x_{0},x_{0})$ $j_{*}\colon \pi _{n}(X,x_{0})\to \pi _{n}(X,A,x_{0})$ $[f]\in \pi _{n}(X,A,x_{0})$ $f$ $eu^{{n-1}}$ $A$ $\partial I^{{n-1}}$ $x_{0}$ $\pi _{{n-1}}(A,x_{0})$ $\partial \pi _{n}(X,A,x_{0})\to \pi _{{n-1}}(A,x_{0})$

\dots ~{\longrightarrow }\pi _{n}(A,x_{0}){\stackrel {i_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,x_{ 0}){\stackrel {j_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,A,x_{0}){\stackrel {\partial _{n}}{\longrightarrow }} \pi _{n-1}(A,x_{0}){\longrightarrow }~\dots

Această secvență este exactă , adică imaginea oricărui homomorfism coincide cu nucleul următorului homomorfism. Prin urmare, în cazul în care pentru toți , homomorfismul limită este un izomorfism. $\pi _{n}(X,x_{0})=0$ $n\geqslant 1$ $\partial \colon \pi _{{n+1}}(X,A,x_{0})\to \pi _{n}(A,x_{0})$

Istorie

Grupul fundamental a fost introdus de creatorul topologiei Henri Poincaré , grupurile de homotopie superioare au fost introduse de Vitold Gurevich . În ciuda simplității definiției lor, calculul unor grupuri specifice (chiar și pentru spații simple precum sferele cu dimensiuni mari S n (vezi grupurile de sfere de homotopie ) este adesea o sarcină foarte dificilă, iar metodele generale au fost obținute abia la mijlocul al XX-lea cu apariția secvențelor spectrale .

Literatură

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometrie modernă: Metode și aplicații. — M .: Nauka, 1979
Rokhlin V. A., Fuchs D. B. Curs inițial de topologie. Capete geometrice. — M .: Nauka, 1977
Switzer R. M. Topologie algebrică — homotopie și omologie. — M .: Nauka, 1985
Spanier E. Topologie algebrică. — M .: Mir, 1971
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Un curs de topologie homotopică. — M .: Nauka, 1989