Operator Laplace discret

Pentru echivalentul discret al transformării Laplace, vezi Z-transform .

În matematică , operatorul Laplace discret este analog cu operatorul Laplace continuu , definit ca o relație pe un grafic sau o grilă discretă . În cazul unui graf cu dimensiuni finite (având un număr finit de vârfuri și muchii), operatorul Laplace discret are o denumire mai generală: matricea Laplace .

Noțiunea de operator Laplace discret provine din probleme fizice precum modelul Ising și gravitația cuantică în buclă și din studiul sistemelor dinamice . Acest operator este folosit și în matematica computațională ca analog al operatorului Laplace continuu. Cunoscut sub numele de filtru Laplace, acesta își găsește adesea aplicație în procesarea imaginilor . În plus, operatorul este folosit în învățarea automată pentru grupare și învățarea semi-automatizată pe graficele de vecinătate.

Definiție

Procesarea imaginii

Operatorul Laplace discret este adesea folosit în procesarea imaginilor, cum ar fi aplicațiile de detectare a marginilor sau de estimare a mișcării. Laplacianul discret este definit ca suma derivatelor secunde și este calculat ca suma picăturilor de pe vecinii pixelului central.

Implementare în procesarea imaginilor

Pentru semnale unidimensionale, bidimensionale și tridimensionale, Laplacianul discret poate fi specificat ca o convoluție cu următoarele nuclee:

Filtrul 1D:

{\vec {D}}_{x}^{2}={\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}

Filtru 2D:

\mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}

sau cu diagonale:

Filtru 2D:

\mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-8&1\\1&1&1\end{bmatrix}}

filtru 3D:

\mathbf {D} _{xyz}^{3)

pentru primul plan = ; pentru al doilea ; pentru a treia ${\begin{bmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-6&1\\0&1&0\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$

Aceste nuclee sunt derivate folosind derivate parțiale discrete.

Pe grafice

Există diferite definiții ale Laplacianului discret, care diferă în semn și factor de scară (uneori medii la vârfurile învecinate, uneori doar suma; aceasta este irelevantă pentru un grafic obișnuit ).

Fie G =( V , E ) un grafic cu vârfurile V și muchiile E . Definim o funcție de valori de la vârfurile graficului până la inel . Atunci laplacianul discret al va fi definit ca $\phi \colon V\to R$ $R$ $\Delta$ $\phi$

(\Delta \phi)(v)=\sum _{w:d(w,v)=1}\stanga[\phi (w)-\phi (v)\right]

unde d ( w , v ) este funcția de distanță dintre vârfurile graficului. Această sumă este pe cei mai apropiați vecini ai v . Vârfurile graficului final pot fi numerotate, apoi maparea poate fi scrisă ca un vector coloană ale cărui elemente sunt valorile mapării: . Definiția de mai sus a Laplacianului poate fi rescrisă și sub formă vectorială folosind matricea Laplace : $\phi$ $\phi _{v}=\phi (v)$ $L$

(\Delta \phi )(v)=(L\cdot \phi )_{v)

Dacă muchiile graficului au ponderi, adică funcția de greutate este dată , atunci definiția poate fi scrisă ca $\gamma \colon E\la R$

(\Delta _{\gamma}\phi)(v)=\sum _{w:d(w,v)=1}\gamma _{wv}\left[\phi (w)-\phi (v)\dreapta]

unde este greutatea muchiei . $\gamma _{wv}$ $wv\in E$

Îndeaproape se află definiția operatorului de mediere :

(M\phi)(v)={\frac {1}{\deg v))\sum _{w:d(w,v)=1}\phi (w)

Spectrul

Spectrul laplacianului discret este de interes cheie; când are un spectru auto-adjunct , este real . Dacă , atunci spectrul se află în segment (în timp ce operatorul de mediere are valorile spectrale în ) și conține zero (pentru funcții constante). Cea mai mică valoare proprie diferită de zero se numește interval spectral . De obicei, se distinge și conceptul de rază spectrală, care este de obicei definită ca cea mai mare valoare proprie. $\Delta =IM$ $[0,2]$ $[-1,1]$ $\lambda _{1}$

Vectorii proprii sunt independenți condiționat (pentru graficele obișnuite) și sunt similari cu vectorii proprii ai unui operator de mediere (diferiți în plus), deși valorile proprii pot diferi prin convenție.

Teoreme

Dacă un grafic este o rețea pătrată infinită, atunci definiția sa a Laplacianului poate fi legată de Laplacianul continuu prin limita rețelei infinite. De exemplu, în cazul unidimensional pe care îl avem

{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2)}}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {[F(x+\epsilon )-F( x)]+[F(x-\epsilon )-F(x)]}{\epsilon ^{2}}}.

Această definiție a laplacianului este adesea folosită în matematica computațională și procesarea imaginilor . În acest din urmă caz, este considerat ca un fel de filtru digital , ca un filtru de limită , numit filtru Laplace.

Operator Schrödinger discret

Să fie un potențial dat pe grafic. Rețineți că P poate fi considerat și ca un operator multiplicativ care acționează în diagonală pe : $P:V\rightarrow R$ $\phi$

$(P\phi)(v)=P(v)\phi (v).$

Apoi , există operatorul Schrödinger discret , analog operatorului Schrödinger continuu . $H=\Delta+P$

Dacă numărul de muchii ale unui vârf este mărginit uniform, atunci H este mărginit și autoadjunct.

Proprietățile spectrale ale Hamiltonianului său pot fi derivate din teorema lui Stone ; aceasta este o consecință a dualității dintre mulțimile parțial ordonate și algebra booleană .

Pe zăbrele obișnuite, operatorul are de obicei atât o undă călătorie, cât și soluții de localizare Anderson , în funcție de periodicitatea sau aleatorietatea potențialului.

Funcția lui Discrete Green

Funcția lui Green a operatorului Schrödinger discret este dată de rezoluția operatorului liniar :

G(v,w;\lambda )=\langle \delta _{v}|{\frac {1}{H-\lambda }}|\delta _{w}\rangle

unde este înțeles ca simbolul Kronecker pe grafic: adică este egal cu 1 dacă v = w și 0 în caz contrar. $\delta _{w)$ $\delta _{w}(v)=\delta _{wv)$

Pentru fix și complex , funcția lui Green este considerată ca o funcție a lui v , o soluție unică a ecuației $w\in V$ $\lambda$

(H-\lambda)G(v,w;\lambda)=\delta _{w}(v).

Vezi și

matricea Laplace

Link -uri

Definirea si aplicarea decalajului spectral